第三讲随机变量函数的分布

随机变量函数的分布闫岩yy2703@163.com一、问题的提出

在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣.求截面面积A=

的分布.例如，已知圆轴截面直径d

的分布，一、问题的提出

在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣.已知t=t0

时刻噪声电压V的分布，求功率

W=V2/R

(R为电阻）的分布等.

设随机变量X

的分布已知，Y=g(X)(设g是连续函数），如何由X

的分布求出

Y

的分布？下面进行讨论.

这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的.二、离散型随机变量函数的分布解：当X

取值1，2，5时，

Y取对应值5，7，13，例1设X求Y=2X+3的概率函数.～而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件，两者具有相同的概率.故如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当并项即可.一般，若X是离散型r.v，X的概率函数为X～则

Y=g(X)～如：X～则Y=X2

的概率函数为：Y～三、连续型随机变量函数的分布解：设Y的分布函数为FY(y)，例2设X~求Y=2X+8的概率密度.FY(y)=P{Yy}=P(2X+8y)=P{X}=FX()于是Y的密度函数故注意到0<x<4时，

即8<y<16时，

此时Y=2X+8例3设

X具有概率密度,求Y=X2的概率密度.求导可得当y>0时,

注意到Y=X20，故当y0时，解：设Y和X的分布函数分别为和

，若则Y=X2

的概率密度为：

从上述两例中可以看到，在求P(Y≤y)的过程中，关键的一步是设法从{g(X)≤y}中解出X,从而得到与{g(X)≤y}等价的X的不等式.例如，用代替{2X+8≤y}{X}用代替{X2

≤

y}

这样做是为了利用已知的

X的分布，从而求出相应的概率.这是求r.v的函数的分布的一种常用方法.

下面给出一个定理，在满足定理条件时可直接用它求出随机变量函数的概率密度.其中，此定理的证明与前面的解题思路类似.x=h(y)是y=g(x)的反函数定理

设

X是一个取值于区间[a,b]，具有概率密度f(x)的连续型r.v,又设y=g(x)处处可导，且对于任意x,恒有

或恒有，则Y=g(X)是一个连续型r.v，它的概率密度为

下面我们用这个定理来解一个例题.例4设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求Y=-2lnX的概率密度.解：在区间(0,1)上,函数lnx<0,故

y=-2lnx>0,

于是y在区间(0,1)上单调下降，有反函数由前述定理得注意取绝对值已知X在(0,1)上服从均匀分布，代入

的表达式中得即Y服从参数为1/2的指数分布.

对于连续型随机变量，在求Y=g(X)的分布时，关键的一步是把事件

{g(X)≤y}

转化为X在一定范围内取值的形式，从而可以利用X

的分布来求P{g(X)≤y}.这里我们介绍了随机变量函数的分布.

下面，我们将向大家介绍几个常见的分布.二项分布例1

设生男孩的概率为p,生女孩的概率为q=1-p，令X表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩”的个数.贝努里概型和二项分布一、我们来求X的概率分布.X的概率函数是：男女X表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数，生男孩的概率为p.X=0X=1X=2X=3X=4X可取值0,1,2,3,4.例2

将一枚均匀骰子抛掷3次，令X表示3次中出现“4”点的次数X的概率函数是：不难求得，

掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点”

一般地，设在一次试验中我们只考虑两个互逆的结果：A或，或者形象地把两个互逆结果叫做“成功”和“失败”.

新生儿：“是男孩”，“是女孩”

抽验产品：“是正品”，“是次品”

这样的n次独立重复试验称作n重贝努里试验，简称贝努里试验或贝努里概型.

再设我们重复地进行n次独立试验(“重复”是指这次试验中各次试验条件相同)，

每次试验成功的概率都是p，失败的概率都是q=1-p.

用X表示n重贝努里试验中事件A（成功）出现的次数，则（2）不难验证：（1）称r.vX服从参数为n和p的二项分布，记作X~B(n,p)当n=1时，P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1称X服从0-1分布例3

已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率.解:因为这是有放回地取3次，因此这3次试验的条件完全相同且独立，它是贝努里试验.依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.设X为所取的3个中的次品数，于是，所求概率为：则X~B(3,0.05)，注：若将本例中的“有放回”改为”无放回”，那么各次试验条件就不同了，不是贝努里概型，此时，只能用古典概型求解.古典概型与贝努里概型不同，有何区别？请思考：

贝努里概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次试验条件相同；二项分布描述的是n重贝努里试验中出现“成功”次数X的概率分布.（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或，

且P(A)=p

，；（3）各次试验相互独立.可以简单地说，例4

某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率.解:设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数.X~B(3,0.8)，把观察一个灯泡的使用时数看作一次试验,“使用到1000小时已坏”视为“成功”.每次试验,“成功”的概率为0.8

P(X1)=P(X=0)+P(X=1)=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2=0.104

对于固定n及p，当k增加时,概率P(X=k)先是随之增加直至达到最大值,随后单调减少.二项分布的图形特点：X~B(n,p)当(n+1)p不为整数时，二项概率P(X=k)在k=[(n+1)p]达到最大值；([x]表示不超过

x

的最大整数)n=10,p=0.7nPk

对于固定n及p，当k增加时,概率P(X=k)先是随之增加直至达到最大值,随后单调减少.二项分布的图形特点：X~B(n,p)当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k)在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1处达到最大值..n=13,p=0.5Pkn0二、二项分布的泊松近似

当试验次数n很大时，计算二项概率变得很麻烦，如教材例4中，要计算

我们先来介绍二项分布的泊松近似，后面还将介绍二项分布的正态近似.或诸如此类的计算问题，必须寻求近似方法.

定理的条件意味着当

n很大时，pn

必定很小.因此，泊松定理表明，当n

很大，p

很小时有以下近似式：泊松定理设是一个正整数，，则有其中n100,np10时近似效果就很好

实际计算中，其中

当p不是很小，而是很大(接近于1)，可将问题略为转换一下，仍然可以应用泊松近似.

当n很大时，p不是很小，而是很大(接近于1)时，能否应用二项分布的泊松近似？下面我们看一个应用例子.例5

为保证设备正常工作，需要配备适量的维修人员.设共有300台设备，每台的工作相互独立，发生故障的概率都是0.01.若在通常的情况下，一台设备的故障可由一人来处理.问至少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?我们先对题目进行分析：300台设备，独立工作，出故障概率都是0.01.一台设备故障一人来处理.

问至少配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?

设X为300台设备同时发生故障的台数，300台设备，独立工作，每台出故障概率p=0.01.可看作n=300的贝努里概型.X~B(n,p)，n=300,p=0.01可见，300台设备，独立工作，出故障概率都是0.01.一台设备故障一人来处理.

问至少配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?设X为300台设备同时发生故障的台数，X~B(n,p)，n=300,

p=0.01设需配备N个维修人员，所求的是满足P(X>N)<0.01或P(X

N)0.99的最小的N.解：设X为300台设备同时发生故障的台数，X~B(n,p)，n=300,p=0.01设需配备N个维修人员，所求的是满足P(X>N)<0.01的最小的N.

P(X>N)n大,p小,np=3,用=np=3的泊松近似下面给出正式求解过程：即至少需配备8个维修人员.查书末的泊松分布表得N+19,即N8我们求满足的最小的N.这一讲，我们介绍了二项分布.二项分布是实际中最常见的离散型分布之一.二项分布描述的是n重贝努里试验中出现“成功”次数X的概率分布.我们介绍了二项分布的泊松近似，使用时应注意条件.

在解应用题时需要注意判断问题是否为贝努里概型，可否用二项分布求解.泊松分布让我们回忆一下上一讲介绍的泊松定理：

等式右端给出的概率分布，是又一种重要的离散型分布：设是一个正整数，，则有泊松分布

一、泊松分布的定义及图形特点

设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,…,且概率分布为：其中>0是常数,则称X服从参数为的泊松分布,记作X~P().

泊松分布的图形特点：X~P()

历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的.

近数十年来，泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一.

在实际中，许多随机现象服从或近似服从泊松分布.二、二项分布与泊松分布

由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布.

我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件.如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等

在自然界和人们的现实生活中,经常要遇到在随机时刻出现的某种事件.我们把在随机时刻相继出现的事件所形成的序列,叫做随机事件流.

若事件流具有平稳性、无后效性、普通性，则称该事件流为泊松事件流（泊松流）.

三、泊松分布产生的一般条件下面简要解释平稳性、无后效性、普通性.平稳性:

在任意时间区间内，事件发生k次(k≥0)的概率只依赖于区间长度而与区间端点无关.无后效性:普通性:

在不相重叠的时间段内，事件的发生是相互独立的.

如果时间区间充分小，事件出现两次或两次以上的概率可忽略不计.都可以看作泊松流.某电话交换台收到的电话呼叫数；到某机场降落的飞机数;一个售货员接待的顾客数;一台纺纱机的断头数;

…一放射性源放射出的粒子数；例如

对泊松流，在任意时间间隔(0,t)内,事件(如交通事故)出现的次数服从参数为t

的泊松分布.称为泊松流的强度.例1

一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数λ=5的泊松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？解:设该商品每月的销售数为X,已知X服从参数λ=5的泊松分布.设商店在月底应进某种商品m件,求满足P(X≤m)>0.95的最小的m.进货数销售数求满足P(X≤m)>0.95的最小的m.查泊松分布表得P(X>m)≤0.05也即于是得m+1=10,或m=9件这里，我们介绍了泊松分布我们给出了泊松分布产生的一般条件

n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布.

泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位.正态分布

正态分布是应用最广泛的一种连续型分布.

正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布.德莫佛

德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面.正态分布的定义是什么呢？对于连续型随机变量，一般是给出它的概率密度函数。

一、正态分布的定义

若r.vX的概率密度为记作f(x)所确定的曲线叫作正态曲线.其中和都是常数，任意，>0，则称X服从参数为和的正态分布.正态分布有些什么性质呢？

由于连续型随机变量唯一地由它的密度函数所描述，我们来看看正态分布的密度函数有什么特点。二、正态分布的图形特点

正态分布的密度曲线是一条关于对称的钟形曲线.特点是“两头小，中间大，左右对称”.

决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.

正态分布的图形特点

能不能根据密度函数的表达式，得出正态分布的图形特点呢？容易看到，f(x)≥0即整个概率密度曲线都在x轴的上方;故f(x)以μ为对称轴，并在x=μ处达到最大值:令x=μ+c,

x=μ-c(c>0),

分别代入f(x),

可得f(μ+c)=f(μ-c)且f(μ+c)≤f(μ),f(μ-c)≤f(μ)这说明曲线f(x)向左右伸展时，越来越贴近x轴。即f(x)以x轴为渐近线。

当x→

∞时，f(x)→0,用求导的方法可以证明，为f(x)的两个拐点的横坐标。x=μ

σ这是高等数学的内容，如果忘记了，课下再复习一下。根据对密度函数的分析，也可初步画出正态分布的概率密度曲线图。下面是我们用某大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图。红线是拟合的正态密度曲线可见，某大学男大学生的身高应服从正态分布。人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大致相近，这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特点。请同学们想一想，实际生活中具有这种特点的随机变量还有那些呢？

除了我们在前面遇到过的年降雨量和身高外,在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布.服从正态分布的随机变量X的概率密度是X的分布函数P(X≤x)是怎样的呢？

设X~,X的分布函数是

正态分布由它的两个参数μ和σ唯一确定，当μ和σ不同时，是不同的正态分布。标准正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布三、标准正态分布的正态分布称为标准正态分布.其密度函数和分布函数常用

和

表示：它的依据是下面的定理：

标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.

根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.,则~N(0,1)

设定理1

书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.四、正态分布表表中给的是x>0时,Φ(x)的值.当-x<0时若~N(0,1)

若X～N(0,1),由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.当X～N(0,1)时，P(|X|1)=2(1)-1=0.6826

P(|X|2)=2(2)-1=0.9544P(|X|3)=2(3)-1=0.9974五、3准则将上述结论推广到一般的正态分布,时，可以认为，Y的取值几乎全部集中在区间内.

这在统计学上称作“3准则”（三倍标准差原则）.

上一讲我们已经看到，当n很大，p接近0或1时，二项分布近似泊松分布;如果n很大，而p不接近于0或1，那么可以证明，二项分布近似于正态分布.

下面我们不加证明地介绍有关二项分布近似于正态分布的一个定理，称为棣莫佛－拉普拉斯定理.它是后面要介绍的中心极限定理的一个最重要的特殊情况.六、二项分布的正态近似定理(棣莫佛－拉普拉斯定理）

设随机变量服从参数n,p(0<p<1)的二项