高中数学人教A版必修4学案2.2.2向量减法运算及其几何意义Word版含解析

第2课时向量减法运算及其几何意义1.相反向量与a长度相等，方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作－a.(1)零向量的相反向量仍是零向量，即－0＝0.(2)任一向量与其相反向量的和是零向量，即a＋(－a)＝0.(3)如果a，b是互为相反的向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.2．向量的减法(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．(2)几何意义：已知a，b，在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(OB,\s\up10(→))＝b，则eq\o(BA,\s\up10(→))＝a－b，即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．eq\x(状元随笔)1.准确理解向量减法的几何意义(1)向量减法是向量加法的逆运算．设eq\o(x,\s\up10(→))＋eq\o(b,\s\up10(→))＝eq\o(a,\s\up10(→))，则eq\o(x,\s\up10(→))＝eq\o(a,\s\up10(→))－eq\o(b,\s\up10(→))，如图，设eq\o(OA,\s\up10(→))＝eq\o(a,\s\up10(→))，eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(b,\s\up10(→)).由向量加法的三角形法则可知eq\o(OA,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(BA,\s\up10(→))，∴eq\o(BA,\s\up10(→))＝eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(a,\s\up10(→))－eq\o(b,\s\up10(→)).(2)对于两个共起点的向量，它们的差就是连接这两个向量的终点，方向指向被减的向量．(3)以向量eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(a,\s\up10(→))，eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(b,\s\up10(→))为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(a,\s\up10(→))＋eq\o(b,\s\up10(→))，eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(b,\s\up10(→))－eq\o(a,\s\up10(→))，eq\o(DB,\s\up10(→))＝eq\o(a,\s\up10(→))－eq\o(b,\s\up10(→)).2．若eq\o(a,\s\up10(→))，eq\o(b,\s\up10(→))是不共线向量，|eq\o(a,\s\up10(→))＋eq\o(b,\s\up10(→))|与|eq\o(a,\s\up10(→))－eq\o(b,\s\up10(→))|的几何意义比较，如图所示，设eq\o(OA,\s\up10(→))＝eq\o(a,\s\up10(→))，eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(b,\s\up10(→)).根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的三角形法则，有eq\o(OC,\s\up10(→))＝eq\o(a,\s\up10(→))＋eq\o(b,\s\up10(→))，eq\o(BA,\s\up10(→))＝eq\o(a,\s\up10(→))－eq\o(b,\s\up10(→)).因为四边形OACB是平行四边形，所以|eq\o(a,\s\up10(→))＋eq\o(b,\s\up10(→))|＝|eq\o(OC,\s\up10(→))|，|eq\o(a,\s\up10(→))－eq\o(b,\s\up10(→))|＝|eq\o(BA,\s\up10(→))|分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长．[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两向量首尾相连，和向量由第一个向量的始点指向第二个向量的终点．()(2)向量a－b当它们起点重合时可以看作从向量b的终点指向向量a的终点的向量．()(3)向量加法的运算律同样适用于向量的减法运算．()答案：(1)√(2)√(3)√2．非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是()A．m＝nB．m＝－nC．|m|＝|n|D．方向相反解析：零向量m与n是相反向量，则有m＝－n，|m|＝|n|.答案：A3．在三角形ABC中，eq\o(BC,\s\up10(→))＝a，eq\o(CA,\s\up10(→))＝b，则eq\o(AB,\s\up10(→))＝()A．a－bB．b－aC．a＋bD．－a－b解析：eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(CB,\s\up10(→))－eq\o(CA,\s\up10(→))＝－eq\o(BC,\s\up10(→))－eq\o(CA,\s\up10(→))＝－a－b.答案：D4.eq\o(PA,\s\up10(→))－eq\o(PB,\s\up10(→))＝________.解析：eq\o(PA,\s\up10(→))－eq\o(PB,\s\up10(→))＝eq\o(BA,\s\up10(→)).答案：eq\o(BA,\s\up10(→))类型一已知向量作差向量例1如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.【解析】方法一如图①，在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(OB,\s\up10(→))＝b，eq\o(OC,\s\up10(→))＝c，连接BC，则eq\o(CB,\s\up10(→))＝b－c.过点A作AD綊BC，连接OD，则eq\o(AD,\s\up10(→))＝b－c，所以eq\o(OD,\s\up10(→))＝eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(AD,\s\up10(→))＝a＋b－c.方法二如图②，在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(AB,\s\up10(→))＝b，连接OB，则eq\o(OB,\s\up10(→))＝a＋b，再作eq\o(OC,\s\up10(→))＝c，连接CB，则eq\o(CB,\s\up10(→))＝a＋b－c.方法三如图③，在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(AB,\s\up10(→))＝b，连接OB，则eq\o(OB,\s\up10(→))＝a＋b，再作eq\o(CB,\s\up10(→))＝c，连接OC，则eq\o(OC,\s\up10(→))＝a＋b－c.方法归纳求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．跟踪训练1如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.解析：如图所示，以A为起点分别作向量eq\o(AB,\s\up10(→))和eq\o(AC,\s\up10(→))，使eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(AC,\s\up10(→))＝b.连接CB，得向量eq\o(CB,\s\up10(→))＝a－b，再以C为起点作向量eq\o(CD,\s\up10(→))，使eq\o(CD,\s\up10(→))＝c，连接DB，得向量eq\o(DB,\s\up10(→))＝(a－b)－c.则向量eq\o(DB,\s\up10(→))即为所求作的向量a－b－c.先作eq\o(a,\s\up10(→))－eq\o(b,\s\up10(→))，再作eq\o(a,\s\up10(→))－eq\o(b,\s\up10(→))－eq\o(c,\s\up10(→)).类型二向量的减法运算例2化简(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→)))－(eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(BD,\s\up10(→)))．【解析】方法一(统一成加法)(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→)))－(eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(BD,\s\up10(→)))＝eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(DC,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＋eq\o(DC,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→))＝eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(DA,\s\up10(→))＝0.方法二(利用eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(BA,\s\up10(→)))(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→)))－(eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(BD,\s\up10(→)))＝eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＝(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→)))－eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(CB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(DB,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＝0.方法三(利用eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→)))设O是平面内任意一点，则(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→)))－(eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(BD,\s\up10(→)))＝eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＝(eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→)))－(eq\o(OD,\s\up10(→))－eq\o(OC,\s\up10(→)))－(eq\o(OC,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→)))＋(eq\o(OD,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→)))＝eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OD,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))－eq\o(OC,\s\up10(→))＋eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OD,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))＝0.方法归纳1．向量减法运算的常用方法2．向量加减法化简的两种形式(1)首尾相连且为和．(2)起点相同且为差．解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．跟踪训练2在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(DC,\s\up10(→))－eq\o(CB,\s\up10(→))＝________.解析：eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(DC,\s\up10(→))－eq\o(CB,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→)))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＝eq\o(AD,\s\up10(→)).答案：eq\o(AD,\s\up10(→))结合图形利用减法运算法则求．类型三利用已知向量表示未知向量例3如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(AC,\s\up10(→))＝b，eq\o(AE,\s\up10(→))＝c，试用向量a，b，c表示向量eq\o(CD,\s\up10(→))，eq\o(BC,\s\up10(→))，eq\o(BD,\s\up10(→)).【解析】因为四边形ACDE是平行四边形，所以eq\o(CD,\s\up10(→))＝eq\o(AE,\s\up10(→))＝c，eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→))＝b－a，故eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＝b－a＋c.由平行四边形的性质可知eq\o(CD,\s\up10(→))＝eq\o(AE,\s\up10(→))＝eq\o(c,\s\up10(→))，由向量的减法可知：eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→))，由向量的加法可知eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→)).方法归纳利用已知向量表示其他向量的思路解决这类问题时，要根据图形的几何性质，正确运用向量加法、减法和共线(相等)向量，要注意向量的方向及运算式中向量之间的关系．当运用三角形法则时，要注意两个向量首尾顺次相接，当两个向量共起点时，可以考虑用减法．常用结论：任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线向量的和(差)，即eq\o(AM,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BM,\s\up10(→))以及eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(NB,\s\up10(→))－eq\o(NA,\s\up10(→))(M，N均是同一平面内的任意点)．跟踪训练3本例中的条件“点B是该平行四边形外一点”若换为“点B是该平行四边形内一点”，其他条件不变，其结论又如何呢？解析：如图，因为四边形ACDE是平行四边形，所以eq\o(CD,\s\up10(→))＝eq\o(AE,\s\up10(→))＝c，eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→))＝b－a，eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＝b－a＋c.第一步：观察各向量的位置．第二步：寻找(或作)相应的平行四边形或三角形．第三步：运用法则找关系．第四步：化简结果．[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列运算中正确的是()A.eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))B.eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→))＝eq\o(DB,\s\up10(→))C.eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(BA,\s\up10(→))D.eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→))＝0解析：根据向量减法的几何意义，知eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(BA,\s\up10(→))，所以C正确，A错误；B显然错误；对于D，eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→))应该等于0，而不是0.答案：C2．下列四式中不能化简为eq\o(PQ,\s\up10(→))的是()A.eq\o(AB,\s\up10(→))＋(eq\o(PA,\s\up10(→))＋eq\o(BQ,\s\up10(→)))B．(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(PC,\s\up10(→)))＋(eq\o(BA,\s\up10(→))－eq\o(QC,\s\up10(→)))C.eq\o(QC,\s\up10(→))－eq\o(QP,\s\up10(→))＋eq\o(CQ,\s\up10(→))D.eq\o(PA,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(BQ,\s\up10(→))解析：D中，eq\o(PA,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(BQ,\s\up10(→))＝eq\o(PB,\s\up10(→))－eq\o(BQ,\s\up10(→))＝eq\o(PB,\s\up10(→))＋eq\o(QB,\s\up10(→))不能化简为eq\o(PQ,\s\up10(→))，其余选项皆可．答案：D3．在△ABC中，D是BC边上的一点，则eq\o(AD,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))等于()A.eq\o(CB,\s\up10(→))B.eq\o(BC,\s\up10(→))C.eq\o(CD,\s\up10(→))D.eq\o(DC,\s\up10(→))解析：在△ABC中，D是BC边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得eq\o(AD,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(CD,\s\up10(→)).答案：C4．如图，在四边形ABCD中，设eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(AD,\s\up10(→))＝b，eq\o(BC,\s\up10(→))＝c，则eq\o(DC,\s\up10(→))＝()A．a－b＋cB．b－(a＋c)C．a＋b＋cD．b－a＋c解析：eq\o(DC,\s\up10(→))＝eq\o(DA,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝a－b＋c.答案：A5．给出下列各式：①eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))；②eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))；③eq\o(AD,\s\up10(→))－eq\o(OD,\s\up10(→))－eq\o(AO,\s\up10(→))；④eq\o(NQ,\s\up10(→))－eq\o(MP,\s\up10(→))＋eq\o(QP,\s\up10(→))＋eq\o(MN,\s\up10(→)).对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是()A．4B．3C．2D．1解析：①eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→))＝0；②eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))－(eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→)))＝eq\o(AD,\s\up10(→))－eq\o(AD,\s\up10(→))＝0；③eq\o(AD,\s\up10(→))－eq\o(OD,\s\up10(→))－eq\o(AO,\s\up10(→))＝eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(DO,\s\up10(→))＋eq\o(OA,\s\up10(→))＝eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(OA,\s\up10(→))＝0；④eq\o(NQ,\s\up10(→))－eq\o(MP,\s\up10(→))＋eq\o(QP,\s\up10(→))＋eq\o(MN,\s\up10(→))＝eq\o(NQ,\s\up10(→))＋eq\o(QP,\s\up10(→))＋eq\o(MN,\s\up10(→))－eq\o(MP,\s\up10(→))＝eq\o(NP,\s\up10(→))＋eq\o(PN,\s\up10(→))＝0.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6.eq\o(EF,\s\up10(→))＋eq\o(DE,\s\up10(→))－eq\o(DB,\s\up10(→))＝________.解析：eq\o(EF,\s\up10(→))＋eq\o(DE,\s\up10(→))－eq\o(DB,\s\up10(→))＝eq\o(EF,\s\up10(→))＋eq\o(BE,\s\up10(→))＝eq\o(BF,\s\up10(→)).答案：eq\o(BF,\s\up10(→))7．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.解析：若a，b为相反向量，则a＋b＝0，所以|a＋b|＝0，又a＝－b，所以|a|＝|－b|＝1，因为a与－b共线同向，所以|a－b|＝2.答案：028．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且|eq\o(BC,\s\up10(→))|＝4，|eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))|＝|eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))|，则|eq\o(AM,\s\up10(→))|＝________.解析：以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB，由向量加减法几何意义可知，eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))，eq\o(CB,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))，∵|eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))|＝|eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))|，平行四边形ABCD为矩形，∴|eq\o(AD,\s\up10(→))|＝|eq\o(CB,\s\up10(→))|，又|eq\o(BC,\s\up10(→))|＝4，M是线段BC的中点，∴|eq\o(AM,\s\up10(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(AD,\s\up10(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up10(→))|＝2.答案：2三、解答题(每小题10分，共20分)9．如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.解析：在平面内任取一点O，作向量eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(OB,\s\up10(→))＝b，则向量a－b＝eq\o(BA,\s\up10(→))，再作向量eq\o(BC,\s\up10(→))＝c，则向量eq\o(CA,\s\up10(→))＝a－b－c.10．化简下列各式：(1)(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋(－eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(MO,\s\up10(→)))；(2)eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AD,\s\up10(→))－eq\o(DC,\s\up10(→)).解析：(1)方法一原式＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→)))＋(eq\o(OM,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＝eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→)).方法二原式＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋(eq\o(MB,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→)))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋0＝eq\o(AB,\s\up10(→)).(2)方法一原式＝eq\o(DB,\s\up10(→))－eq\o(DC,\s\up10(→))＝eq\o(CB,\s\up10(→)).方法二原式＝eq\o(AB,\s\up10(→))－(eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(DC,\s\up10(→)))＝eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(CB,\s\up10(→)).[能力提升](20分钟，40分)11．平面内有三点A，B，C，设m＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))，n＝eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(BC,\s\up10(→))，若|m|＝|n|，则有()A．A，B，C三点必在同一直线上B．△ABC必为等腰三角形且∠ABC为顶角C．△ABC必为直角三角形且∠ABC＝90°D．△ABC必为等腰直角三角形解析：如图，作eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(BC,\s\up10(→))，则ABCD为平行四边形，从而m＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))，n＝eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(DB,\s\up10(→)).因为|m|＝|n|，所以|eq\o(AC,\s\up10(→))|＝|eq\o(DB,\s\up10(→))|.所以四边形ABCD是矩形，所以△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°.答案：C12．给出下列命题：①若eq\o(OD,\s\up10(→))＋eq\o(OE,\s\up10(→))＝eq\o(OM,\s\up10(→))，则eq\o(OM,\s\up10(→))－eq\o(OE,\s\up10(→))＝eq\o(OD,\s\up10(→))；②若eq\o(OD,\s\up10(→))＋eq\o(OE,\s\up10(→))＝eq\o(OM,\s\up10(→))，则eq\o(OM,\s\up10(→))＋eq\o(DO,\s\up10(→))＝eq\o(OE,\s\up10(→))；③若eq\o(OD,\s\up10(→))＋eq\o(OE,\s\up10(→))＝eq\o(OM,\s\up10(→))，则eq\o(OD,\s\up10(→))－eq\o(EO,\s\up10(→))＝eq\o(OM,\s\up10(→))；④若eq\o(OD,\s\up10(→))＋eq\o(OE,\s\up10(→))＝eq\o(OM,\s\up10(→))，则eq\o(DO,\s\up10(→))＋eq\o(EO,\s\up10(→))＝eq\o(MO,\s\up10(→)).其中正确命题的序号为________．解析：①因为eq\o(OD,\s\up10(→))＋eq\o(OE,\s\up10(→))＝eq\o(OM,\s\up10(→))，所以eq\o(OD,\s\up10(→))＝eq