微专题三将军饮马模型（教师版）

微专题三将军饮马模型模型将军饮马模型如图，A、B两点在直线l的同侧，求在直线l上找一点P，使得PA+PB的值最小。该种题型一般可以做A点或B点关于直线l的对称点，或，连接或，或交直线l于点P，使得PA+PB的值最小。【典例1】如图，牧童在离河边3km的A处牧马，小屋位于他南6km东9km的B处，他想把他的马牵到河边饮水，然后回小屋．他要完成此过程所走的最短路程是多少？并在图中画出饮水C所在在位置（保留作图痕迹）．【答案】最短路程是；画图见解析．【分析】先作关于的对称点，连接，构建直角三角形，利用勾股定理即可得出答案．【详解】解：如图，作出点关于的对称点，连接交于点，则点是马饮水的位置，根据对称性可得，,则，∴，由已知得，，，在中，由勾股定理求得，即，答：他要完成这件事情所走的最短路程是，饮水所在位置．【典例2】如图，在一条东西向的马路上有广场A和医院C，在各自正北方向上分别有汽车站B和汽车站D，已知AC＝14km，AB＝4km，CD＝8km，市政府打算在马路AC段之间建造一个加油站P．（1）若要使得加油站P到两汽车站的距离之和最小，请用尺规作图在图1中作出加油站P的位置，并直接写出此时的最小值．（作图请保留痕迹，结果可以保留根号）（2）若要使得加油站到两汽车站的距离相等，请用尺规作图在图2中作出加油站P的位置，并求出此时PA的距离．（作图请保留痕迹）【答案】（1）图见解析，km；（2）图见解析，km．【分析】（1）作点B关于AC的对称点B′，连接DB′交AC于点P，连接PB，此时PB+PD的值最小，利用勾股定理求出最小值；（2）连接BD，作线段BD的垂直平分线交AC于点P，连接PB，PD，点P即为所求，设PA＝xkm，利用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）如图1中，点P即为所求．过点D作DE⊥AB交AB的延长线于点E．则四边形ACDE是矩形，∴AC＝DE＝14（km），CD＝AE＝8（km），∵AB＝AB′＝4km，∴EB′＝AE+AB′＝12（km），∴PB+PD的最小值＝DB′＝＝＝（km）．（2）如图2中，点P即为所求，设PA＝xkm，CP＝（14﹣x）km，∵∠A＝∠C＝90°，在Rt△ABP和Rt△PCD中，PB＝PD，∴42+x2＝82+（14﹣x）2，解得x＝∴AP＝（km）．模型提分训练模型提分训练一、单选题1．已知线段AB及直线l，在直线上确定一点，使最小，则下图中哪一种作图方法满足条件（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】根据对称的性质以及两点之间线段最短即可解决问题．【详解】解：∵点A，B在直线l的同侧，∴作B点关于l的对称点B'，连接AB'与l的交点为P，由对称性可知BP=B'P，∴PA+PB=PB′+PA=AB′为最小故选：C．2．如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（

）A． B．3 C．2 D．4【答案】C【分析】连接BE，交AD于点M，过点E作EF⊥BC交于点F，此时EM＋CM的值最小，求出BE即可．【详解】解：连接BE，交AD于点M，过点E作EF⊥BC交于点F，∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，∴B点与C点关于AD对称，∴BM＝CM，∴EM＋CM＝EM＋BM＝BE，此时EM＋CM的值最小，∵AC＝6，AE＝2，∴EC＝4，在Rt△EFC中，∠ECF＝60°，∴FC＝2，EF＝2，在Rt△BEF中，BF＝4，∴BE＝2，故选：C．3．如图，在△ABC中，AC=4，BC边上的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D、E，若△AEC的周长是14，则直线DE上任意一点到A、C距离和最小为（）A．28 B．18 C．10 D．7【答案】C【分析】根据线段的垂直平分线的性质可知，B和C关于直线DE对称，EB=EC，因此E点就是DE上到A、C距离和最小的点，由△AEC的周长可求．【详解】解：∵DE是BC的中垂线，∴BE=EC，B和C关于直线DE对称∴E点就是DE上到A、C距离和最小的点，∵AB=EB+AE=CE+EA，△ACE的周长为14，∴AB=14﹣4=10，即直线DE上任意一点到A、C距离和最小为10．故选C．二、填空题4．如图，等边三角形的边上的高为6，是边上的中线，M是线段上的-一个动点，E是中点，则的最小值为_________．【答案】6【分析】连接BE交AD于M，则BE就是EM+CM的最小值，通过等腰三角形的“三线合一”，可得BE=AD即可得出结论．【详解】解：连接BE，与AD交于点M．∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴B、C关于AD对称，则EM+CM=EM+BM，则BE就是EM+CM的最小值．∵E是等边△ABC的边AC的中点，AD是中线∴BE=AD=6，∴EM+CM的最小值为6，故答案为：6．5．如图，是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当的周长最小时，的度数为______．【答案】30°【分析】连接BP，由等边三角形的性质可知AD为BC的垂直平分线，即得出BP=CP，由此可知要使△PCE的周长最小，即P点为BE与AD的交点时．最后根据等边三角形三线合一的性质，即得出CP平分，从而可求出．【详解】如图连接BP．∵为等边三角形，∴AD为BC的垂直平分线，∴BP=CP，∵△PCE的周长=PE+CP+CE=PE+BP+CE，∴当PE+BP最小时，△PCE的周长最小，∵PE+BP最小时为BE的长，即此时BE与AD的交点为P，如图．又∵点E为中点，AD为高，为等边三角形，∴P点即为等边角平分线的交点，∴CP平分，∴．故答案为：6．如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是_____．【答案】4【分析】根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到∠ABC=∠B=60°，B=AB=BC=2，证明△CBD≌△BD，得到CD=D，推出当A、D、三点共线时，AD+CD最小，此时AD+CD=B+AB=4．【详解】解：如图，连接D，∵正△ABC的边长为2，△ABC与△A′BC′关于直线l对称，∴∠ABC=∠B=60°，B=AB=BC=2，∴∠CB=60°，∴∠CB=∠B，∵BD=BD，∴△CBD≌△BD，∴CD=D，∴AD+CD=D+CD，∴当A、D、三点共线时，AD+CD最小，此时AD+CD=B+AB=4，故答案为：4．．7．如图所示，在中，，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，的面积为12，，则周长的最小值是_______________．【答案】8【分析】连接AD，AM，由EF是线段AB的垂直平分线，得到AM=BM，则△BDM的周长=BD+BM+DM=AM+DM+BD，要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小，故当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD，由此再根据三线合一定理求解即可．【详解】解：如图所示，连接AD，AM，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AM=BM，∴△BDM的周长=BD+BM+DM=AM+DM+BD，∴要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小，∴当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD，∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，，∴，∴AD=6，∴△BDM的周长最小值=AD+BD=8，故答案为：8．8．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路径是_______km．【答案】17【分析】如图（见详解），将小河看成直线MN，由题意先作A关于MN的对称点，连接A`B，构建直角三角形，则A`B就是最短路线；在Rt△A`DB中，∠A`DB=90°，BD=8km，A`D=AD+A`A，利用勾股定理即可求出A`B．【详解】如图，做出点A关于小河MN的对称点A`，连接A`B交MN于点P，则A`B就是牧童要完成这件事情所走的最短路程长度．在Rt△A`DB中，由勾股定理求得．则他要完成这件事情所走的最短路程是17km．三、解答题9．如图，在锐角∠AOB的内部有一点P，试在∠AOB的两边上各取一点M，N，使得△PMN的周长最小．（保留作图痕迹）【答案】见详解【分析】作点P关于直线OA的对称点E，点P关于直线OB的对称点F，连接EF交OA于M，交OB于N，连接PM，N，△PMN即为所求求作三角形．【详解】解：如图，作点P关于直线OA的对称点E，点P关于直线OB的对称点F，连接EF交OA于M，交OB于N，连接PM，PN，△PMN即为所求作三角形．理由：由轴对称的性质得MP＝ME，NP＝NF，∴△PMN的周长＝PM+MN+PN＝EM+MN+NF＝EF，根据两点之间线段最短，可知此时△PP1P2的周长最短．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC底边BC上的中线，点P为线段AB上一点．（1）在AD上找一点E，使得PE+EB的值最小；（2）若点P为AB的中点，当∠BPE满足什么条件时，△ABC是等边三角形，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）∠BPE=90°，理由见解析【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可知AD垂直平分BC，再根据两点间线段最短的性质，连接CP交AD于点E，并连接BE，即可得解；（2）因为P为AB的中点，要使△ABC是等边三角形，则需BC=AB，根据等腰三角形三线合一的性质，所以CP⊥AB，即∠BPE=90°．【详解】解：（1）如图，连接CP交AB于点E，则点E为所求；（2）∠BPE=90°，理由如下：∵∠BPE=90°∴CP⊥AB，∵点P为AB的中点，∴CP垂直平分AB∴CA=CB∵AB=AC∴AB=AC=BC∴△ABC是等边三角形11．如图，铁路上、两站相距8km，、为两个村庄，，，垂足分别为、，已知，，现在要在铁路上修建一个中转站，使得到、两村的距离和最短．请在图中画出点的位置，并求出的最小值．【答案】图见解析，【分析】根据轴对称求最短路线作出C点对称点C′，连接C′D即可得出P点位置，再利用勾股定理得出C′D即为收购站P到C、D两村庄的距离和最小值．【详解】解：作点关于的对称点，连接与的交点就是点过作的延长线于点则，∴在中

∴∴的最小值为．12．如图，在中，已知，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．（1）若，求的度数；（2）若点P为直线上一点，，求周长的最小值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求得的度数，继而求得；（2）利用最短路线模型计算即可；【详解】解：（1）∵，∴，∴，∵垂直平分，∴，∴；（2）当点P与点E重合时，的周长最小，理由：∵，∴当点P与点E重合时，，此时最小值等于的长，∴的周长最小值为．13．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点P为AC边上的一个动点，过点P作PD⊥AB于点D，求PB+PD的最小值．请在横线上补充其推理过程或理由．解：如图2，延长BC到点B′，使得BC＝B′C，连接PB′∵∠ACB＝90°（已知）∴（垂直的定义）∴PB＝（线段垂直平分线的性质）∴PB+PD＝PB′+PD（等式性质）∴过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P，此时PB+PD取最小值，连接AB′，在△ABC和△AB′C中，∵AC＝AC，∠ACB＝∠ACB′＝90°，∴△ABC≌△AB′C（理由：）∴S△ABB′＝S△ABC+＝2S△ABC（全等三角形面积相等）∵S△ABB′＝AB﹒B'D＝×10×B′D＝5B′D又∵S△ABB′=2S△ABC＝2×BC﹒AC＝2××6×8＝48∴（同一三角形面积相等）∴B′D＝∴【答案】AC⊥BB'；PB'；BC=B′C；SAS；S△AB'C；AB•B′D＝48；PB+PD的最小值为【分析】作点B关于AC的对称点B′，过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P，点P即为所求作的点，此时PB+PD有最小值，连接AB′，根据对称性的性质，BP=B′P，证明△ABC≌△AB′C，根据S△ABB′=S△ABC+S△AB′C=2S△ABC，即可求出PB+PD的最小值．【详解】解：如图2，延长BC到点B′，使得BC=B′C，连接PB′，∵∠ACB=90°（已知），∴AC⊥BB'（垂直的定义），∴PB=PB'（线段垂直平分线的性质），∴PB+PD=PB′+PD（等式性质），∴过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P，此时PB+PD取最小值，连接AB′．在△ABC和△AB′C中，∵AC=AC，∠ACB=∠ACB′=90°，BC=B′C，∴△ABC≌△AB′C（理由：SAS），∴SABB′=S△ABC+S△AB'C=2S△ABC（全等三角形面积相等），∵S△ABB′=×AB×B'D=×10×B′D=5B′D，又∵S△ABB′=2S△ABC=2××BC×AC=2××6×8=48，∴

AB•B′D＝48（同一三角形面积相等），∴B′D=，∴PB+PD的最小值为．故答案为：AC⊥BB'；PB'；BC=B′C；SAS；S△AB'C；AB•B′D＝48；PB+PD的最小值为．14．已知Rt△ABC中∠C＝Rt∠，且BC＝9，∠B＝30°．（1）如图1、2，若点D是CB上一点，且CD＝3，点E是AB上的动点，将△DBE沿DE对折，点B的对应点为B′（点B′和点C在直线AB的异侧），DB′与AB交于点H．①当∠B′EA＝20°时，求∠EDB的度数．②当△B′HE是等腰三角形时，求∠DEB的度数．（2）如图2，若点D是CB上一点，且CD＝3，M是线段AC上的动点，以∠MDN为直角构造等腰直角△DMN（D，M，N三点顺时针方向排列），在点M的运动过程中，直接写出CN+NB的最小值．【答案】（1）①50°；②105°或127.5°；（2）3．【分析】（1）①由题意利用翻折变换的性质求出∠DEB，可得结论；②根据题意分三种情形，利用翻折变换的性质分别求出∠DEB即可；（2）根据题意连接CN，BN，过点N作直线l⊥AC，BT⊥CB于点T，作点C关于直线l的对称点Q，连接BQ．证明△DCM≌△N