专题12数列求和及其综合应用（教师版）

专题12数列求和及其综合应用数列求和是数列独特的研究内容，通过探索并掌握等差、等比数列的前n项和公式，理解通项公式和前n项和公式的关系，提高数学运算、逻辑推理、数学抽象等素养。求和过程中需要的代数变形技巧具有挑战性，其中蕴含的数学基本思想，从而使数列成为研究函数的一个用力工具。——合肥八中中学一级教师关良玲名师推荐数列求和是数列独特的研究内容，通过探索并掌握等差、等比数列的前n项和公式，理解通项公式和前n项和公式的关系，提高数学运算、逻辑推理、数学抽象等素养。求和过程中需要的代数变形技巧具有挑战性，其中蕴含的数学基本思想，从而使数列成为研究函数的一个用力工具。——合肥八中中学一级教师关良玲探究1：裂项相消法【典例剖析】例1.(2022·浙江省金丽衢十二校联考)已知递增的等差数列{an}满足：a1=1，且a5，a8，a13成等比数列.数列{bn}满足：3Sn=2+bn(n∈N*)，其中Sn为{bn}的前n项和．

(Ⅰ)求数列{an}，{bn选题意图:选题意图:裂项相消法是一种重要的数列求和的方法，该类问题背景选择面广，可与等差、等比数列、函数、不等式等知识综合，在知识交汇点处命题.思维引导：第（2）问中由cn与an的关系式呈分式结构，容易联想到要利用裂项求和法求Tn，cn通项公式需要借助的【解析】(Ⅰ)设{an}的公差为d(d>0)，

由a5，a8，a13成等比数列得a82=a5a13，

则(1+7d)2=(1+4d)(1+12d)当n=1时，3S1=2+b1⇒b1=1;

当n≥2时，3Sn-1=2+bn-1，=2\*GB3②

=1\*GB3①=2\*GB3②得3bn=bn-bn-1，bn=-bn-12，

所以{bn}是以1为首项，-12为公比的等比数列，

所以bn=(-12)n-1(n∈N*)；

【变式训练】练11(2022·江苏省南通市月考)已知等差数列{an}满足S6=21，S7=28，其中Sn是数列{an}的前n项和．

(1)求数列【解析】1数列an为等差数列，依题意有7a1+21d=286a1+15d=21，

解得：a1=1，d=1，

所以an=1+(-1)n-1练12(2022·山东省潍坊市联考)已知数列{an}满足a1=1，an+1=an1+anA.2<S50<3 B.32<S【解析】因为a1=1,an+1=所以S50>1+1∴1a根据累加法可得，1an≤1+n-12∴an+1an≤所以S50故选B．【规律方法】数列求和就是通过观察分析数列的类型,变形得出熟悉的等差、等比数列,或者构建出数列的模型,找到求和的方法.裂项相消法较为灵活，一方面对数列的通项公式进行裂项求和，故要熟悉常见的裂项的形式；另一方面对于本来无法裂项的数列，进行适当放缩使数列可进行裂项求和.技巧策略：(1)常见的裂项相消法主要是将数列的通项分解成两个式子(或多个式子)的差的形式,借助裂开的项进行合理抵消,方便运算;(2)裂项相消中要注意抵消了哪些项,保留了哪些项,不要出现遗漏或增加;(3)消项规律:对称抵消(消项后前边剩几项(或第几项),后边就剩几项(或倒数第几项)).常见方法有：1.常见的裂项形式：要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．=1\*GB3①若an为等差数列，则1ana=2\*GB3②2n+1n2n+12=1n2-1n+12；=4\*GB3④1n+n+k=n+k-nk；=5\*GB3⑤=6\*GB3⑥n+2n2+n∙2n+1=1n∙2n-1=8\*GB3⑧-1n∙nn-1n+12.放缩后裂项①1n2<1=3\*GB3③2n+n+1<1n=22n<2n探究2：并项求和【典例剖析】例2.(2022·广东省模拟)已知数列{an}的各项均不为零，Sn为其前n(1)证明：a(2)若a1=-1，数列{bn}为等比数列，b1=a1选题意图：并项选题意图：并项求和最常见的一种类型是，若an为等差数列，则数列-1n∙an中的项，正负交替，可先思维引导：第（2）问由b1=a1,b2=a3，得出bn的通项公式为-1n，故anbn即为【解析】(1)因为anan+1=2=2\*GB3②=1\*GB3①得an+1(an+2-an)=2an+1，

因为an+1≠0，所以an+2-an=2．

(2)由a1=-1得a3=1，于是b2=a3=1，

由b1=-1得{bn}【变式训练】练21(2022·江苏省苏州市联考)已知数列{an}各项均为正数，且a1(1)求{a(2)设bn=(-1)【解析】(1)因为an+12-3an+1=an2+3an，

所以(an+1+an)(an+1-an-3)=0，

因为{an}是各项均为正数的数列，

所以an+1-an=3，

所以数列练22(2022·重庆市模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+π4)(其中ω>0)在区间[π2,π](2)将f(x)的图像向左平移π4个单位就得到函数g(x)的图像，记an=n2⋅g(nπ)，n∈N*.【解析】(1)由题可得T2=πω≥π-π2，则0<ω≤2，

当x∈[π2,π]时，ωx+π4∈[π2ω+π4,πω+π4]⊆(π4，2π+π4]，

因为f(x)在[π2,π]递减，所以[π2ω+π4,πω+π4]⊆[π2,3π2]，

解得ω∈[12,54]；

(2)将【规律方法】并项求和法适用范围：数列不能直接求和,但是可以将几项进行求和(类似于周期性质),然后再进行整体求和.

=1\*GB3①当数列中常含有(-1)k或者(-1)k+1等符号时,则其项常常体现为正负项间隔出现,此时常将相邻的正负两项(或三项等)并成一组,然后求和，或者考虑将数列分组为奇数项数列和偶数项数列,然后采用分组求和法；=2\*GB3②当数列中含有an+an+1=fn的形式,或者探究3：数列求和的其他方法【典例剖析】例3.(2022·福建省泉州市期中)已知数列{an}的前n项和为Sn，且{(1)求证：{a(2)用max{p,q}表示p，q中的最大值，若a1=1，bn=max2a选题意图：选题意图：求数列anbn的前n项和，容易联想到要用错位相减法求和，但该题的第二问bn的通项公式，为分段的形式，思维引导：第（2）问中表示出bn的通项公式，为分段的形式；故求anbn的前n项和要分段讨论；当n≥4时，要利用【解析】(1)证明：因为{an-Snn}是公差为12的等差数列，

所以an-Snn=a1-S11+n-1×12=n-12，

于是当n≥2时，Sn-Sn-1-Snn=n-12，

所以Snn-Sn-1n-1=12，

可见数列Snn是首项为S1=a1，公差为12的等差数列，

于是Snn=a1+n-12，Sn=na1+nn-12，

又当n=1时，S1=a1，

所以对n∈N*，Sn=na1+n【变式训练】练31(2022·广东省月考)已知等差数列{an}中，a5=3π8，设函数f(x)=(4cos2x2A.0 B.10 C.16 D.18【解析】函数f(x)=2cosxsinx+cos2x+2=sin2x+cos2x+2=2sin⁡(2x+π4)+2，

记yn=fan，

所以y1=fa1=2sin2a1+π4+2，y2=fa2=2sin2a2+π4+2，…，

y5=fa5=2sin2a5+π4+2，…，y9=fa9=2=4×9，

则S9=18．

故选练32(2022·浙江省模拟)已知数列{an}与{bbn=2,n(1)设cn=a2n+1-a2n-1(2)设Sn为{an}的前【解析】(1)当n=2k-1时，k∈N *，得a2k-1+2a2k=(-3)2k-1+1=1\*GB3①．

当n=2k时，k∈N *，得2a=2\*GB3②=1\*GB3①得a2k+1-a2k-1=32k+32k-1=4⋅32k-1，即a2n+1-a2n-1=4⋅32n-1

∴c1=a3-a1=4⋅32×1-1=12．

∵c【规律方法】常用的数列求和方法：直接利用两个特殊数列(等差数列或等比数列)的前n项和公式、列举法、分组转化法、并项求和法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法.

=1\*GB3①列举法：列举法主要应用于数列项数较少的数列求和问题,通过列举出数列中的各项后加以数列求和.而在实际解题过程中,若一直没有想到其他思路,也可以借助列举法来思考,在列举法的基础上进行分析与归纳,再采用合适的方法来处理.=2\*GB3②倒序相加法：若一个数列的首项、尾项能构建出特殊的关系,则可以反向构建关系,先把数列倒着写一遍再和原来的数列相加,从而得到题中所证或所求.=3\*GB3③分组求和法：当所求解的数列本身不是特殊数列,而通过适当拆分并重新组合后,可以分成若干个特殊数列，分别求和.

=4\*GB3④错位相减法：对一个由等差数列和等比数列对应项之积组成的数列的前n项和问题,常用错位相减法求和.这种

方法主要用于求数列an∙bn的前n项和,其中an、bn分别是等差数列和等比数列,等式两端同时乘以公比后进行错位相减,再利用等比数列的求和公式加以转化即可.探究4：数列求和的综合问题【典例剖析】例4.(2022·江苏省南京市联考·多选)已知数列{an}的前n项和为Sn4anA.3an+1<an B.选题意图：选题意图：数列的多选题，涉及的数列知识较多，综合性较强，考查学生能否灵活的运用数列的基本概念，基本方法解决问题.思维引导：由递推关系构造数列，求出an的通项公式后逐个判断选项，其中D选项涉及求和，an的通项公式不能直接利用上述求和方法，就要通过放缩将不特殊数列化为特殊数列，转化【解析】由4an⋅an+1=an-3an+1两边同除以an⋅an+1得：4=1an+1-3an，

所以1an+1+2=3(1an+2)，

∴数列1an+2是以1a1+2=3为首项，公比为3的等比数列，

所以13n-2>en+1，所以C错误；

对于D选项：因为an=13n-2=13n【变式训练】练41(2022·广东省佛山市模拟)某科技研发公司2021年全年投入的研发资金为300万元，在此基础上，计划每年投入的研发资金比上一年增加10%，则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是(

)(参考数据：lg2=0.301，lg3=0.477，lg5=0.699A.2027年 B.2028年 C.2029年 D.2030年【解析】根据题意设n(n∈N*)年后公司全年投入的研发资金为y，

则y=300(1+10%)n，

令300(1+10%)n>600，

解得n>lg2lg1.1=lg2lg练42(2022·江苏省模拟)若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”.若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2019积数列”，且a1>1，则当其前n项的乘积取最大值时A.1010 B.1009 C.1009或1010 D.1008或1009【解析】∵各项均为正数的等比数列{an}是一个“2019积数列”，且a1>1，

∴由题意得a1×a2×a3×…×a1008×a1009×a1010×…×a2016×a2017×a2018练43(2022·安徽省皖江名校联盟联考)已知函数f(x)=2ln(x+2)+a(1)若a=-2，求函数f(x)在(0,+∞)上的单调区间;(2)求证：1n【解析】(1)依题意，f(x)=2ln(x+2)-2x2，x∈(0,+∞)，

f'(x)=2x+2⋅(-2x2-4x+1)，

令f'(x)=0，则2x2+4x-1=0，解得x=-1+62或x=-1-62(舍去)

故当x∈(0,-1+62)时，f'(x)>0，当x∈(-1+62,+∞)时，f'(x)<0，

故函数f(x)在(0,+∞)上的单调递增区间为(0,-1+62)，

单调递减区间为(-1+62,+∞);

(2)证明：当a=1时，f(x-1)=2ln(x+1)+(x-1)2，

当x>0时f'(x-1)=2x+1+2(x-1)=2x2x+1>0，

故函数f(x-1)在(0,+∞)上单调递增，故f(x-1)>2ln1+(0-1)2=1，

即2ln(x+1)+(x-1)2>1，整理得2x-x2<2ln(x+1)，【规律方法】将函数、导数、数列、不等式结合的综合问题是近年来高考的热门题型.常见的综合类型有：=1\*GB3①数列间的综合；=2\*GB