2022-2023学年安徽省蒙城二中高中毕业班第三次诊断性检测试题数学试题试卷

2022-2023学年安徽省蒙城二中高中毕业班第三次诊断性检测试题数学试题试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设抛物线y2=4x上一点P到y轴的距离为4,到直线/：3x+4y+12=o的距离为则4+4的最小值为

()

2,若(1+依)(1+幻5的展开式中x2,%3的系数之和为一10,则实数。的值为()

A.-3B.-2C.-1D.1

3.函数/(x)=Asin(s+0)的部分图象如图中实线所示，图中圆C与〃x)的图象交于两点，且M在)'轴上,

则下列说法中正确的是

A.函数f(x)的最小正周期是2兀

B.函数f(x)的图象关于点［:兀成中心对称

C.函数F。)在(-4，一冷)单调递增

36

54

D.函数f(x)的图象向右平移一后关于原点成中心对称

12

4.若复数z满足z(l-2c)=10,则复数z在复平面内对应的点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

(1乃、(1兀、

5,关于函数/Q)=4sin-X+-+4cos+-,有下述三个结论：

7T

①函数/(X)的一个周期为一；

2

TT371

②函数/（X）在上单调递增；

.24_

③函数/（幻的值域为［4,4A/2］.

其中所有正确结论的编号是（）

A.①②B.②C.②③D.③

6.已知正方体45CD-的棱长为2,E,F,G分别是棱AO,CC,,的中点，给出下列四个命题:

①EF工B。；

②直线尸G与直线4。所成角为60°；

③过E，F,G三点的平面截该正方体所得的截面为六边形；

④三棱锥B—EFG的体积为。.

6

其中，正确命题的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

7.已知定义在R上的函数/（X）满足〃力=/（一力，且在（0,+◎上是增函数，不等式/（公+2）47（—1）对于

%叩,2］恒成立，则。的取值范围是

-g,0D.[0,1]

8.已知抛物线＞2=20》的焦点与双曲线三-卓=1（。＞0,。＞0）的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的

9

线段长为一，那么该双曲线的离心率为（）

2

555厂

A.-B.—C.—D.5/5

432

9.若函数/（x）=3cosx+4sinx在尤=。时取得最小值，贝（Jcos6=（）

3443

A.-B.一一C.-D.--

5555

10.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数（素数）之和，也就

是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想

的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（）

11.在A5c中，角A,B,C的对边分别为a,dc,若c-acosB=(2a-b)cosA,贝!!ABC的形状为()

A.直角三角形B.等腰非等边三角形

C.等腰或直角三角形D.钝角三角形

12.等腰直角三角形4法的斜边A3为正四面体ABCD侧棱，直角边AE绕斜边45旋转，则在旋转的过程中，有下

列说法：

(1)四面体E-BCD的体积有最大值和最小值；

(2)存在某个位置，使得AE_LBZ);

(3)设二面角。一43-£的平面角为。，则GNNZME；

(4)AE的中点M与A8的中点N连线交平面5CQ于点P,则点尸的轨迹为椭圆.

其中，正确说法的个数是()

A.1B.2C.3D.4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.棱长为。的正四面体ABCD与正三棱锥E-B8的底面重合，若由它们构成的多面体A3C0E的顶点均在一球的

球面上，则正三棱锥E-6CD的内切球半径为.

14.函数/(x)=Jlogos(4x_3)的定义域是.

15.已知函数/(xX-x'+sinx,若/(a)=M,则"-a)=.

16.若(2-X)，=%+4(l+x)+%(l+x)-++%(l+x)7'则4+4+4++a6+«7=__，&=•

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在AABC中，内角A,B,C的边长分别为a1,c,且c=2.

7T

(1)若A=§,b=3、求sinC的值；

(2)若$亩/13520+51118852州二35也。，且AABC的面积S="sinC,求。和。的值.

222

18.(12分)已知函数7(%)=〃(％+1)111(%+1)—12一公(々＞0)是减函数.

(1)试确定a的值；

(2)已知数列{a"}a〃=电■如a〃(fi£N")，求证：ln［(〃+2)<］<1-*

19.(12分)某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、

"不合格''两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的成绩，统计结

果及对应的频率分布直方图如下所示：

等级不合格合格

得分[20,40)[40,60)[60,80)[80,100)

频数6X24

(I)若测试的同学中，分数段［20,40)、［40,60)、［60,80)、［80,100］内女生的人数分别为2人、8人、16人、4人,

完成2x2列联表，并判断：是否有90%以上的把握认为性别与安全意识有关？

是否合格

不合格合格总计

性别

男生

女生

总计

(II)用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取1()人进行座谈，现再从这1()人中任选4

人，记所选4人的量化总分为X,求X的分布列及数学期望E(X)；

(IH)某评估机构以指标M(M,其中D(X)表示X的方差)来评估该校安全教育活动的成效，若用20.7,

则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案.在(H)的条件下，判断该校是否应调整安

全教育方案？

附表及公式：K'=-------------------------,其中〃=a+Z?+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k0)0.150.100.050.0250.010

2.0722.7063.8415.0246.635

20.(12分)电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了10()名观众进行调查，其中女性

有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.

(1)根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?

非体育迷体育迷合计

男

女1055

合计

(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3

次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(X)和方差

D(X).

附：犬=_______〃3-儿)2________

(a+-)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.050.01

k3.8416.635

21.(12分)已知。为坐标原点，单位圆与角X终边的交点为P,过P作平行于y轴的直线/,设/与9终边所在直线

的交点为。，f(x)=OPOQ.

(1)求函数/(x)的最小正周期；

71

(2)求函数“X)在区间-.71上的值域.

22.(10分)已知函数/(x)=x2+Q—2)x—"nx+2.

(1)若x=2是/(x)的极值点，求/Xx)的极大值；

(2)求实数/的范围，使得/(x)22恒成立.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

分析：题设的直线与抛物线是相离的，4+4可以化成4+1+&-1，其中4+1是点P到准线的距离，也就是。到

焦点的距离，这样我们从几何意义得到4+1+4的最小值，从而得到4+4的最小值.

y2=4x

详解：由《①得到3y2+16y+48=0,△=256-12x48<0,故①无解，

3x+4y+12=0

所以直线3x+4y+12=0与抛物线是相离的.

由4+/=4+1+d]—19

而4+1为「到准线》=—1的距离，故4+1为p到焦点F(I,O)的距离，

11x3+0x4+121

从而4+1+4的最小值为F到直线3x+4y+12=0的距离J~k亍~L=3,

故4+4的最小值为2,故选A.

点睛：抛物线中与线段的长度相关的最值问题，可利用抛物线的几何性质把动线段的长度转化为到准线或焦点的距离

来求解.

2、B

【解析】

由(1+ar)(l+4=(1+x)5+ax(l+x)5,进而分别求出展开式中x2的系数及展开式中1的系数，令二者之和等于

-10,可求出实数。的值.

【详解】

由(1+ax)(l+x)5=(1+X)5+ax(l+%)5,

232

则展开式中X的系数为c；+«C5'=10+5a,展开式中X的系数为C^+«C5=10+lOa,

二者的系数之和为(10+5a)+(10a+10)=15a+20=—10,得。=—2.

故选：B.

【点睛】

本题考查二项式定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.

3、B

【解析】

根据函数的图象，求得函数/(x)=Asin(2x+?)再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案.

【详解】

TTI7777"TT

根据给定函数的图象，可得点。的横坐标为丁，所以彳7=二一(—二)=37,解得了=万，

32362

所以/(X)的最小正周期T="，不妨令A＞0,0＜。＜乃，由周期丁=%，所以。=2,

又/1_彳)=0,所以夕=?,所以/(x)=Asin(2x+?),

令2%+欠=左乃次eZ,解得x=红—工，左eZ,当左=3时，x=—,即函数/(x)的一个对称中心为［。肛,

即函数/(力的图象关于点《万,o］成中心对称.故选B.

【点睛】

本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得

三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能

力，属于基础题.

4、A

【解析】

化简复数，求得z=2+4i,得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解.

【详解】

1010(1+2z)

由题意，复数z满足2(1-2i)=10,可得Z=[K=]J=2+4i,

1-2/+2zJ

所以复数z在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解

是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

5、C

【解析】

①用周期函数的定义验证.②当x€5,当时，[x+geV■，与£，/(x)=40sin([x+M],再利用单调性

242312241212；

判断.③根据平移变换，函数/(x)=4sin]；x+?

+4C/L+A的值域等价于函数

123J

；1的值域，而当XG[0,乃]时,g(x)=40sin(gn

g(x)=4sinx+4cosgxg(x+;r)=g(x),—x+—再求值域.

23

【详解】

、万、八、

因为4sML+274[+4CJL+2141

/(x+5=4cos—x+—+4sin—x+—w/(x),故①错误;

(212(212；212,212

,71?)n,1\7兀t74(17兀,所以/(x)=4sin(Jx+W]—4co1s+gn1H

当xe-，时，寸+尸=4A/2sin—x-\-----

T23122423212

ITTTT1\TTTT34

不工+不£—所以/(x)在—上单调递增，故②正确;

的值域等价于函数g(x)=4sin；x+4cos；x的值域，易知

函数/(x)=4sin

(23)

17T\

g(x+/)=g(x),故当xe[0,乃]时，g(x)=4及sin—x+—e[4,472],故③正确.

23J

故选：c.

【点睛】

本题考查三角函数的性质，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于中档题.

6、C

【解析】

画出几何体的图形，然后转化判断四个命题的真假即可.

【详解】

如图；

连接相关点的线段，。为的中点，连接瓦O,因为尸是中点，可知尸，EO_L8C，可知平面瓦O,

即可证明SO"，所以①正确；

直线FG与直线4。所成角就是直线4B与直线4。所成角为60。5正确;

过E，F,G三点的平面截该正方体所得的截面为五边形；如图:

是五边形EHFGI.所以③不正确

如图：

三棱锥8-£FG的体积为:

由条件易知尸是GM中点,

所以VB-EFG=VB-EFM=*F-BEM，

^i^x2--x2xl--!-x3xl=-,

而SBEM=S梯形A6MO—SMBE~S&EDM

2222

v™=rlxl4-所以三棱锥B*G的体积为本④正确;

故选：C.

【点睛】

本题考查命题的真假的判断与应用，涉及空间几何体的体积，直线与平面的位置关系的应用，平面的基本性质，是中

档题.

7、A

【解析】

根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在（ro,0）上是减函数，由此可将不等式化为-1W方+241;利用分

3131

离变量法可得-巳4。4-上，求得-三的最大值和--的最小值即可得到结果.

XXXx

【详解】

/（X）=/（-%）.・・/（X）为定义在R上的偶函数，图象关于y轴对称

又“X）在（0,+8）上是增函数.•"（X）在（-8,0）上是减函数

-/（ar+2）</（-I）.".|ar+2|<l,即一1K冰+2W1

Q1

一1W以+2W1对于xe［1,2］恒成立.•・一14aW—2在［1,2］上恒成立

3「3一

即"的取值范围为：一多一1

本题正确选项：A

【点睛】

本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单

调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.

8、A

【解析】

由抛物线V=20x的焦点(5,0)得双曲线点—方=1(。>00>0)的焦点(±5,0),求出户5,由抛物线准线方程

%=-5被曲线截得的线段长为一9，由焦半径公式2b二2=92,联立求解.

2a2

【详解】

解：由抛物线y2=20x,可得2P=2(),则p=l(),故其准线方程为x=-5,

72

抛物线y2=2Qx的准线过双曲线，-方=l(a>0力>0)的左焦点，

/.c=5・

9

抛物线y2=20x的准线被双曲线截得的线段长为3，

9

—2b2又,2=25=/+/,

a2

a=4,Q3,

c5

则双曲线的离心率为

故选：A.

【点睛】

本题考查抛物线的性质及利用过双曲线的焦点的弦长求离心率.弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长.

9、D

【解析】

利用辅助角公式化简f(x)的解析式，再根据正弦函数的最值，求得f(x)在尤=6函数取得最小值时cos6的值.

【详解】

4

解：/'(x)=3cosx+4sinx=5-cosx+—sinx=5sin(x+a),其中，sintz='，cosa--

5

故当e+a=2kn-；*必,即e=2Z乃一5一a(ZwZ)时，函数取最小值/((?)=—5,

所以cos0=cos(2A;r----a)=cos(----a)=-sina=——，

225

故选：D

【点睛】

本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值的应用，属于基础题.

10、A

【解析】

列出所有可以表示成和为6的正整数式子，找到加数全部为质数的只有3+3=6,利用古典概型求解即可.

【详解】

6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),

而加数全为质数的有(3,3),

根据古典概型知，所求概率为P=,

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了古典概型，基本事件，属于容易题.

11、C

【解析】

利用正弦定理将边化角，再由sin(A+B)=sinC,化简可得sinBcosA=sinAcos4,最后分类讨论可得

【详解】

解：因为c-acosB=(2a-h)cosA

所以sinC-sinAcosB=(2sinA-sinB)cosA

所以sinC-sinAcos8=2sinAcosA-sin8cosA

所以sin(A+3)-sinAcos3=2sinAcosA-sinBcosA

所以sinAcosB+sinBcosA-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA

所以sinBcosA=sinAcosA

TT

当0)54=0时4=一，AABC为直角三角形；

2

当cosA。0时sinA=sin8即A=6,AABC为等腰三角形；

AA8C的形状是等腰三角形或直角三角形

故选：C.

【点睛】

本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.

12、C

【解析】

解：对于（1）,当平面A5E,且£在A8的右上方时，E到平面的距离最大，当平面48E,且E在

AB的左下方时，E到平面BCD的距离最小，

四面体E-5CQ的体积有最大值和最小值，故（1）正确；

对于（2）,连接OE,若存在某个位置，使得AEJL8D,又则AEJ_平面8OE,可得AE_LOE,进一步可得

AE=DE,此时E-480为正三棱锥，故（2）正确；

对于（3）,取A3中点0,连接。0,EO,则NOOE为二面角O-A8-E的平面角，为。，

直角边AE绕斜边A5旋转，则在旋转的过程中，0G[0,it）,

jr

ZDAE^[—,it）,所以ONNZME不成立.（3）不正确；

对于（4）AE的中点M与48的中点N连线交平面BCD于点P,P到BC的距离为：dp.BC,

IpBI

因为1-VI,所以点尸的轨迹为椭圆.（4）正确.

4-BC

故选：C.

点睛：该题考查的是有关多面体和旋转体对应的特征，以几何体为载体，考查相关的空间关系，在解题的过程中，需

要认真分析，得到结果，注意对知识点的灵活运用.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1I3-\/2—V6

13、---------a

12

【解析】

由棱长为。的正四面体ABCD求出外接球的半径，进而求出正三棱锥E-BC。的高及侧棱长，可得正三棱锥

石-BCD的三条侧棱两两相互垂直，进而求出体积与表面积，设内切圆的半径，由等体积丫=；S表面积•??’,求出内

切圆的半径.

【详解】

由题意可知：

多面体ABCDE的外接球即正四面体ABCD的外接球

作AE1.面BCD交于尸，连接CF,如图

贝ICF=2旦河,且AE为外接球的直径，可得

323

AF=>J3-疗=J/_g幻2=等。，

2「_BC=a

设三角形8。的外接圆的半径为r,贝！J'-sin60o-^,解得

T7

设外接球的半径为R,则&2=，+（A尸_R）2可得2AF.R=r2+AF2>

即2.®.H=《+鱼，解得/?=逅a,

3394

设正三棱锥后-88的高为〃，

因为AE-2R~~Y~a，所以力=EF=2R-AF=-=^^~a>

所以BE=CE=DE=yiEF2+CF2=J-a+-a=—a,

V632

而BD=BC=CD=a,

所以正三棱锥E-BCD的三条侧棱两两相互垂直，

设内切球的半径为R'，VE-BDC=§5ABs-EF=—,(SE-8CD)表面积,R»

即1G2瓜13+-\/32p，繇徂o13A/2--76

即一«——a.——a=-------a»R解得：R=------------a-

3463412

故答案为:

【点睛】

本题考查多面体与球的内切和外接问题，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意借助

几何体的直观图进行分析.

14、

【解析】

由于偶次根式中被开方数非负，对数的真数要大于零，然后解不等式组可得答案.

【详解】

解：由题意得，

x<\

log0.5(4x-3)>0

41>0，解得3,

X>一

4

3

所以:＜九41,

4

故答案为：

【点睛】

此题考查函数定义域的求法，属于基础题.

15、-M

【解析】

根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数/(x)的奇偶性，利用函数奇偶性的性质求解即可.

【详解】

因为函数f(x)=-/+sinx,其定义域为R,

所以其定义域关于原点对称，

34

X/(-%)=-(-%)+sin(-x)=-卜3+sjn=,

所以函数/(X)为奇函数，因为/(a)=M,

所以止a)=-M.

故答案为:

【点睛】

本题考查函数奇偶性的判断及其性质；考查运算求解能力；熟练掌握函数奇偶性的判断方法是求解本题的关键;属于中

档题、常考题型.

16、12821

【解析】

令x=0,求得/+4+4++4+%的值.利用［3-(1+月］'展开式的通项公式，求得松的值.

【详解】

令x=0,得/+%++%=27=128.［3—(1+力］展开式的通项公式为C；37-1—(l+x)J,当r=6时，为

G3(l+x)6=21(l+x)6,即6=21.

【点睛】

本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查赋值法求解二项式系数有关问题，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)sinC=.(2)a-b—5.

7

【解析】

(1)先由余弦定理求得“，再由正弦定理计算即可得到所求值；

(2)运用二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式，化简可得sinA+sinB=5sinC,运用正弦定理和三角形的面积公式可

得a,b的方程组，解方程即可得到所求值.

【详解】

解：(1)由余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA=9+4-2x3x2x—=7,«=>/7

由正弦定理——，得sinC

sirt4sinC

/、.A.3.41+cosfi.n1+cosA_.一

(2)由已知得：sinAx--------1-sinBx-------=3sinC

22

sin4+sinAcosB+sinB+siaBcosA=6sinC

sinA+sin8+sin(A+B)=6sinC,sinA+s'mB-5sinC

所以a+b=5c=10①

I25

又S=-a戾inC=—sinC,所以昉=25……②

22

由①②解得a=h=5

【点睛】

本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，以及三角函数的恒等变换，考查化简整理的运算能力，属于中档题.

18、(I)a=2(II)见证明

【解析】

(I)求导得/'(X)=aln(x+1)—2x,由/(x)是减函数得,对任意的xG(-1,-H»),都有/'(x)=aln(x+1)-2x<0

恒成立，构造函数g(x)=aln(x+l)-2x,通过求导判断它的单调性，令其最大值小于等于0,即可求出

(H)由/(X)是减函数，且40)=0可得,当x>0时，/(x)<0,则/⑺<0,即2(〃+l)ln(l+〃)<〃2+2”,

衣,\2„ln(rt+l)1nn+2,1nn+2

两边问除以2(〃+1)得，--------<------------,KHpna<------------,从而

'〃+12n+ln+l2n+in+\

1<123n)(345〃+2)_1〃+2

—C1li2.3ci“<—2“•(一2,一3,一4n+lJk两边取对数

ln「(〃+2)(]<ln(：：2)、=21n(n+2)-ln(n+l)-(n+l)ln2,然后再证明

LV'"」2H+I(n+l)

21n(〃+2)—ln(〃+l)—("+1)1112+5—1<0恒成立即可，构造函数

/7(x)=21n(x+2)-ln(x+l)-(x+l)ln2+|-l,xe[l,+oo),通过求导证明〃(x)<0即可.

【详解】

解：(I)/(x)的定义域为(-1,+8),/'(x)=aln(x+l)-2x.

由/(x)是减函数得，对任意的XW(T,+8),都有/'(x)=aln(x+l)-2xW0恒成立.

设g(x)=aln(x+l)-2x.

-2x-^-1

9由。>0知—1>—1,

'g'")=2

x+1

(.a

・••当工£卜1，5一］时，g〈X)>0;当一1,+00时，g'(x)<0,

.•.8(力在［-1e-1］上单调递增，在仁-1,+8)上单调递减，

g(尤)在X=>时取得最大值.

又•••g(O)=O,.•.对任意的大«-1收),g(x)Vg(O)恒成立,即g(x)的最大值为g⑼.

.,.--1=0,解得a=2.

2

(n>由/(x)是减函数，且/(o)=()可得，当%>()时，/(%)<0,

/(H)<0,即2(n+l)ln(l+n)<n2+2〃.

„1n〃+2

两边同除以2(n+1『得，+即Qa<------------

H+12〃+1〃+1“2〃+1鹿+1

123n345〃+2)1n+2

从而z,…2342-3-4……^+Tj

〃+1

(n+2)~

所以ln[(〃+2)7；]<ln=21n(〃+2)-ln(〃+l)-(〃+l)ln2①.

2日(〃+1)

77

下面证21n(〃+2)-ln(〃+l)-(〃+1)1112+2-1<0；

记/z(x)=21n(x+2)-ln(x+l)-(x+l)ln2+^-l,xe[l,4oo).

1「I

21x--------ln2+—

；・1(x)—In2+——.-ln2+-2,,2,

x+2x+12x~+3x+22Xd---F3

X

2

•••y=x+—在[2,+8)上单调递增，

：.”(X)在[2,+8)上单调递减，

而〃'(x)<〃(2)=(—ln2+；=；(2—31n2)=g(2—ln8)<0,

.,.当xe[2,+oo)时，恒成立，

.•.〃(%)在［2,位)上单调递减,

即XE[2,+OO)时，/z(x)</?(2)=21n4-ln3-31n2=ln2-ln3<0,

，当〃之2时，〃(〃)〈().

1O「

V7/(1)=21n3-In2-21n2--=ln--lnVe<0,

28

当〃eN*时，//(〃)<(),即21ri(〃+2)—In(〃+1)—(〃+1)ln2<1—2②.

综上①@可得，In[(〃+2)Z,]<1-].

【点睛】

本题考查了导数与函数的单调性的关系，考查了函数的最值，考查了构造函数的能力，考查了逻辑推理能力与计算求

解能力，属于难题.，

19、(I)详见解析；(n)详见解析；(ni)不需要调整安全教育方案.

【解析】

(I)根据题目所给数据填写好2*2列联表，计算出K?的值，由此判断出在犯错误概率不超过90%的前提下，不能

认为性别与安全测试是否合格有关.(II)利用超几何分布的计算公式，计算出X的分布列并求得数学期望.(HD由

(II)中数据，计算出。(X),进而求得加的值，从而得出该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案.

【详解】

解：(I)由频率分布直方图可知，得分在[20,40)的频率为0.005x20=0.1,故抽取的学生答卷总数为4=60,

/.y—60x0.2=12,x=18.

性别与合格情况的2x2列联表为:

是否合格

不合格合格小计

性别

男生141630

女生102030

小计243660

腔_60x（14x20-10x16）2

—<2.706

八30x30x24x369

即在犯错误概率不超过90%的前提下，不能认为性别与安全测试是否合格有关.

(II)“不合格”和“合格”的人数比例为24:36=2:3,因此抽取的1()人中“不合格”有4人，“合格”有6人，所以X可

能的取值为20、15、1()、5、()，

「41O「202o

P（X=20）=&=R,P（X=15）=点=五/"=10）=芸=了

C：=1

P"=5)U，P(X=O)

X的分布列为:

X20151050

18341

P

1421735210

所以越=20x-i-+15x刍+10x』+5xW+0x」-=12.

1421735210

22222

(HI)由(口)知：D(X)=(20-12)X^-+(15-12)X^-+(10-12)X|+(5-12)XA+(0-12)X^=16

箭去27.

故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案.

【点睛】

本小题主要考查2x2列联表独立性检验，考查超几何分布的分布列、数学期望和方差的计算，所以中档题.

十乂39

20、⑴无关；⑵“

【解析】

(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而可得列联表如下:

非体育迷体育迷合计

男301545

女451055

合计7525100

将22列联表中的数据代入公式计算，得

,4(力1叼-〃12出/101)x(30x10-4ox15尸100

A'=-------—=-------------=—^3.03・

75x25x45x5533

因为3.03(X3.841,所以我