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文档简介
一、定义n阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性微分方程二、二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法将其代入上方程,得故有特征方程特征根特点未知函数与其各阶导数的线性组合等于0即函数和其各阶导数只相差常数因子猜想有特解
有两个不相等的实根特征根为两个线性无关的特解得齐次方程的通解为
有两个相等的实根特征根为一特解为得齐次方程的通解为为使比值不为常数
有一对共轭复根特征根为由欧拉公式
(级数章节中已证)，可得于是有由定理1知，以上两个函数eax
cosbx
与eax
sinbx
均为此方程的解，且它们线性无关.因此，这时方程的通解为由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.方法步骤①写出特征方程②求出特征根③按特征根的三种不同情况依下表写出齐通解特征根
齐通解例1求通解解特征方程为特征根为齐通解为例2.
求解初值问题解:
特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为例
3
求方程2y
+2y
+3y=0
的通解.
解
该方程的特征方程为2r2
+2r
+3=0，它有共轭复根对应的两个线性无关的解为所以方程的通解为例
4
求方程y
+4y=0
的通解.
解
该方程的特征方程为r2
+4=0，它有共轭复根r1,2=2i.即a=0，b=2.对应的两个线性无关的解
y1=cos2x.y2=sin2x.所以方程的通解为三、n阶常系数齐次线性方程解法特征方程为特征方程的根通解中的对应项注意n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各含一个任意常数.实重根复单根复重根实单根几种情况每个根对应通解中的一项其写法与二阶方程的情形完全类似具体分为例5解特征方程为解得故所求通解为四、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.
思考题求微分方程
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