高中数学测试卷（含答案）

高考备考诊断性联考卷（三）文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案BDCACDACBABD【解析】1．，故选B．2．，则，故选D．3．既是等差数列又是等比数列，，则(常数数列)，前2020项的和等于2020，故选C．4．考虑用几何概型，如图1，表示边长等于2的正方形区域，表示半径等于1的单位圆的内部，两个区域图1的中心重合，事件“”发生的概率78.54%，图1对比四个选项，故选A．5．用余弦定理，，，故选C．6．则切线的方程为取解得切线在轴上的截距取解得切线在轴上的截距，则直线与坐标轴围成的三角形面积，故选D．7．取得，图形在轴上的截距等于；取得，图形在轴上的截距等于；取得，则点在图形上，排除B，C，D，故选A．另解：当时，，将抛物线弧（凹的）上移2个单位得到的图象，再因的图形关于两条坐标轴对称，选A，或者排除B，C，D，故选A．8．命题=1\*GB3①=5\*GB3⑤是真命题，其它是假命题，故选C．9．设，作出四个不等式，，，组合后表示的可行域（四边形区域），解得可行域的四个顶点：，，，，一一代入计算比较，得，故选B．（或用直线平移探索）10．是的偶函数，且在上递减，，，故选A．11．已知则点位于以为焦点、直线为准线的抛物线上，以的中点为原点、直线为轴建立直角坐标系（在正半轴上），依据，求得抛物线方程为，焦点，作轴(是垂足)，由知平分，求得，由对称性，只需取，设外接圆的方程为，将点，，的坐标代入求得，，，所以外接圆的半径，故选B．图212．，，设进行替换，作的图象如图2，在上满足的实数有且只有3个，即函数在上有且只有3个零点，由图象可知，，结论=4\*GB3④正确；由图象知，在上只有一个极小值点，有一个或两个极大值点，结论=1\*GB3①正确，结论=2\*GB3②错误；当时，，由知，所以在上递增，则在上单调递增，结论=3\*GB3③正确，故选D．图2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13141516答案【解析】13．如图3，已知是的中点，则图3已知则图314．已知是等差数列，设其公差为则的前项和．15．设，已知是的直角顶点，则与联立，解得，所以的坐标是．16．如图4，设被挖去的正方体的棱长为，由（半）轴截面中的直角三角形相似，得该模型的图4体积，所以制作该模图4型所需材料质量约为．（因四舍五入误差，考生答171，172，173时都给满分）三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分12分）解：（1）根据列联表，………………（4分）在附表中，犯错概率0.05与观测值3.841对应，犯错概率0.025与观测值5.024对应，3.841<4.274<5.024，……………（5分）所以有95%的把握认为人们对新冠肺炎病毒的抵抗力与是否坚持体育锻炼有关．………………………（6分）（2）根据列联表，在按照分层抽样抽取的5个阳性人员中，恰好有一人坚持体育锻炼，记坚持体育锻炼的一人为a，其他四人为b，c，d，e，……（8分）从5人中抽取两人，列举所有的抽法得ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种，其中含a的有且仅有4种．………（10分）记“从抽取的5位阳性人员中再随机抽取2人，恰好有一人坚持体育锻炼”为事件A，则．……………………（12分）18（本小题满分12分）解：（1）选择=1\*GB3①作为依据，由正弦定理得，………………（2分）由得，……………（4分），，．………………（6分）（2）选择添加条件=5\*GB3⑤的面积等于，则，．……………（8分）由余弦定理和基本不等式：周长，………………（9分）当且仅当时取等号，……………（10分）所以的周长的最小值等于12．，，可以让，此时周长．的周长的取值范围是．……………（12分）若选择添加“=4\*GB3④”作为条件，用余弦定理和基本不等式，，………………（9分）则，时取等号．……………（10分）又，则．……（11分）所以的周长的取值范围是．（与选择=5\*GB3⑤结果不同）………………………（12分）19（本小题满分12分）解：（1）性质1：平面．………（2分）证明如下：翻折前，，翻折后仍然，………（3分）且，………（4分）则平面.………（5分）性质2：．………（2分）证明如下：与性质1证明方法相同，得到平面．………（4分）又因平面，则．………（5分）性质3：与平面内任一直线都垂直．…………（2分）证明如下：与性质1证明方法相同，得到平面，………（4分）从而与平面内任一直线都垂直．………（5分）性质4：直线与平面所成角等于．………（2分）证明如下：如图4，取的中点，连接，，图4由得，图4与性质2证明相同，得，…………（3分）再因，则平面，进而平面平面．作于，则平面，即就是直线与平面所成的角．……………（4分），，，．………………………（5分）说明：写出一条并且只需写出一条正确的性质（允许在以上4条之外），给3分，完成正确的证明后合计给5分．（2）解法一：，，图6则是等腰直角三角形，……（8分）图6如图6，取的中点，则是的外心．设几何体外接球的球心是，则．……（9分）作于，则是的中点，是矩形，，，几何体的外接球半径，………………（10分）则外接球的体积…………………（12分）解法二：证明两两垂直后，几何体外接球就是以相邻的棱的长方体的外接球，……（9分），……（10分）．………………………（12分）20（本小题满分12分）解：（1），，……（1分）令解得，．……（2分）若即，则对成立，函数在上单调，符合题目要求；若即，……（3分）当时，，当时，，函数在上不单调，不符合题目要求；……（4分）若即，当时，，当时，，函数在上不单调，不符合题目要求．……（5分）综上，若在上是单调函数，则取唯一值：．………………………（6分）（2）解法一：已知“对，均成立”，取得，则，，则时，，在上递增，……（8分）“对，均成立”等价于，……（10分）与取交集，仍然得，……（11分）所求的取值范围是…………………（12分）解法二：根据（1），若，则在上单减，“在区间上，恒成立”等价于，不成立；……（7分）若即，则时，，函数在上单减，在区间上，，“在区间上，恒成立”不成立；……（8分）若即则时，，函数在上单增，在区间上，，……（9分）“在区间上，恒成立”，解得，与相交取交集，得；…………（10分）若即，则时，，时，，函数在上递增，在上递减，在区间上，．“在区间上，恒成立”．……（11分）设函数，则，在上递增，，则函数在上递增，，因此当时，均不成立．综上，所求的取值范围是………（12分）21（本小题满分12分）解：（1）已知椭圆C关于轴、轴都对称，设其方程为（这样设可回避焦点在哪条轴上的分类讨论）．…………（1分）由在椭圆上，得，联立解得，，…………（3分）得椭圆C的方程是．…………（4分）用依次表示椭圆的长半轴、短半轴、半焦距，则，，则，，．…（5分）所以，椭圆C的离心率，焦点坐标为…………………（6分）（2）设，则，即，．…………（7分）函数在区间上递减，则取最大时，，此时，所以，椭圆C上到点最远的点是……………（8分）设椭圆C在点处的切线的方程为，即，与联立消去后整理得，判别式，由相切条件得，，……（9分）所以椭圆C在点处的切线的方程是，令得，得切线与轴的交点坐标．……（10分）设外接圆的方程为，由三点都在圆上，得解得…………………（11分），，所以外接圆的圆心坐标是………………………（12分）22（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）……（2分）所以，，…………（3分）取，得，…………（4分）从而得到单位圆与四叶玫瑰线交点的极坐标为，化成直角坐标就是………………………（5分）（2）直观发现，四叶玫瑰线关于直线对称．事实上，将极坐标方程化作直角坐标方程得，将互换后方程不变，说明四叶玫瑰线关于直线对称；………（6分）将换作，换作后方程不变，说明四叶玫瑰线关于直线对称；………（7分）直线的普通方程是，………………（8分）直线与直线垂直，且玫瑰线在直线的同侧，故的最小值等于点到直线的距离：………………（9分）．……………………（10分）23（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（1）当时，………（1分）或