专题2.17 换元法解一元二次方程（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）

专题2.17换元法解一元二次方程（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．用换元法解方程+=2时，若设=y，则原方程可化为关于y的方程是()A．y2﹣2y+1=0 B．y2+2y+1=0 C．y2+y+2=0 D．y2+y﹣2=02．已知实数x，y满足且，则的值为（

）A． B． C． D．23．已知实数x满足，则的值为（

）A．6 B． C．或6 D．1或4．方程的解是，现给出另一个方程，它的解是（

）A． B． C． D．5．若关于x的一元二次方程有一根为2020，则方程必有根为（

）A．2021 B．2020 C．2019 D．20156．已知方程x2+3x﹣4=0的解是x1=1，x2=﹣4，则方程（2x+3）2+3（2x+3）﹣4=0的解是（）A．x1=﹣1，x2=﹣3.5 B．x1=1，x2=﹣3.5C．x1=1，x2=3.5 D．x1=﹣1，x2=3.57．关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，），则方程的解是（

）A． B．C． D．8．若，则的值为（

）．A． B． C． D．或9．若x为实数，且x2＋＋3(x＋)＝2，则x＋的值为(

)A．－4 B．4 C．－4或1 D．4或－110．如图，正方形内接于．已知和的面积分别是，和，，那么正方形的边长是（

）A．1 B． C． D．2二、填空题11．已知，且．则的值是_________．12．已知，则的值是___________．13．已知实数满足方程，则____________．14．若，则__________．15．方程的解是_____．16．解方程：，利用整体思想和换元法可设，则原方程可化为：___________；再求出原方程的解为___________；17．设a,b是一个直角三角形两直角边的长,且(a2+b2-3)(a2+b2+1)=0,则这个直角三角形的斜边长为____.18．已知和2是关于x的一元二次方程的两根，则关于x的方程的根为_______．三、解答题19．解方程：x2+2x﹣=1．20．解方程：21．阅读例题，解答问题：例：解方程．解：原方程化为．令，原方程化成解得，（不合题意，舍去）．．．∴原方程的解是，请模仿上面的方法解方程：．22．已知实数x满足，求的值．23．＋－2－1＝024．【阅读】小明同学遇到这样一个问题：已知关于x的方程（a、b、m为常数，）的解是，，求方程的解．他用“换元法”解决了这个问题．我们一起来看看小明同学的具体做法．解：在方程中令，则方程可变形为，根据关于x的方程的解是，，可得方程的解是，．把代入得，，把代入得，，所以方程的解是，．【理解】已知关于x的一元二次方程有两个实数根m，n．关于x的方程的两根分别是______（用含有m、n的代数式表示）；方程______的两个根分别是2m，2n．（答案不唯一，写出一个即可）【猜想与证明】双察下表中每个方程的解的特点：方程方程的解方程方程的解，，，，，，……猜想：方程的两个根与方程______的两个根互为倒数；仿照小明采用的“换元法”，证明你的猜想． 参考答案1．A【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设=y，则原方程化为y+=2，再转化为整式方程y2-2y+1=0即可求解．解：把=y代入原方程得：y+=2，转化为整式方程为y2﹣2y+1=0．故选：A．【点拨】考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．2．A【分析】由可得，进而可得，解得或，然后再对进行变形即可解答．解：∵，得，即．∴或．即或．∴，所以，．故选：A．【点拨】本题主要考查了分式的化简求值、立方根、解一元二次方程等知识点，解题的关键是灵活应用相关定义和运算法则以及整体法来求解．3．A【分析】设x2+x＝t，则原方程化为t2﹣5t﹣6＝0，利用因式分解法解得t1＝6，t2＝﹣1，所以x2+x＝6或x2+x＝﹣1，然后利用x2+x≥－确定x2+x的值即可．解：设x2+x＝t，原方程化为t2﹣5t﹣6＝0，∴(t﹣6)(t+1)＝0，解得t1＝6，t2＝﹣1，即x2+x＝6或x2+x＝﹣1，∵x2+x＝x2+x+－＝(x+)2－≥－，∴x2+x＝﹣1不符合题意，舍去，∴x2+x＝6，故选：A．【点拨】本题考查了换元法解一元二次方程：我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的，也考查了配方法的应用．4．B【分析】结合已知方程的解，利用换元法解一元二次方程即可得．解：，令，则方程可转化为，由题意得：，即，解得，故选：B．【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键．5．C【分析】设，即可改写为，由题意关于x的一元二次方程有一根为，即有一个根为，所以，x=2019．解：由得到，对于一元二次方程，设，所以，而关于x的一元二次方程有一根为，所以有一个根为，则，解得，所以一元二次方程有一根为．故选：C．【点拨】本题考查一元二次方程的解．掌握换元法解题是解答本题的关键．6．A【分析】利用换元法解方程即可．解：∵x2+3x﹣4=0的解是x1=1，x2=﹣4，（2x+3）2+3（2x+3）﹣4=0，∴2x+3=1或2x+3=-4，∴x1=-1，x2=-3.5，故选：A．【点拨】本题考查了用换元法解一元二次方程，体现了转化思想的运用．7．C【分析】根据关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，a≠0），可知或，进一步求解即可．解：∵关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，a≠0），在方程中，或，解得，故选：C．【点拨】本题考查了用换元法解一元二次方程，找出两方程之间的关系是解题的关键．8．C【分析】将，则，，这样将高次幂全部降次降到1次幂截止，然后再求值即可.解：∵，∴∴∴原式=故答案为：C【点拨】本题借助一元二次方程考查了降次思想及整体思想，本题的关键是将高次幂通过降次全部降到一次幂截止，然后再合并同类项即可求解.9．A解：由题意得x2＋＋3(x＋)-2=0,所以(x＋)2+3(x＋)-4=0，(x＋)[(x＋)-1]=0，所以x＋x＋（舍）故选A.10．D【分析】先设正方形的边长为，求得的高，然后分别求出，利用三角形的面积即可求得正方形的边长．解：设正方形的边长为，则的面积为：，的高为正方形的边长加上的高，即，底为：，由和得，，，则底为：，所以，解得（舍去），经检验：是原方程的解.故选：D【点拨】本题考查了正方形的性质，一元二次方程的应用，掌握正方形的性质是解题的关键．11．4或-1【分析】将已知等式两边同除以进行变形，再利用换元法和因式分解法解一元二次方程即可得．解：将两边同除以得：令则因式分解得：解得或即的值是4或故答案为：4或．【点拨】本题考查了利用换元法和因式分解法解一元二次方程，将已知等式进行正确变形是解题关键．12．7【分析】换元法，令，将原方程化为t（t－1）＝42（t），求解一次方程即可．解：令（t），∴原方程化为t（t－1）＝42，解得t＝7，或t＝－6（舍），∴，故答案为：7．【点拨】本题考查用换元法求解方程．解题关键是要注意换元之后一定要考虑新未知数的取值范围，换元法的实际应用，是解题关键．13．【分析】设，将原式整理为含的方程即可得出答案解：设，则原方程为：，则：，解得：，当时，无实数解，故舍去，经检验是的解，故答案为：．【点拨】本题考查了换元法解方程，解一元二次方程，熟练掌握解方程的一般步骤是解本题的关键．14．4【分析】先设，原方程可化为，解此一元二次方程，再验根即可．解：设，原方程可化为，化为一般式得：，解得：t=4或t=-2，∵，∴t=4，∴4，故答案为：4．【点拨】本题考查了解一元二次方程，解决本题的关键是熟练掌握用换元法解方程．15．【分析】设（t≥0），然后变形可得，然后代入到原方程中可得到关于t的一元二次方程，求出t的值，再代回即可求出x的值．解：设（t≥0）变形，得①∴原方程变形为，即整理，得解得：（不符合t的取值，故舍去）将t=1代入①中，得解得：故答案为：．【点拨】此题考查的是解一元二次方程，掌握换元法是解决此题的关键．16．

，，，【分析】设，则原方程可化为，求出的值，再求出的值即可．解：，设，则原方程可化为，，解得：或1，当时，，解得：；当时，，解得：，即原方程的解为：，，，，故答案为：；，，，．【点拨】本题考查了用换元法解方程和解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键．17．【分析】设a2+b2=x，原方程化为（x-3）（x+1）=0，解方程求得x的值，再由勾股定理即可解答..解：设a2+b2=x，原方程化为（x-3）（x+1）=0，解得（不合题意，舍去），所以a2+b2=3，由勾股定理可得这个直角三角形的斜边长为.故答案为.【点拨】本题考查了换元法解一元二次方程及勾股定理，把a2+b2当成一个整体，把原方程转化为一元二次方程是解本题的关键．18．，，【分析】设，将方程化为，利用和2是方程的两根，得到，，分别计算即可得到方程的根．解：设，则方程化为，由题意可知：，，，，，方程的根为，，故答案为：，．【点拨】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练运用整体换元法是解题关键．19．x1=﹣3，x2=1．【分析】设x2+2x=y，则原方程化为y﹣=1，求出y的值，再代入求出x即可．解：设x2+2x=y，则原方程化为：y﹣=1，解得：y1=3，y2=﹣2，当y=3时，x2+2x=3，解得：x1=﹣3，x2=1；当y=﹣2时，x2+2x=﹣2，此时△=-4＜0，方程无解所以原方程的解为：x1=﹣3，x2=1．【点拨】此题考查了解分式方程的应用，正确使用能正确换元是解此题的关键．20．．【分析】令，先解方程求出的值，从而可得的值，再转化为一元二次方程，解一元二次方程即可得．解：可化为，令，则，且，，，，（舍去），经检验，是方程的解，则，即，，，，经检验，都是原方程的解，故原方程的解为．【点拨】本题考查了解无理方程、解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握各方程的解法是解题关键．21．，【分析】根据题意利用换元法解一元二次方程，然后解绝对值方程即可．解：原方程化为．令，原方程化成．解得，（不合题意，舍去）．，．∴原方程的解是，．【点拨】本题主要考查了用换元法和因式分解法解一元二次方程，解绝对值方程，解题的关键在于能够准确根据题意使用换元法解方程．22．或．【分析】根据完全平方公式利用对方程进行变形，得到，把看成整体，再解方程即可．解：，原方程可变形为．设，则原方程可变形为，解得．或．【点拨】本题主要考查了用换元法解一元二次方程，利用完全平方公式对方程进行变形，把x+当成一个整体是解题关键．23．＝，＝．【分析】利用公式变形，＋=，变形后，采用换元法求解即可．解：∵＋－2－1＝0，∴－2－1＝0，∴设x＋＝y，则原方程变形为－2y－3＝0.∴＝3，＝－1.当y＝3时，x＋＝3，整理，得－3x+1=0，解得＝，＝．当y＝－1时，x＋＝－1，整理，得+x+1=0，△=，∴方程无实数解．经检验，＝，＝都是原方程的根，∴原方程的根为＝，＝．【点拨】本题考查了换元法解分式方程，完全平方公式的变式，熟练进行公式变形，灵活选择换元法求解是解题的关键．24．(1)m2，n2 (2)ax2+2bx+4c=0 (3)cx2+bx+a=0 (4)见分析【分析】[理解]（1）令，根据题意可得或，即可求解方程；（2）由题意可知，，由于方程的两个根分别是，，则，，即可写出符合条件的方程；[猜想与证明]（1）由表格可得：的两个根与方程，，的两个根互为倒数；（2）先将变形为，设，方程可变形为，设方程的解是，，则可得方程的解为，，把代入得，；把代入得，，即可证明．（