2022-2023学年九年级数学中考复习《圆中的定值问题》解答题训练(附答案)

2022-2023学年九年级数学中考复习《圆中的定值问题》解答题专题训练(附答案)

1.如图△/8C.

(1)用尺规作出△/BC的外接圆(不写作法，但要保留作图痕迹).

(2)如果NC=30°,AB=AC=3.直接写出△/8C外接圆的半径=.

2.如图，在以为直径的半圆中，将弧8c沿弦8c折叠交于点。，若/。=5,DB

=7.

(1)求8c的长；

(2)求圆心到8C的距离.

3.如图，四边形N8C。是。。的内接四边形，8。是直径，AB=AD,过点Z作8c于

点、E,1/UC。于点尸.

(1)求证：BE=DF；

(2)若8c=3,DC=5,求/C的长.

4.如图，在半径为3cm的中，A、B、C三点在圆上，点P从点8开始以=CM/S的速

5

度在劣弧8C上运动，且运动时间为f（单位：s）,若NBO4=90°,ZAOC=\20°,Z

BOP=nQ.

（1）NBOC=°,劣弧8PC的长为,劣弧8P的长为（用含f

的代数式表示）；

（2）〃与f之间的函数关系式为，/的取值范围为；

（3）是探究当点尸运动多少s时，以P,B,4三点为顶点的三角形是等腰三角形，并

说明其理由.

5.如图，在平面直角坐标系中，圆心为尸G,j）的动圆经过点4（m,2加+4）（机＞-2）,

且与x轴相切于点8,y与x之间存在一种确定的函数关系，其图象是一条常见的曲线,

记作曲线尸.

（2）求曲线厂最低点的坐标（用含有机的式子表示）；

（3）如图2,若曲线尸最低点总在直线尸#3的下方，点C（-2,乃），D（1,及）

都在曲线尸上，试比较月与火的大小.

6.问题提出

(1)如图1.已知//C5=//D8=90°,请用尺规作图作出△/8D的外接圆(保留作

图痕迹，不写作法)；点C是否在的外接圆上(填“是”或"否”).

问题探究

(2)如图2.四边形/O8C是。。的内接四边形，NACB=N4DB=90°,AD=BD.求

证：CA+CB=\T2CD；

(3)如图3.点P是正方形Z8CC对角线4C的中点，点E是平面上一点，E8=N5且

EA=^BA.点。是线段/E的中点，请在图中画出点应并求线段PQ与之间的数

量关系.

图①图②图③备用图

7.如图Rt4/8C中，ZABC=90°,P是斜边/C上一个动点，以8。为直径作。。交8c

于点。，与4C的另一个交点E,连接。E.

(1)当而二而时，

①若丽=130°,求NC的度数；

②求证AB=AP；

(2)当43=15,BC=20时

①是否存在点P,使得△8AE是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的CP的长；

②以D为端点过P作射线DH,作点0关于DE的对称点。恰好落在NCPH内，则CP

的取值范围为.(直接写出结果)

8.问题提出

(1)如图1,在RtZUBC中，NACB=90°,AC>BC,/NC8的平分线交48于点£).过

点D分别作DELAC,DFA.BC.垂足分别为E,F,则图1中与线段CE相等的线段

是.

问题探究

(2)如图2,AB是半圆O的直径，N8=8.尸是菽上一点，且而=2或，连接NP,BP.Z

/P8的平分线交于点C,过点C分别作CFLBP,垂足分别为E,F,求线

段CF的长.

问题解决

(3)如图3,是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图.已知。。的直径48=70"?,

点C在上，且C/=C8.P为上一点，连接C尸并延长，交OO于点D.连接

BD.过点P分别作PFLBD,垂足分别为E,F.按设计要求，四边形PEO尸

内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区.设/P的长为x(加)，

阴影部分的面积为y(m2).

①求y与x之间的函数关系式；

②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30机时，整体布局比较合理.试

求当月P=30m时.室内活动区(四边形尸皮不)的面积.

图1图2图3

9.定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”.例如：凸四边形N8CQ

中，若N/=NC,4B丰ND,则称四边形488为准平行四边形.

(1)如图①，A,P,B,C是。。上的四个点，NAPC=NCPB=60°,延长8P到°,

使求证：四边形是准平行四边形；

(2)如图②，准平行四边形内接于。。，AB#AD,BC=DC,若。。的半径为5,

AB=6,求/C的长；

(3)如图③，在中，NC=90°,ZA=30°,BC=2,若四边形/8C£)是准

平行四边形，且N8COWN8/。，请直接写出3D长的最大值.

点尸与点/重合时，停止运动.以点尸为圆心，PO为半径作OP,。。与/£)交于点M

点。在。尸上且在矩形ABCD外，NQPD=120°

(1)当户。=2旧时PC=,扇形。PO的面积=，点C到OP的最短距

离=;

(2)0P与NC相切时求PC的长？

(3)如图。尸与ZC交于点£、尸当即=6.4时，求尸。的长？

(4)请从下面两问中，任选一道进行作答.

①当。P与△/8C有两个公共点时，直接写出PD的取值范围；

11.如图，在平面直角坐标系中，已知点”(0,4),点8是x轴正半轴上一点，连接

AB,过点/作ZCL/8,交x轴于点C,点。是点C关于点/的对称点，连接3。，以

为直径作。0交8。于点E,连接并延长NE交x轴于点尸，连接。F.

(1)求线段/E的长；

(2)若AB-BO=2,求tan/ZFC的值；

(3)若/与△/E8相似，求M的值.

12.已知四边形/8CA为。。的内接四边形，直径ZC与对角线8。相交于点E,作C”_L

（1）求证：/尸为。。的切线；

（2）若BD平分N4BC,求证：D4=DC；

（3）在（2）的条件下，N为/尸的中点，连接EN,若NAED+NAEN=135°,。。的

半径为2圾，求EN的长.

13.发现问题：（1）如图1,4?为。。的直径，请在。。上求作一点P,使N/8P=45°.（不

必写作法）

问题探究：（2）如图2,等腰直角三角形△/BC中，ZJ=90°,AB=AC^3XT2,。是

”上一点，4）=2迎，在8c边上是否存在点P,使/"。=45°?若存在，求出8P

的长度，若不存在，请说明理由.

问题解决：（3）如图3,为矩形足球场的示意图，其中宽/3=66米、球门EF=8米，且

EB=E4.煎P、。分别为BC、4。上的点，BP=7米,NBPQ=135：一位左前锋球员

从点P处带球，沿PQ方向跑动，球员在P。上的何处才能使射门角度（NEA//）最大？

求出此时PM的长度.

图1图2图3

14.如图1,。。的弦8C=6,4为3c所对优弧上一动点且sinN84C=W，△N8C的外角

5

平分线/P交。。于点P,直线NP与直线8c交于点£

(1)求证：点P为彘的中点；

(2)如图2,求。。的半径和PC的长；

(3)若△NBC不是锐角三角形，求的最大值.

15.定义：圆心在三角形的一条边上，并与三角形的其中一边所在直线相切的圆称为这个三

角形的切圆，相切的边称为这个圆的切边.

(1)如图1,/XABC41,AB=CB,//=30°,点。在ZC边上，以0c为半径的0。

恰好经过点8,求证：是△4BC的切圆.

(2)如图2,ZX/BC中，AB=AC=5,BC=6,。。是△/8C的切圆，且另外两条边都

是。。的切边，求。。的半径.

(3)如图3,△ZBC中，以"3为直径的。。恰好是△N8C的切圆，力C是0。的切边，

0。与8c交于点尸，取弧8F的中点Q,连接力。交8c于点E,过点E作以于

点“，若C~=8,8尸=10,求4C和E”的长.

图1图2图3

16.如图1,已知。。的内接四边形/BCD,AB//CD,BC//AD,AB=6,8c=8.

(1)求证：四边形N8CQ为矩形.

(2)如图2,E是俞上一点，连接CE交/。于点/，连接NC.

①当点O是诵中点时，求线段。尸的长度.

②当16s△8F=3S四边影他。时，试证明点E为薪的中点•

(3)如图3,点E是。。上一点(点E不与4、C重合)，连接E/、EC、。£,点I是

△/EC的内心，点用在线段0E上，且ME=2M。，则线段的最小值为.

图1图2

17.问题探究

(1)如图1,C,。是NZO8的边04上两点，直线08与。/相切于点尸，点修是直线

08上异于点尸的任意一点，请在图1中画出NCPQ,试判断NCP。与NCP］。的大小

关系，并证明；

(2)如图2,己知矩形488中，点/在边8c上，点E在边上，49=8,AE=6,

当//ME最大时，请求出此时8M的长；

问题解决

(3)如图3,四边形/BCD是某车间的平面示意图，［8=4«米，49=8炳米，N4

=/。=60°,Z5CZ)=90",工作人员想在线段/。上选一点M安装监控装置，用来

监视边8C,现只要使得/8MC最大，就可以让监控装置的效果达到最佳.问在线段

上是否存在点"，使/8MC最大？若存在，请求出。〃的长；若不存在，请说明理由.

图1图2图3

18.己知。。的直径为10,。为。0上一动点(不与力、8重合)，连接40、BD.

(1)如图1,若“。=8,求8。的值；

(2)如图2,弦。C平分过点/作NE_LC。于点E,连接BE.

①当△80E为直角三角形时，求BE的值；

②在点D的运动过程中，BE的值是否存在最小值？若存在,请直接写出BE的最小值;

若不存在，请说明理由.

19.【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：

如图①，点O为坐标原点，。。的半径为1，点4(2,0).动点8在。。上，连接

作等边三角形N8C(A,B,C为顺时针顺序)，求OC的最大值.

【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接08,以

OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE,连接AE.

(1)请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；

(2)请直接写出线段OC的最大值.

【迁移拓展】

(3)如图②，BC=4近，点。是以8C为直径的半圆上不同于8、C的一个动点，以BD

为边作等边三角形ABD,请直接写出AC的最大值和最小值.

20.如图，在平面直角坐标系中，A(0,8),B(6,8),尸为线段。1上一动点，过。，P,

8三点的圆交x轴正半轴于点C,连结PC,BC,设OP=机.

(1)求证：当P与/重合时，四边形P0C8是矩形.

(2)连结P8,求tan/BPC的值.

(3)记该圆的圆心为"，连结O”,BM,当四边形POA"中有一组对边平行时，求所

有满足条件的m的值.

(4)作点。关于PC的对称点。'，在点尸的整个运动过程中，当点落在△4尸8的

内部(含边界)时，请写出，〃的取值范围.

参考答案

1.解：（1）如图，。。即为所求.

(2)连接04,0C.

'：AC=AB,

：.ZACB=ZB=30°,

/.ZAOC=2ZB=60°,

'：OA=OC,

：.AAOC是等边三角形,

.'.0A=AC=3,

故答案为3.

2.解：（1）连接C4、CD；

根据折叠的性质，得：CB=BDC；

,NC4B=NCBD+NBCD；

•:NCDA=NCBD+NBCD（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）,

：.NC4D=NCDA,即是等腰三角形；

过C作CE_L/8于E,则/E=OE=2.5；

:.BE=BD+DE=95；

在RtZL4C8中，CEVAB,根据射影定理，得：

80=8尸48=9.5X12=114；

故BC=V114.

（2）设圆心到BC的距离为h,圆的半径为r=6,

由（1）知，Rt/XECB中，BE=95,BC=JI逋，

,CE=VBC2-BE2=A/114-9.52

....h-CE

,si加"同’

3.(1)证明：：80是直径，

:.NBAD=NBCD=90°,

^AEVBC于点E,AFLCD于点F,

:.NE=N4FC=N4FD=90°,

二四边形4£C尸是矩形，

AZ£JF=90",

：.ZEAB=ZE4D,

"：AB^AD,

:.△AEBgAAFD(AAS),

:.BE=DF；

(2)解:,:BC=3,DC=5,

5/)=22

,VBC+CD732+52=信，

：.AB=AD=^^BD=4Y1，

2

/\AEB^/\AFD,

C.AE=AF,

S幅"88=%小/呜8c十。•肃=16,

：.AE=4f

VZACB=ZADB=45°,

:・AC=MAE=4最.

4.解：（1）'：ZBOA=90°,ZJ（9C=120°,

；./8OC=360°-ZBOA-ZAOC=\SOa-900-120°=150°.

二劣弧8PC的长为：150义3.=旦二.

1802

••,点P从点B开始以工。机/s的速度在劣弧BC上运动，

5

TT

・,•劣弧8。的长为：——

5

故答案是：150；・c加;

25

（2）'：ZBOP=n°,—整理得出：〃=12/,

5180

当”=150°时，150°=121,1=12.5,故0WK12.5.

故答案是：n=12t；0W/W12.5；

（3）在△/8P中，以为腰时（如图1）,

'：ZBPA=ZBAP=45°,

：.ZBOP=450+45°=90°,

故〃=90=123解得：1=7.5（秒），

以为底边时（如图2）,

'：ZBPA=—ZBOA=45°,

2

；.NBAP=67.5°,

，N8OP=2X67.5°,

故135=12/,

解得：f=11.25（秒）.

综合上述：当点P运动时间为7511.25秒，△ZB尸为等腰三角形.

.•.OP的半径为3；

2

②如图1,连接为，

则PA=PB,

■:m=-1,

：.A(-1,2),

又,：P又y)9

(-1-x)2+(2-y)2=尸,

整理，得y=,

424

当x=-2时，y=旦，

4

•••。尸的半径为?；

4

(2),:P(x,y)9A(m,26+4),且PB=B4,

...y2=-x)2+(2〃?+4-y)2,

整理，得y——-—(x-/w)2+加+2,

4m+8

・,•曲线尸为抛物线，

Vw>-2,

A—^>0,

4m+8

，抛物线y=—(x-w)2+m+2的开口向上，

-4ro+8

曲线厂最低点的坐标即顶点坐标为(加，加+2)；

(3)由(2)知，曲线尸最低点的坐标为(m,m+2),对称轴为直线x=/n,

且曲线尸最低点总在直线尸子+3的下方，

m+2<—w+3,

2

解得，m<2,

又-2,

工-2<m<2,

・・,点。(-2,月)，D(1,乃)都在曲线一上,

则当对轴称为加=制-=>时，点c与点。关于抛物线的对称轴对称，则力=%；

当对称轴-2＜〃?V时，由二次函数的图象及性质可知，点C离对称轴更近，则力

〈为；

当对称轴-•〈加＜2时，由二次函数的图象及性质可知，点D离对称轴更近，则力＞为.

6.解：问题提出

(1)作N8的垂直平分线交N8于点0,以。为圆心，N。长为半径作圆，即为

的外接圆，

■:NACB=NADB=90°,

点儿点、B,点、D,点C四点共圆,

点C在4ABD的外接圆上，

故答案为：是；

问题探究

(2)如图2,将△8CD绕点。，逆时针旋转90°到处,

c

•四边形4D8C是圆内接四边形，

.♦./O8C+N。4c=180°,

，/£4£)+ND4c=180°,

:.E、/、C三点共线，

••.NCE为平角，

由旋转知，AE=BC,DE=CD,ZCDE=90°,

二/XCDE是等腰直角三角形，

:.CE=®CD,

"：CE=AE+AC=BC+AC,

：.CA+CB=42CD；

.....JIS3

•.•以点2为圆心，月8长为半径作圆，以点/为圆心，工48长为半径作圆，两圆的交点

3

为E,

，点/的左右各有个点E,

设/8=3x,则4E=x,

若点E在点Z的左侧，

,：BE=AB,点。是/E的中点，

J.BQLAE,AQ=EQ=^,

•'-52=VAB2-AQ2=]J9X2--^-=^P"X'

•.•四边形488是正方形，点P是对角线NC的中点，

：.AP=BP,APLBP,

由(2)的结论可得：AQ+BQ=\[2PQ,

二血尸0二返|斗

?4

••尸0----欣------AB，

若点E在点4的右侧，

同理可求：p0=YI卷2%反

7.(1)①解：连接8E,如图1所示：

♦・・3尸是直径，

AZBEC=90°,

VBD=130°,

ADP=50°,

VDP=EP,

/.DE=100°,

；・NCBE=50°,

・・・NC=40°；

②证明：・・・市=昨，

:・NCBP=/EBP,

VZABE+ZA=90°,ZC+ZA=90°,

；・NC=NABE,♦：NAPB=/CBP+/C,/ABP=/EBP+/ABE,

：.NAPB=NABP,

：.AP=AB；

(2)解：①由"8=15,BC=20,

由勾股定理得：^^=VAB2+BC2=A\/152+202=25，

•SC=—JC,BE,

22

即/X15义20=/X25X8E

.•.届=12,

连接。P,如图1-1所示：

:BP是直径,

:.NPDB=9Q°,

VZABC=90°,

:.PD//AB,

二△DCPs^BCA,

.CP_CD

,•而一记

.广八_AC・CD_25CD_5f

••~~C-Z-zf

BC204

△BAE是等腰三角形，分三种情况：

当BD=BE时,BD=BE=\1,

：.CD=BC-BD=20-12=8,

5E

:.CP~CD=±X8=10；

44

当时，可知点。是RtZXCBE斜边的中线，

：.CD=^-BC=10,

2

RR95

：.CP=—CD=—X10=-；

442

当DE=BE时，作EHLBC,则H是BD中点，EH//AB,如图1-2所示:

^£=VAB2-BE2=A/152-122=9，

：.CE=AC-AE=25-9=16,CH=BC-BH=2Q-BH,

,:EH〃AB,

.CH_CE

即20-BH16

BH9

解得：BH=盥,

5

72

：.BD=2BH=—,

5

70op

：.CD=BC-BD=20--=-

559

：.CP=—CD=—X—=1^

445

综上所述，△8OE是等腰三角形，符合条件的0的长为10或孕或7；

②当点0落在NC777的边PH上时，CP最小,如图2所示：

连接0。、。0、OE、QE、BE,

由对称的性质得：DE垂直平分O0,

：.OD=QD,OE=QE,

•：OD=OE,

：.OD=OE=QD=QE,

・・・四边形OQQE是菱形，

：.PQ//OEf

•；PB为直径,

:・/PDB=90°,

:・PDLBC,

VZABC=90°,

：.ABLBC,

:・PD〃AB,

：.OE〃AB,

♦：OB=OP,

・・・OE为中位线，

:.PE=AE=9,

：.PC=AC-PE-ZE=25-9-9=7；

当点。落在NW"的边尸C上时，CP最大,如图3所示：

连接0。、。0、OE、QD,

同理得：四边形OD0E是菱形，

J.OD//QE,

连接。R

VZDBA=90Q,

・・・。夕是直径，

:・D、。、尸三点共线,

J.DF//AQ,

：・/OFB=/A,

*：OB=OF,

：.ZOFB=ZOBF=NA,

:・PA=PB,

VZOBF+ZCBP=Z^+ZC=90°,

AZC5P=ZC,

:,PB=PC=PA,

：.PC=—AC=12.5,

2

：.7<CP<\2.5,

图1

8.解：（1）VZACB=90°,DELAC,DFLBC,

...四边形CEZ）尸是矩形，

；CD平分N4CB,DEA.AC,DFLBC,

：.DE=DF,

二四边形CEOF是正方形，

:.CE=CF=DE=DF,

故答案为：CF、DE、DF；

（2）连接OP,如图2所示：

'：AB是半圆。的直径，PB=2PA,

AZAPB=90°,Z^OP=—X180°=60°,

3

尸=30°,

同（1）得：四边形尸ECF是正方形，

：.PF=CF,

在RtZ\AP8中，P8=48・cos/Z8P=8Xcos30°=8X返=4通，

2

在RtACF5中，BF=————=-,F=-^~=百CF,

tanZABPtan30<3

r

"：PB=PF+BF,

：.PB=CF+BF,

即：4\f3=CF+VSCF,

解得：CF=6-2次；

（3）①为。。的直径，

:.NACB=NADB=90°,

\'CA=CB,

：.ZADC=ZBDC,

同（1）得：四边形DET/是正方形，

：.PE=PF,NAPE+NBPF=9Q°,NPEA=NPFB=9Q°,

...将△在£绕点P逆时针旋转90°,得到△/'PF,PA'=PA,如图3所示:

则H、F、8三点共线，ZAPE=ZA'PF,

：.ZA'PF+NBPF=90°,即NHPB=90°,

•••S&PAE+S*BF=S.PA.B=FPA'，PB-X（70r）,

在RtAACB中，AC=BC^^-AB=^~X70=35^2.

22

双心=%。=/（35扬2=1225,

B+S^ACB^X（7°-x）+1225=-yx2+35x+1225；

②当/P=30时，A'尸=30,PB=AB-AP=1Q-30=40,

22

在Rt44'PB中,由勾股定理得：A'B=^<P+PB=^302+402=50,

，：

^A,PB^A'B-PF=^PB-A'P,

A—X50XPF=IX40X30,

22

解得：PF=24,

•••S则的产尸产=242=576（加2）,

...当NP=30m时.室内活动区（四边形尸EOQ的面积为576m2.

图3图2

9.证明：（1）VZAPC^ZCPB=60°,

AZAPQ=60°,H.AQ=AP,

...△/尸0是等边三角形，

二/。=60°=NQ4P,

•••四边形APBC是圆内接四边形，

：.ZQPA=ZACB=60°,

'：NQ+N4CB+NQ4C+NQBC=360°,

.♦.NQ/C+N。8c=240°,且N3c=/0/尸+/加。+/以8=120°+ZPAB>\20a,

：.ZQBC<l20a,

：.NQAC/NQBC,且NQ刈=N/CB=60°=N0,

・・・四边形AQBC是准平行四边形;

(2)如图②，连接3。，

（图②）

♦；4BWAD,BC=DC,

:・/ABD#NADB,/CBD=/CDB,

：.NABC¥/ADC,

四边形ABCD是准平行四边形，

:./BAD=/BCD,

・・,四边形力BC。是圆内接四边形，

；・NBAD+/BCD=180°,ZABC+ZADC=180°,

:・NBAD=NBCD=90°,

:・BD是直径，

：.BD=10,

AD=JBD?-AB。=7100-36=8,

将△/BC绕点C顺时针旋转90°得到△CO”，

:・AB=DH=6,AC=CH,ZACH=90°,NABC=/CDH,

VZABC+ZADC=180Q,

AZADC+ZCDH=\^O°,

・•・点/，点。，点〃三点共线，

：.AH=AD+DH=\4,

\UAC2+CH^=AH2,

：.2AC2=196

・JC=7\历；

(3)如图③，作△ZC£＞的外接圆过点。作OE_L/C于E,OFLBC于F,

(图③)

VZC=90°,4=30°,BC=2,

：.ZABC=60°,ZABC=60°,AC=y/^BC=20

,：四边形ABCD是准平行四边形，且NBCDWNB4D,

：.ZABC=ZADC=60°,

.../ZOC=120°,KOELAC,OA=OC,

.•./4CO=/C4O=30°,CE=AE=M，

：.OE=\,CO=2OE=2,

'：OE±AC,OFX.BC,NECF=9Q°,

•，.四边形CFOE是矩形，

:.CE=OF=M，OE=CF=1,

:.BF=BC+CF=3,

2

50=^B，p+op2—yjg+3—2\[3,

♦；当点。在80的延长线时，BD的长有最大值，

:.BD长的最大值=86>+。。=2e+2.

10.解：(1)如图1,连接PC,QP,PC交G)P于T,♦.•矩形/BCD

AZADC=90°,CD=AB=6,ZZ)=8C=8,

在RtZ\CDP中，由勾股定理得：PC=^/CD2+PD2=V62-t-(2>/3)2=4^,

'：ZQPD=120°,PD=2\l3

.。120兀・(2。2一

・・□扇ff,QPD_360冗

CT=CP-PT=4\[3-2A/3=2V3

故答案为：4'四，4TT,2M；

(2)如图2,。尸与NC相切时，设切点为点”，

连接PH,则尸C,

♦.•四边形/8CD是矩形，

AZADC=90°,

在RtzXNBC中，AB=6,8c=8,

.XC=10,

Q

在中，sinZ£)JC=—,

5

设OP半径为x,则P”=PD=x,AP=8-xf

pu

在Rtz\4/尸中，sinZPAH=—^v—

AP8-xf

.,•---x----3,

8-x5

.'.x=3,

在RtZ\PZX?中，CD=6,PD=3,

/.PC=7CD2+PD2^Ve2+32=3爬；

(3)如图3,过点尸作尸HL/C,连接PF；

,：ZPAH=ZDAC,

：./\AHP^/\ADC,

•..—AP—z?PH一,,

ACCD

设G)P半径为x,则尸尸=尸。=》，AP=i-x,

Q

：.PH=^~(8-x),

5

在。尸中，FHLAC,EF=6A,

：.HF=3.2,

在RtZ\P4尸中，小(8-X))2+3.22=X2,

5

.*.x=4或x=-13(舍)，

：.PD=4；

(4)①如图4,作PM_L力C于M,作尸"N_L6C于N,

当PM=P'。时，0P与/C相切，只有1个公共点，由（2）知，此时尸。=3,

当尸"N=6时，。尸”与△4BC有3个公共点；

当6VPNWP8时，OP与△N8C有3个公共点；PB2=AB2+AP2,Ap2=（4D-PD）2

/.62+（8-PD）2=/>。2,解得：/>。=筌

4

综上所述，尸。的范围为：3VPOV6或空VP0W8；

4

②如图5,•.•NQP£>=120°,当点P与点/重合时，AQ=AD

...点。的运动路径是线段。。，ZDAQ=\20°,ZADQ=ZAQD=30°,8。的最短距

离是点8到直线C。的距离；

过点8作8K_LC0于K,BK交AD于S,过/作4_LC。于L连接80,AQ,

'JALLCQ,

：.ZALD=ZALQ=90°,

A^=AD9AL=AL

：.Rt/\ADL^Rt/\AQL

:・DL=QL,ZDAL=ZQAL=60°,

二巫二Sin/DAL，即：DL=AD-sinZDAL=Ssin60Q=4'/3

AD

:.DQ=2DL=&M

在RtASCD中,BD=VBC2+CD2=VS2+62=10

设S£>=m,WOSK=—m,4s'=8-机

2

■:NASB=NDSK=9Q°-ZADQ=90°-30°=60°,

，ZABS=30°

.,.■^--tanZABS,即8-"?=6tan30°,解得：机=8-2A/^

AB

:-KS-（8-2«）=4-次，BS=2AS=4\p5

：.BK=KS+BS=4-V3+4A/3=3百+4

故点。的运动路径长是8\/3,BQ的最短距离是3y+4.

11.解：(1)•.•点/(0,4),

."0=4,

'：AD是。。的直径，

:.NAEB=NAED=90°,

:.NAEB=NAOB=9Q°,

\'BA垂直平分CD,

:.BC=BD

：.N4BO=ZABE

rZAEB=ZA0B

在△Z8E和△/8O中，，NABE=NAB0,

,AB=AB

:.△ABE9/XABO(AAS)

.'.AE—AO—4；

(2)设8O=x,则Z8=x+2,

在RtZ\Z8O中，由402+082=/*得：42+N=(X+2)2,

解得：x=3,

：.0B=BE=3,AB=5,

VZEAB+ZABE=90°,ZACB+ZABC=90°,

NE4B=NACB,

,：ABFA=AAFC,

:./\BE4s"FC

.BF_BE_3

•覆一而一丁

Q

设£/=方贝i」/F=4+x,SF=—(4+x),

4

:在RtA8£尸中，B屋+E尸=8尸，

2

/.32+x2=[—(4+x)]2,

解得：x=^~,即EF=^,

77

7

(3)①当△DE/s△/E8时，ZBAE=ZFDE,

二ZADE=ZFDE,

.♦.8。垂直平分/R

：.EF=AE=4；

②当时，NABE=NFDE,

：.AB//DF,

：.ZADF=ZCAB=90°,

.♦.£)尸相切0。，

二NDAE=NFDE,

设。。交夕轴于点G,连接OG,作F”_LZ)G于〃，如图所示:

则NFDH=ZDAG,四边形OGHF是矩形，

：.OG=FH,

'：LABE妥△ABO,

：.NOAB=NEAB,

,：ABA.AD,

・・・/DAE=/C4O,

*：NCAO=/DAE,

：.NDAE=/DAE,

：.ZDAE=ZDAG=NFDE=/FDH,

：.AG=AE=4,

：.EF=FH=OG=AO+AG=4+4=8,

综上所述，若△。跖与△4E8相似，跖的值为4或8.

12.(1)证明：如图1,・・NC为OO的直径，

AZADC=9O0,

：.ZDAC^ZDCA=90°.

•.•益=益，

・・・ZABD=ZDCA,

,/NE4D=/ABD,

：./E4D=/DCA,

：.ZE4D+ZDCA=90°,

：.CALAFf

，力?为OO的切线.

(2)证明：如图2,连接OQ,・・・而=标,

JZABD=—ZAOD,

2

VDC=DC,

・・・ZDBC=—ZDOC

29

・・•瓦)平分NZ8C,

・\ZABD=ZDBC,

・・・/DOA=/DOC,

：.DA=DC.

(3)如图3,连接0。交C尸于M,作于P,

,・ZC为O。的直径，

AZADC=90°.

•；DA=DC,

：.DOLAC,

:・NE4C=NDOC=90。,

：.AF//0M,

\'AO=OCf

・・・0M=—AF.

2

*：NODE+/DEO=90°,ZOCM+ZDEO=90Q.

：.ZODE=ZOCM.

•：4DOE=4COM,OD=OC,

：./\ODE^/\OCMf

：.OE=OM,

设OM=m,

・••力£=2近-m,AP=PE=2-亚加，。尸=2+返•机，

22

■:NAED+NAEN=135°,N4ED+N4DE=135°,

：.NAEN=NADE,

'：ZEAN=ZDPE,

：.AEANSADPE,

.AE_AN

••1—"..，

DPPE

.2北一mm

.2A/2

•.m=------,

3

..r4V2

33

.••勾股定理得NE=2715

3

图3图2图1

13.解：(1)如图所不:作的垂直平分线交。。于点P、P,则点P或P'即为所求；'

\y\p/

图1

(2)存在.

如图2和图2'所不:

在ZUBC中

VZ5JC=90°,AB=AC=3\P1,AD=26

：.ZB=ZC=45°,BD=®,BC=\[2AB=6

：.ZBDP+ZBPD=135Q

,:ZAPD=45°

：.ZAPC+ZBPD=U5°

：.ZBDP=ZAPC

:.△BPDsACAP

.BD_BP

*'PCAC

设8P=x,则PC=6-x

6-x3V2

解得看=3+6，X2=3-

.•.8P=3+J§或5尸=3-V3；

(3)如图3,过点E、尸作圆，与P。相切于点A/',圆心为点O,连接月0',EM',

此时/尸M'E的度数最大.

图3

理由：在。。上取一点G,连接FG并延长交尸0于点“，连接/G,AM,

'：NFGE=4FM'E,ZFGE>ZFME,

：.ZFM'E>NFME,

：.ZFM1E的度数最大.

作线段"的中垂线/,/经过圆心。，且交EF于点N,交P。于点K,过点K作

BC于H.

设。。的半径为r,

则。E=O"=厂，

VZBPQ=\35°,

:.NKPH=45°,

二/\PHK是等腰直角三角形，

：.PH=KH.

"：AB=6(>,EF=8,

：.BN=33,EN=4,

:.PH=KH=33,

.♦.8〃=33+7=40,

：.KN=40.

在等腰RtZ\OK/W'中，

0长=也2=血厂，

：.ON=NK-0K=40-\[2r.

在RtdONE中，

42+(40-J^r)2=2,

解得勺=40\历-12J1L七=4队历+12万(舍去)，

：.PM'=尸长-'=3如-40贝+12\/I1=12Vli-7亚

.,.当射门角度最大时，的长度为(12匠-7遮)米.

14.(1)证明：①如图1,连接PC,AB,

平分N8/E,

?.ZBAP=ZR4F,

"：ZPAF+ZPAC^\SO°,

N弘C+NPBC=180°,

二NR1F=NPBC,

又NBAP=NPCB,

二ZPBC=ZPCB,

:.PB=PC,

.••屈=而，

二点尸为砒的中点；

(2)解：连接OB,OC,过。作OMLBC于M,

二。四垂直平分8C,

/BOMJ/BOC=/BAC,

22

2

VsinZS^C=—,

5

：.smABOM=—=—,

OB5

.•.08=5,

...O。的半径是5,

在RtZ\OMC中，0M=｛虱2_。H2=4,

在RtZXPA/C中，PM=OM+OP=9,

,PC=JP『+MC2=3^10；

(3)VZACE+ZBCA=ZBPE+ZBCA=180°,

，/4CE=NBPE,

同理，NCAE=NPBC=NB4B,

：.LACEs/\APB,

.AC_AE

"A?AB"

：.PA-AE=AC'AB,

如图4,过C作C0L/8于。，

,.•sin/8/C=世，

AC

：.CQ=AC'smZBAC,

：.SABC^^AB'CQ^^AB'AC,

.-.PA-AE=^-S&ABC,

«->

•..△ZBC非锐角三角形，且8c=6,

二当/运动到使N4CB=90°时，

△力8。面积最大，

在RtzX/BC中，BC=6,48=10,

.,./1C=7AB2-BC2=8,

，S△,十C%C=24，

，此时，E4此E=80,

即RP/E的最大值为80.

p

图2

图1

.../Z=NC=30°.

AZCJS=180°-/N-/C=120°.

•：OB=OC,

：.ZOBC=ZC=30°.

：.ZOBA=ZCBA-ZO5C=90".

即OBVBA.

是圆的半径，

.../8与。。相切.

•.•圆心。在ZC边上，

二。。是△N8C的切圆；

(2)解：①当圆心。在8C边上，。0与AB,/C边相切于点例，N时,

连接04,OM,ON,如图，

A

9：AB,4。是。。的切线，

：.OM±AB,ONIAC,40平分N84C

*：AB=AC,

：.A01BC,OB=OC^—BC^3.

2

'：AOVBO,0M±AB,

:ABOMs/\BAO.

.OBBM

"AB-0B,

.3_BB

"'~5~3'

9

5

OM=4OB2-BM=普；

□

②当圆心。在/C边上，。。与力8,8c边相切于点“，N时,

连接0/W,ON,BO,过点/作/“_L8C于点"，如图，

设OM=ON=r,

'：AB,8c是。。的切线,

：.OM±AB,0N1BC.

"：AB=AC,AHLBC,

：.BH=CH=—BC=3,

2

=4.

'SAABC2B^AH2X6X4=12.

*,*S&ABC=S&AB胪&CB(T

A—X/15T+—XfiCT=12.

22

x5z■4x6==12.

._24

11

综上，。。的半径衅或普；

'：AB为。。的直径，

：.AFA.BC.

「。。是△Z8C的切圆，NC是。。的切边,

：.AB±AC.

：.△ACFsABAF.

AFBF

CFAF-

AF10

8一

AF

.,.AF=4\I'5.

.”=如2+/=12,

^S=VAF2+-BF2=6^-

•.•。是弧8尸的中点，

：.ZFAD=ZBAD.

.FE_AF_4V5_2

・应海一胞T

设FE