2022-2023学年江西省南昌市新建区高一数学（下）月考试卷及答案解析

2022・2023学年江西省南昌市新建区高一数学（下）月考试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.计算si7i48%osl8。—cos48Ocos72。的结果等于（）

口

A.21BR-VC.—D.小

22

2.下列命题中正确的是（）

A.单位向量都相等B.相等向量一定是共线向量

C.若五〃瓦石〃3则五〃不D.任意向量的模都是正数

3.已知tma另，则"空产=（）

2sina+3cosa

4.已知sin(a=-,则sin(2a+.)=()

5.函数y=e因sin|%|在区间［一2几,2兀］上的图象大致是（）

6.函数y=lg(2sinx+1)的定义域为.()

A.{%|fc7r+^<x<fczr+fcezj

B.{%|fc7r+看VxVZTT+R,k6zj

C.{%|2/CTT+.V%V2/CTT+£z}

D.{x^2kn—^<%<2/CTT+£,kGzj

7.已知函数f(x)=2cos2(sx—")一*3>0)在［0,河上恰有7个零点，则3的取值范围是

()

A.舄,今Bd片］C.碧净D.点片)

8.如图是古希腊数学家波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角

三角形4BC的斜边48、直角边BC、AC,N为4c的中点，点。在以AC为直径的半圆上，已知

以直角边AC,BC为直径的两个半圆的面积之比为3,sin^DAB=|,则cos/DNC的值为()

A24口+7B24y-7c7C+24口7/3-24

•-50~-50~-50~-50~

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.下列各式中，值为1的是()

A.4cos215。—2B.4sinl50sin75°

口l+tanl50

C.V^(cosl5°—s讥15°)

*IT即15°

10.下列各式中能化简为而的有()

A.而+而-丽B.(AD+丽)+(BC+CM)

C.(AB+~CD)+BCD.OC-OA+CD

11.已知函数f(x)=sin(2x+拳)+2COS2X,neZ,则下列说法正确的是()

A.当n=l时，f(x)图象的一个对称中心为(1,1)

B.当n为奇数时，f(x)的最小正周期是九

C.当n为偶数时，/(x)max=1+42

D.当n为偶数时，f(x)在d)上单调递减

OO

12.已知函数/'(%)=(sinx+cosx){sinx-|cosx|),说法正确的是()

A./(x)在区间[—2兀,一|用上单调递增

B.方程f(x)=0在工£[-2兀,27rl的解为%1，X2，…，xnf且％1+%2+…+工九="

C.f(%)的对称轴是％=3+kn(k6Z)

D.若f(%i)-/(%2)=3,则%1—%2=2kn(kGZ)

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13./(%)=tanx+sinx+1,若/(b)=2,贝行(一b)=.

14.+J线的最小值为______-

sinxcos"

15.求值：sin200+sin40°+sm60°—sinQ00=.

16.已知函数A%)=｛：：；；：；:秘：!eQ,+8)，若存在非零实数k满足f9)=/3)=

/(c)=/(d)=k(a,b,c,d互不相等)，则a+b+c+d的取值范围是.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

计算下列两个小题

(1)计算sin等-cos岑+tan(一殍)；

(2)己知角a终边上有一点P(_。,?)，求小学拿誓誓的值.

22tan(7r+a)sm(7r+a)

18.(本小题12.0分)

已知tan(a-/?)==一；,且a€(0,[),夕E(日兀).

(1)求tana的值;

(2)求2a—0的值.

19.(本小题12.0分)

已知函数/'(x)=2'J~3sinxcosx—2cos2x+1.

(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；

(2)求函数f(x)在区间[一招币的值域.

20.(本小题12.0分)

函数/(x-f)=Asin^x+<p)(A>0,a)>0,\<p\<"的部分图象如图所示.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)若函数g(x)=2/(|x)-a在区间V，段］上恰有3个零点，求a的取值范围.

21.(本小题12.0分)

设函数/(X)=cos(2cox+0)((0>0,0<0<7T),将函数/(x)的图象向左平移工单位长度后得

到函数g(x)的图象，已知g(x)的最小正周期为兀，且g(x)为奇函数.

(1)求/'(x)的解析式；

(2)令函数/i(x)=2g(x)+3cos22久+m-3对任意实数x6［-3,|兀］,恒有八(x)N0,求实数

m的取值范围.

22.(本小题12.0分)

已知函数/'(x)=a(|sinx|+|cosx|)+4sin2x+9,且/(；)=13-9>J~2.

(1)求a的值，并求出y=/(x)的最小正周期(不需要说明理由)；

(2)若xG［0,"，求y=f(x)的值域；

⑶是否存在正整数n,使得y=/(x)在区间［0,丽］内恰有2025个零点，若存在，求由的值;

若不存在，说明理由.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：sin48°cosl80-cos48°cos72°

=sin48°cosl8°—cos48°cos(90°-18°)

=sin48°cosl80—cos480sinl8°

=sin(48°-18°)

=sin30°

_1

=2'

故选:A.

利用诱导公式，两角差的正弦公式化简，进而利用特殊角的三角函数值即可求解.

本题考查了诱导公式，两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用,

属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：对于4单位向量的模长相等，方向不一定相同，故A错误；

对于B,相等向量一定是共线向量，故8正确；

对于C,若石=6，a//b,b//c＜而行与下不一定平行，故C错误；

对于。，零向量的模长是0,故。错误.

故选：B.

根据单位向量，共线向量及向量的基本概念逐项分析即得.

本题考查平面向量的相关概念，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：因为tana=g,

2sina-cosa2tana-11-1八

SPhl---------=--------=-；——=0

7719sina+3cosQtana+3I4.3,

故选：B.

变换迎詈吧=咨式，代入计算得到答案.

sina+3cosatana+3

本题主要考查了同角基本关系的应用，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解:sin(2(z+看)=cos[^—(2a+^)]—cos(2ct—今=1-2sin2(ct—^)=1—2x(；)?—

故选：C.

由诱导公式和余弦的二倍角公式求解.

本题主要考查三角函数的诱导公式，以及余弦的二倍角公式，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：根据题意,设f(x)=elMsin|H，其定义域为R,

则/(-x)=e|x|sin|x|=e|z|sin|x|=/(x),则函数/(x)为偶函数，排除ZC,

在区间(兀,2乃)时，sin|x|<0,则/(x)<0,排除D.

故选：B.

根据题意，先分析函数的奇偶性，排除4C,再分析区间6,2兀)上，/(久)的符号，排除D,即可得

答案.

本题考查函数的图象，涉及函数奇偶性和函数值符号的分析，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：由2sinx+1>0,得sinx>-1,

即2/OT—B(尤<2/OT+?,keZ,

o6

二函数y=lg(2sinx+1)的定义域为｛X|2/OT-^<x<2kn+?,keZ].

故选：D.

由对数式的真数大于0,然后求解三角不等式得答案.

本题考查函数的定义域及其求法，考查三角不等式的解法，是基础题.

7.【答案】A

【解析】解：函数/'(X)=2COS2(3X-£)-g

__cos(23x-')+l1

—cos(2tt>x——)4-

因为％G[0,n],

则一£42COX-^<2COTT

boo

令丫=COS(2OJ久一Jy=-1,

因为函数f(x)在[0,兀]上恰有7个零点，

即函数y=cos(23X—看)与y=—2的图象有7个交点,

所以孚W23X-‘〈竽，

5o5

所以3的取值范围是舄,今

故选：A.

先利用二倍角公式化简函数f（%）的解析式，由工的范围求出23%一2的范围，构造函数7=

C0S（23X-6,y=-l,将问题转化为两个函数的图象有7个交点，由此列式求解即可.

本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：（1）

方程法（直接解方程得到函数的零点）；（2）图象法（直接画出函数的图象分析得解）；（3）方程+图象

法（令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解）.属于中档题.

8.【答案】A

【解析】解：两个半圆的面积之比为3,则半径之比为q,

即tan。4c=孕,4BACE（0片），

故sin^DAB=^DAB&（0,^）,

故COSNDAB=V1—sin2Z.DAB=1,cos乙DAN=cos（Z.DAB-=/cos4£MB+；sinz>£MB=

2y/~3,

---1----3,

510

所以cos/DNC=cos24DAN=2cos?乙DAN-1=2（手+^）2-1=

故选：A.

根据面积比得到4B4C=也确定cosZ_DA8=cos^DAN=+国再根据coszJ）NC=

°5510

cos2z£MN计算得到答案.

本题主要考查了三角函数的实际应用，属于中档题.

9.【答案】BC

【解析】解：4项，4cos215°—2=2(2COS215°-1)=2cos300=A/-3,错误；

8项,4sml5°sm75°=4sml5°cosl5°=2sm30°=1,正确；

C项，y/~~2(cosl50-s比15°)=2(ycosl50—?s出15°)=2(cos45°cosl50—sin45°sml5°)=

2cos60°=1,正确；

。项，=tan(45。+15。)=t即60。=C，错误.

；1—+t：叱anl5：：=1—tan4誉5ta"nI1：5；''

故选：BC.

由余弦的二倍角公式化简选项A；由正弦的二倍角公式化简选项8；由辅助角公式化简选项C；

由两角和的正切公式化简选项D.

本题考查三角恒等变换，考查两角和公式和二倍角公式的应用，属于基础题.

10.【答案】BCD

【解析】解：对于选项A,而+而-丽=而+说+初=2而+而*而，故选项A错误;

对于选项B,(AD+MB)+(BC+CM}=AD+(BC+CM+MB)=AD^故选项B正确；

对于选项C,(AB+CD)+BC=AB+BC+CD=AD＞故选项C正确；

对于选项。，OC-OA+CD=AC+~CD=AD，故选项O正确.

故选:BCD.

由向量的加法与减法法则逐一验证即可.

本题主要考查向量的加法与减法，属于基础题.

11.【答案】ACD

【解析】解：A选项：当n=1时，则/(x)=sin(2x+今+2cos2x—cos2x+cos2x+1=2cos2x+1,

可得/卷)=2cos岑+1=1,故f(x)图象的一个对称中心为弓,1),故A正确;

8选项：当n为奇数时，则有：

若n=4k+l(/ceZ),则/'(x)=sin(2x+2kn+今+2cos2x=sin(2x+,+2cos2x=cos2x+

cos2x+1=2cos2x+1,

此时函数/Xx)的最小正周期是兀；

若n=4/c—l(fceZ),则f(x)=sin(2x+2kn—+2cos2x=sin(2x-^)4-2cos2x=—cos2x+

cos2x+1=1,

显然没有最小正周期；故B错误；

C选项：当n为偶数时，则有：

若n=4k(keZ),则/(#)=sin(2x+2/CTT)+2cos2x=sin2x+cos2x+1=V_2sin(2x+.)+1,

f(x)max=q+1；

若n=4/c+2(k6Z),则/'(x)=sin(2x+2kn+兀)+2cos2x=sin(2x+兀)+2cos2x=-sin2x+

cos2x+1=Ccos(2x+》+1,/'(x)max=「+1，故C正确.

。选项：由选项C可知：当n为偶数时，f(x)=Csin(2x+9+l或/(x)=Ccos(2x+》+l,

-.■xe(^y),所以2刀+江&兀)，故f(x)在质曲上单调递减，故。正确.

故选：ACD.

对4：根据对称中心的性质分析运算；对B：分n=4k+l(k€Z)和n=4k-l(keZ)两种情况讨

论，整理分析；对C：分n=4k(k€Z)和"=4/£+2(忆62)两种情况讨论，结合辅助角公式运算

求解；对D：根据选项C的结果，结合单调性分析运算.

本题考查三角函数的性质，化归转化思想，属中档题.

12.【答案】AB

【解析】解:/(%)=(sinx+

cosx^sinx—|cos%I)=

sin2%—cos2%,2k7i—^<%<2kn+]

(sinx4-cosx)2,2kn4-^<%<2kn+

fcGZ,

jl7T

—cos2x,2kn--<%<2kn+-

27r3,r，(fcGZ),

1+sin2xt2kn+-<x<2kn+—

—cos2x(2kn—^<x<2kn+勺

・•・f(x)=1+sin2x(2kn+1<x<2kn+^k

・•・/(X)的图象如下所示：

由图可知函数是周期为27r的周期函数，函数在[。]网上单调递增，

.♦•/(X)在区间[—2兀，一|句上单调递增，故A正确，

由图可知x=1+kn(_keZ)不是函数的对称轴，故C错误；

3

,・"(x)-『0，

・•.y=|与y=/(久)的交点即为所求，如图知有四个交点，

□，r/3TT、37rc57r57r

且与+x2=2xx3+x4=2x—=

•••xr+x2+x3+x4=n,故B正确.

由图象可知，:/Qi)-/(乂2)=3,二/(X1)=2,/(x2)=-1>

•••X1=、+kj.兀，h6Z,x2=k2n,k2GZ,

：■x1-x2=^+krn-k2n,自eZ,k2GZ,故。错误.

故选:AB.

将函数写成分段函数，即可画出函数图象，再结合函数图象一一分析即可.

本题主要考查了三角函数的图象和性质，考查了数形结合的数学思想，属于中档题.

13.【答案】0

【解析】解:因为/(x)=tanx+sinx+1,令g(x)=/(%)—1=tanx+sinx,

所以g(一%)=tan(—%)+sin(—x)=—(tanx+sinx)——g(x)，

所以g(—b)=—g(b),BP/(-b)-1=-[/(fa)-1],

所以J(-b)=1一[/(b)-1]=2-2=0.

故答案为：0.

利用函数的奇偶性进行求解.

本题主要考查函数奇偶性的应用，考查运算求解能力，属于基础题.

14.【答案】9

【解析】解：令£=5由2%,则+=2+甘7，

sinxcos"ti-t

=<+占［t+（1-t）］=5+£+与N9>

当且仅当工=处组时取等号，

1—tt

故答案为：9.

☆t=siMx,则-V+m=：+A，然后利用乘1法即可求解.

sin'coszxt1-t

本题主要考查利用乘1法求解最值，属于中档试题.

15.【答案】?

［解析］解：sin2004-s讥40°+sm60°—sin800

=sin200+sin(60°—20°)+sin600—sin(60°+20°)

=sin20°+三cos200-1sin200+三一三cos200-；sin20°

故答案为：£3.

由已知结合两角差与和的正弦公式进行化简即可求解.

本题主要考查了两角和与差的正弦公式的应用，属于基础题.

16.【答案】（7,当

【解析】解:函数.=｛霭me（2,+8）的图象如下图所示:

存在实数kG［0,1)满足/(a)=f(b)=/(c)=/(d)=k(a,b,c,d互不相等),

不妨设QVbvcvd,则由图可知a,b关于％=2对称，所以Q+b=l；

当0</c<1时，令|log2(%—2)|=1,解得％=|或％=4,故而|<c<3,3VdV4,

且由图可得-log2(c-2)=log2(d-2),Alog2(c-2)T=log2(d-2),

1151

，c+d=cd----+2=c—2d----+4,***—<Zc<3,c—2EG，1),

c—zc—izL

设亡=。—2,则c+d=t+；+4在tW(；,1)上单调递减，

113

t=-,c4-d=—,t=1,c+d=6,

所以c+dW(6,竽)，所以Q+b+c+d€(7,9)，

综上所述a+b+c+dE(7,^).

故答案为：(7,,).

画出函数/'(x)的图象，根据图象确定a,b关于x=g对称，所以a+b=l,再根据图象，找到c,d

的范围，将c+d的范围表示出即可.

本题考查方程的根与函数图象交点问题，属于难题.

17.【答案】解：(l)sin等-cos亭+tan(-竽)=sin(^+4TT)-cos(-y+4兀)+tan(-^-3兀)

.n27r47rl.八

=sin7—cos——tan7=-+--1=0；

63422

(2)因为角a终边上有一点P(—g,?),

<3£5

所以sina=tana=

sin(a—^)cos(^—a)tan(7r—a)_(^—cosa)sina(-tand)

tan(7r+a)sin(7r4-a)tana(-sina)

【解析】(1)利用诱导公式直接化简求解即可;

(2)先利用三角函数的定义求sina,cosa,tana,再利用诱导公式代入求解即可.

本题主要考查了三角函数定义，诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础题.

18.【答案】解：（l）tma=tan［（a-6）+刃=^^3=金=/（6分）

tan(a—0)+tQ〃a

(2)tan(2a—/?)=tan[(a-/?)+«]=分)

1—tan(a—/?)tana=1(9

c71Tle

v0<a<-,-</?<yr,

rrTT

・•・0<2a<-,—n<-/?<--

:.-7i<2a—p<0（11分）

2a-0=-手.（13分）

【解析】（1）把所求式子中的角a变为（a-/7）+a,利用两角和与差的正切函数公式化简后，将各

自的值代入即可求出值；

（2）先把2。一夕变为（。-0）+西利用两角和的正切函数公式即可求出tan（2a-0）的值，然后根

据a和,的范围求出2a—夕的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出2a—夕的度数.

此题考查学生灵活运用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础

题.学生做题时注意角度的变换.

19.【答案】解：(l)f(x)=2y[~3sinxcosx—2cos2x+1=\/~3sin2x—cos2x=2sin(2x—»

，函数/(x)的最小正周期为T=y=7T,

令一2+2kir<2x—g4尚+2kji,kEZf

则一g+kn<%4-kn,kWZ,

o3

.•.单调递增区间为[-，+/ot(+E：],keZ.

(2)vxG[-§,=],

・♦.2x-旌Hr5],

sin(2x—^)G[—1,1]>

f(x)=2sin(2x—^)G[—2,1],

则函数f(x)在区间[-瑞币的值域为[-2,1].

【解析】（1）利用三角恒等变换化简，再利用正弦函数的图形与性质求解即可;

（2）利用正弦函数的图形与性质求解即可.

本题考查了三角恒等变换的运用，正弦函数的图形与性质，属于中档题.

20.【答案】解：(1)令h(x)=4sin(3x+s),

由图象可知:4=2,最小正周期7=4x(1—$=等

==3,九得)=2sin偿+</>)=2,

则等+3=言+2k7r(k6Z),解得：<jp=—?+2kn(kGZ),

OLJ

又⑼<p.*•(P=

・•・h(x)=2sbi(3%—^),

・•・/(%)=Kx+$=2s讥［3(%+今一刍=2sin(n+3%--)=-2sin(3x-今；

(2)由(1)得：g(x)=-4sin(2x-1)-a,

当xeV，居］时,2x-fe［-^］,

令t=2%则?n(t)=-4sint^tG［一手，咨上与y=a恰有3个交点,

J5o

作出m(t)与y=a的图象如下图所示，

由图象可知：当一-2时，m(t)=-4sint与y=。恰有3个交点，

即若g(x)在［―(普］上恰有3个零点，则a的取值范围为

【解析】⑴令无。)=一金=AS讥(3X+0),结合图象可求得/i(x)的解析式，则由/(%)=h(x+

9可求得/(x);

(2)由⑴可得g(x),令t=2%-三,将问题转化为m(t)=-4sint在te［-4，*上与y=a恰有3个

JJO

交点，采用数形结合的方式可求得结果.

本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题.

21.【答案】解：(1)由题可知，将/(%)的图象向左平移色个单位长度后得到函数g(x)的图象，

则g(x)=cos［2w(x+5)+。］=cos(2a»x+詈+0),

由g(x)的最小正周期为兀，得舁=兀,3=1

由g(x)为奇函数可得等+。=升而，^e=l+kn,

因为0V6<7T,

所以6=*

所以/(%)=cos(2x4-^).

(2)由(1)得g(%)=-sin2x,

所以九(%)=2g(%)4-3COS22X4-m-3=-2sin2x+3cos22x+m—3=-3sin22x—2sin2x+m,

根据九(%)>0恒成立，可得m>3sin22x+2s讥2%对任意实数％e［一看,|兀］恒成立；

令t=sin2x,r(t)=3t24-2t=3(t+1)2—g,

因为xeV，争，所以2xe［-9争，根据正弦函数单调性可得或ge

即t6［一?，1卜

再根据二次函数单调性可得r(t)G［-|,5］,

因此m>5,

即实数m的取值范围为［5,+8).

【解析】(1)根据函数图象平移变换以及最小正周期为兀，可得3=1,利用平移后的函数g(x)为

奇函数，即可求解.

(2)将g(x)=—sin2x代入化简可得/i(x)=—3sin22x-2sin2x+m,再利用换元法根据xe

|扪由二次函数单调性即可求得实数m的取值范围.

本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题.

22.【答案】解:⑴函数f(x)=a(\sinx\