第讲期望效用函数

Ch.4

期望效用函数§1.不确定性与选择公理§2.冯·诺依曼—摩根斯坦效用函数§3.风险的客观度量及对风险的主观态度§4.风险规避的度量本章要点§1.期望效用函数一、不确定性经济活动中始终存在着决策的不确定性。不确定性和风险是一个不同的概念，奈特在《风险、不确定和利润》（1916）第一次区分了经济活动中不确定性与风险，风险是可以计算出客观概率的情况，不确定性是不可以计算出客观概率的情况。彩票的选择具有一般商品消费选择的特征，具有收益的不确定性。可以用式子表示。如它会产生两种结果。二、单赌和复赌单赌：设有n种可能的事件结果，则单赌集合可写成：复赌：凡是奖品本身又成了赌博本身的赌博。高产20%正常40%低产40%雨量大20%0.040.080.080.20雨量中50%0.100.200.200.50雨量小30%0.060.120.120.30奖品是产量的分布，它们又具有不确定性，而成为赌局本身。【完备性与传递性公理】对两种不同的结果，消费者的偏好为：三、不确定条件下的选择公理【连续性公理】差异很大的两个不确定结果的某种加权结果会等同于某个确定的中间结果。【独立性公理】假定消费者A与B之间无差异，设C为任一个另外的结果。如果一张彩票L1会以概率P与(1-P)带来结果A与C，另一张彩票L2以概率P与(1-P)带来结果B与C，那么，消费者会认为这两张彩票L1与L2无差异。例：设A=获1000元,B=获10元,C=死亡。对大多数人，1000元>10元>死亡。设10元为一确定的状态。则必定存在概率0<P<1，使得：【不相等公理】当且仅当：消费者严格偏好于L2。

四.期望效用函数这就是所谓的期望效用函数，又称为冯诺依曼-摩根斯坦（vonNeumann-Morgenstein）效用函数期望效用函数的作用：当消费者面临不确定性时，可用期望效用最大化分析消费者的行为。对于有多个可能结果的赌博，消费者的期望效用为：四.期望效用函数书上58页期望效用函数的构造：四.期望效用函数四.期望效用函数期望效用函数不是唯一的，如果u(·)是一个消费者的期望效用函数，则其正仿射变换同样也可以代表消费者的期望效用函数。一、风险的客观度量事件A的风险的客观度量：§2.风险的客观度量和对风险的主观态度一个例子工作1的平均离差：工作2的平均离差：平均离差=P1×结果1的离差+P2×结果2的离差你愿意选择哪一种工作？二、对风险的主观态度你愿意选择哪份工作？你愿意接受一笔数额的奖金还是参加一次抽奖？（抽奖存在不确定性，但其期望和那笔奖金相等）风险规避：愿意接受数额固定的奖金风险中性：对于两者无差异风险偏好：愿意参加抽奖风险规避者风险规避：抽奖所带来的期望效用小于那笔固定的奖金所带来的效用。数学含义：1.效用函数是凹的：2.Jensen不等式风险偏好者风险偏好：抽奖所带来的期望效用大于那笔固定的奖金所带来的效用。数学含义：1.效用函数是凸的：2.Jensen不等式风险中立者风险中性：抽奖所带来的期望效用等于那笔固定的奖金所带来的效用。数学含义：效用函数是线性的定义

风险规避风险偏好风险中立期望效用函数在决策中的应用风险规避的消费者会购买都多少保险？例8：公平的保险价格与理性的保险购买量（P65）

绝对风险规避系数：由决策者的效用函数的曲率表示的。由于它是对一个财富水平下的风险的度量，所以又被称为是局部绝对风险规避度量。这在于说明在财富收益水平绝对量上的增加或损失。§3.风险规避的度量1、风险规避系数相对风险规避系数：经济学含义：边际效用相对于财富水平的弹性风险规避程度与财富水平的关系例a：某人的效用函数形式为：某绝对风险规避系数为：此人越富有，越怕担风险。例b：某人初始财富值为w0，的效用函数形式为：绝对风险规避系数为常数A，与其财产w无关。结论：一个人的财富多少与其风险规避程度没有必然的关系，关键在于其效用函数的形式。风险规避程度与财富水平的关系2、确定性等值与风险升水对于一个风险规避的消费者，我们有确定性等值是完全确定的收入量，此收入水平对应的效用水平等于不确定条件下期望的效用水平，即CE满足：一个赌局的确定性等价应该小于这个赌局的期望收入，即O风险升水P：一个赌局的确定性等价与这个赌局的期望收入之间的差距，即或者说，风险升水指一个完全确定的收入E(g)转化为两个不确定的收入w1和w2时，消费者由于面临风险付出的代价。赌博g含的风险相当于使一个确定的收入E(g)减少了P，即例：一种彩票赢得900元的概率为0.2；若输，只获得100元，概率为0.8。若消费者的效用函数形式为，问该消费者愿意出多少钱购买这张彩票？风险升水是多少？消费者的出价应按CE给出，即3、保险费消费者购买保险是为了规避风险，那么消费者愿意出多少钱来规避风险呢？如果没有保险，消费者的预期效用为购买保险后，消费者的收入带来的效用应该不低于存在风险时的期望效用。例子：计算保险费例7（P65）4、保险费额度的大小消费者的期望效用函数可写成：若消费者支付保险费R给保险公司，他得到一个确定的效用水平，得到下式：用泰勒级数展开上式：等式右边：等式左边：也就是：保险费与风险规避程度和风险的大小成正比。例子：保险费与风险大小的关系设消费者的初始财富w0。赌局1：50%的概率赢或输h。其期望效用为：赌局2：50%的概率赢或输2h。其期望效用为：赌局3：50%的概率赢或输3h。其期望效用为：由效用函数的凹性可知：风险厌恶时，赌局的风险越大，期望效用水平越低;保险费R也随之上升（R1<R2<R3

）。5、保险费与公平保险价格之间的关系公平保险价格：例3（P77）保险费：习题