外微分及微积分基本定理

PAGEPAGE1目录中文摘要： 1英文摘要……………1引言 21外微分的基本概念 21.1外微分的定义 21.2外微分的性质 31.3各阶外微分式的外微分运算 52外微分在高等数学中的应用 72.1重积分的坐标变换 72.2第二类曲面积分的归一化计算方法 82.3全微分条件 82.4积分定理 93外微分在热力学中的应用……………………..104参考文献………………………12外微分与微积分基本定理摘要：本文对外微分性质及运算进行了介绍,以外微分法对微积分的知识框架进行统一整合，并介绍了外微分在高等数学及热力学中的应用，包括重积分的坐标变换,第二类曲面积分的归一化计算方法,全微分条件,积分定理等.这些使得外微分形式是近代数学中必不可少的工具与方法.关键词：外微分；积分定理；全微分条件.TheDiscussionofAnalysisPropertyofDeterminantFunctionAbstract:Thisforeigndifferentialpropertieswereintroduced,andthecomputationmethodofdifferentialcalculusoutsidetheintellectualframeworkforunification,Anddescribestheexteriordifferentialinthehighermathematicsandapplicationsofthermodynamics,includingintegralcoordinatestransformation,normalizationcalculationofthesurfaceintegralofthesecondkind,conditionoftotaldifferential,integraltheorems.theexteriordifferentialformsisessentialinthemodernmathematicaltoolsandmethods.Keywords:exteriordifferential;integraltheorem,full-differentialconditions.引言本文先从外微分的基本概念开始,依次介绍了它的定义,性质及运算,而后又谈到了它的应用,主要用于高等数学,最后介绍了它在物理上的应用.而我们可以通过外微分形式来定义微分流形，，微分流形是一个十分广泛的概念.微分流形不但可以对已有的分析理论有更深刻的理解，而且由此产生了很多不同分支的优美的理论，使得数学翻开了崭新的一页.1外微分的基本概念1.1外微分的定义设是定义在的某开集上的全体-函数所构成的环.再设中的坐标是，系数属于上的-函数环K，以为基底的模为，然后作上的模，其中，，.（）中的元素可以表示成，它们称为上的次外形式.特别地，中的元素的具体表达式是，它们称为上的1次形式，又称为上的普拉夫形式.现在我们在外形式模中引进一种微分运算，称为外微分.引进外微分以后，模的元素称为上的外微分形式，中的元素称为次外微分形式.定义外微分是一映射，它的定义如下：设，，我们规定=，显然，从此定义可以直接看出：如果，则外微分就是普通微分；如果，因为.我们再把以上外微分运算扩充到整个上.定义设，并且，，规定.1.2外微分的性质性质1设为-形式,为-形式,则证明根据外微分的定义，只须考虑和是单项式的情形，设，，则性质2对任意,有(3)证明由于的线性性,只要证明这种情形即可.这时,由于具有二阶连续偏导数,因此.所以.因此再由性质1可得.1.3各阶外微分式的外微分运算设都是三维空间的函数，则分别称（4）~（7）式为零阶、一阶、二阶和三阶外微分式（4）（5）（6）（7）在三维空间中，对于系数是可微函数的各阶外微分式（4）~（7），定义其外微分：注1对基本外微分式的外微分，规定在这个规定下，外微分算子的作用类似与普通微分算子，即对每一项进行运算，在每一项中又分别对每个因子进行运算，其余因子不动.所不同的是外微分算子在运算后进行外积运算，而普通微分算子在运算后进行普通乘积.例如注2零阶外微分式的外微分就是普通的微分.性质：阶外微分式的外微分是阶外微分式，三阶外微分式的外微分等于0，且它们与场论中的三度（梯度，旋度，散度）有如下联系：（1）（2）（3）证（1）显然成立.（2）（3）2外微分在高等数学中的应用2.1重积分的坐标变换二重积分计算中坐标变换：设为由到的一对一的可微映像，则这里称为变换的Jacobi行列式.在二重积分中，，表示面积，从而.类似地，对三重积分中，作变换时，有，其中.2.2第二类曲面积分的归一化计算方法在第二类曲面积分计算中，若的方程为，则从而.这样，只要将向平面投影来计算这个曲面积分了.2.3全微分条件的条件为.即有，，.事实上，=从而得到了要求的结论.的条件为由，得出条件为2.4积分定理设是中意维区域（），是的边缘，具有诱导的定向，是上的（）-形式，则下列公式成立这个公式通常称为斯托克斯（stokes）公式时，其中是在上的一个原函数.若记，则，则牛顿-莱布尼兹公式可写为时，设，是平面上一区域，是它的边缘闭曲线，再设是1-形式.这时斯托克斯公式为，这就是我们所熟悉的平面上的格林（Green）公式.时，设，是平面中的曲面域，是它的边缘（空间）闭曲线，再设是1-形式.这时，斯托克斯公式为这就是我们在微积分教程中所见到的斯托克斯公式.如果，则是平面中一区域，是它的边缘闭曲线，是2-形式.这时，斯托克斯公式为这就是微积分教程中的高斯公式.3外微分在热力学中的应用在流体力学中,特别是气体热力学,借助统计学可以对气体的状态进行描述,理想气体的状态参数通常有5个,但只有2个是相互独立的,故气体热力学系统相当于一个二维流形.设、、、和分别为系统的内能、温度、熵、压强和体积,则热力学第二定理可以表示为:（20）对热力学系统而言,它相当于一个二维流形,故可采用外微分来描述,由外微分的性质,知其中,代入式(20)可得:(21)外积与外微分应用在可微流形上,允许进行坐标变换,分别取坐标系、、和,则很容易构造出系统的自由能、吉布斯函数、焓和内能.(1)取流形系统的坐标系为,令,,(22)由式(3)知必为某个函数的一次微分形式,不妨令,物理学上称为封闭系统的自由能.(2)取流形系统的坐标系为,令,,(23)由式(3)知必为某个函数的一次微分形式,不妨令,物理学上称为系统的吉布斯函数.(3)取流形系统的坐标系为,令,,(24)由式(3)知必为某个函数的一次微分形式,不妨令,物理学上称为封闭系统的焓.(4)取流形系统的坐标系为,令,,(25)由式(3)知必为某