2022年数学(百色专用)一轮复习教学案-第23课时圆的有关概念及性质

第七章圆第23课时圆的有关概念及性质近五年中考考情2022年中考预测年份考查点题型题号分值预计将考查圆周角定理及推论，圆心角、弧、弦、弦心距间的关系，也会涉及垂径定理及相关结论，在选择题、填空题中考查圆的基本概念及性质，在解答题中与圆的切线综合考查，考查形式多样．2021未单独考查2020未单独考查2019未单独考查2018未单独考查2017未单独考查圆周角定理1.（2014年，15，3分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，∠AOC＝50°，则∠ABC＝25°．垂径定理2.（2016年，15，3分）如图，⊙O的直径AB过弦CD的中点E，若∠C＝25°，则∠D＝65°．圆的有关概念（沪科九下P12～13）圆的定义定义1：在平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的封闭曲线叫做圆定义2：圆是平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的图形弦连接圆上任意两点的线段叫做弦续表直径经过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧（简称弧），弧有优弧、半圆、劣弧之分；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧弓形由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形等圆能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等同心圆圆心相同的圆叫做同心圆圆的性质（沪科九下P14～19）圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过圆心的直线圆是中心对称图形，对称中心为圆心垂径定理定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧圆心角、弧、弦、弦心距间的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中有一组量相等，那么其余各组量都分别相等．简记：圆心角相等⇔弧相等⇔弦相等⇔弦心距相等【方法点拨】【方法点拨】在解决与弦有关的问题时，作垂直于弦的直径可以构造直角三角形，从而转化成解直角三角形的问题．圆周角（沪科九下P27～30）圆周角的定义顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公共点的角叫做圆周角圆周角定理定理一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半推论1在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等推论2半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径定理圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角1.如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠ACB＝130°，则∠α的度数为（A）A．100°B．110°C．120°D．130°（第1题图）（第2题图）2.（2021·桂林中考）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，BC，则∠C的度数是（B）A．60°B．90°C．120°D．150°3.（源于沪科九下P32）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，点B是的中点，点M是半径OD上任意一点．若∠BDC＝40°，则∠AMB的度数不可能是（D）A．45°B．60°C．75°D．85°（第3题图）（第4题图）4.（2021·贵港中考）如图，点A，B，C，D均在⊙O上，直径AB＝4，点C是的中点，点D关于AB对称的点为E，若∠DCE＝100°，则弦CE的长是（A）A．2eq\r(3)B．2C．eq\r(3)D．1【链接考点3】5.（2021·百色一模）如图所示，已知AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点C.若AB＝8，OC＝3，则⊙O的半径长为5．（第5题图）（第6题图）6.（2021·长沙中考）如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离为2，则∠AOC的度数为45°．7.（2020·河池中考）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝55°，则∠2＝35°.【链接考点2】

圆心角、弧、弦间的关系及圆周角定理（重点）【例1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（B）A．AB＝ADB．BC＝CDC．＝D．∠BCA＝∠DCA【解析】根据圆心角、弧、弦间的关系对各选项进行逐一判断即可．B项中由AC平分∠BAD得∠BAC＝∠DAC，根据圆周角定理的推论得BC＝CD，故结论正确；A项、C项、D项中的关系不一定是相等关系，故均错误．1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，点A为的中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于（A）A．40°B．50°C．60°D．70°（第1题图）（第2题图）2.（2021·龙东中考）如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC的长为5cm，点D在圆上，且∠ADC＝30°，则⊙O的半径为5cm.垂径定理及相关结论（重点）【例2】如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，＝＝，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一个动点．下列结论：①∠BOE＝60°；②∠CED＝eq\f(1,2)∠DOB；③DM⊥CE；④CM＋DM的最小值是10.上述结论中正确的个数是（C）A．1B．2C．3D．4【解析】根据弧相等和点E是点D关于AB的对称点，求出∠DOB＝∠COD＝∠BOE＝60°，从而求出∠CED；根据圆周角定理求出只有当点M和点A重合时∠MDE＝60°，此时才有DM⊥CE；找到点M的位置，连接CD，根据圆周角定理的推论得出此时CE是直径，即可求出CE的长．3.（2021·来宾中考）如图，⊙O的半径OB为4，OC⊥AB于点D，∠BAC＝30°，则OD的长是（C）A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．2D．3eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第3题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第4题图）))4.如图，在半径为eq\r(13)的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是2eq\r(11)5.（2020·百色一模）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点D是的中点，BC与AD，OD分别交于点E，F.连接AC，CD.（1）求证：DO∥AC；（2）求证：DE·DA＝DC2；（3）若tan∠CAD＝eq\f(1,2)，求sin∠CDA的值．（1）证明：∵点D是的中点，∴＝.∴∠CAD＝∠BAD，即∠CAB＝2∠BAD.又∵∠BOD＝2∠BAD，∴∠CAB＝∠BOD.∴DO∥AC；（2）证明：∵＝，∴∠DCB＝∠CAD.∵∠CDE＝∠ADC，∴△DCE∽△DAC.∴eq\f(DC,DA)＝eq\f(DE,DC).∴CD2＝DE·DA；（3）解：连接BD，则BD＝CD，∠DBC＝∠CAD.∵tan∠CAD＝eq\f(1,2)，∴tan∠DBE＝eq\f(DE,BD)＝eq\f(DE,CD)＝eq\f(1,2).设DE＝a，则CD＝2a.∵CD2＝DE·DA，∴