2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区高二下学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南京市鼓楼区2022-2023学年高二下学期期末数学试题一.单项选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗集合，，则.故选：A.2.计算的结果是（）A.10 B.16 C.28 D.56〖答案〗D〖解析〗.故选:3.一批产品共100件，其中有5件不合格品，从中随机抽取10件产品，则恰有2件不合格品和8件合格品的取法种数是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗随机抽取10件产品，恰有2件不合格品和8件合格品的取法种数是.故选：B.4.已知向量在向量上的投影向量是，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，设向量在向量的夹角为，所以向量在向量上的投影向量为，所以，所以.故选：C.5.函数在上的平均变化率为（）A.1 B. C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗函数在上的增量，所以函数在上的平均变化率为.故选：C.6.为了考查某种营养液对有机蔬菜的增产效果，某研究所进行试验、获得数据、经过计算后得到，那么可以认为该营养液为有机蔬菜的增产效果的把握为（）附：临界值表（部分）A.以上 B.以上 C.以上 D.以下〖答案〗C〖解析〗因为，所以该营养液为有机蔬菜的增产效果的把握为以上.故选：C.7.已知平面与平面的法向量分别为与，平面与平面相交，形成四个二面角，约定：在这四个二面角中不大于的二面角称为两个平面的夹角，用表示这两个平面的夹角，且，如图，在棱长为2的正方体中，点为棱的中点，为棱的中点，则平面与平面的夹角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗以A为坐标原点，为轴，为轴，为轴，可得，，，所以，，设平面的法向量为，则有，得，令，所以，因为平面的法向量是，所以，故选：B.8.若，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以构建函数，则有，因为在上单调递增，则在上单调递增，所以.故选：A.二.多项选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得4分，部分选对得得2分，有选错的得0分）9.如果，那么下列不等式成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗因为，所以，A成立；因为，所以，B，C不成立；因为，所以，所以，D成立.故选：AD.10.某高级元件的抗拉强度（单位：）服从正态分布，测量记录精确到，则下列选项中正确的是（）附：标准正态分布数值表（部分）A.抗拉强度的均值为B.抗拉强度的标准差为C.抗拉强度超过元件的比例是D.如果要求所有元件的抗拉强度在的范围内，那么被报废的元件的比例是〖答案〗AC〖解析〗根据正态分布，可得抗拉强度的均值为，抗拉强度的标准差为正确，B错误；根据抗拉强度超过可得，查表可知，在标准作图分布中，，所以C正确；依题意，则，D错误.故选：AC11.已知函数，其中，则（）A.B.图像的对称轴是直线C.图像在直线的上方D.当时，〖答案〗AC〖解析〗当时，；当时，；当时，函数图像如下图，当时，函数取最小值，即，当且仅当时取等号，故，A正确.故函数对称轴为，B错误.当时，，且，所以，所以图像在直线的上方，C正确.当时，即时，，解得，故，当时，即时，，解得或，故；综上，D错误.故选：AC.12.已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则在下列说法中正确的说法是（）A.B.函数在区间上的〖解析〗式为C.若函数与函数且的图象在区间上交点有5个，则实数的取值范围为D.函数所有零点的和为35〖答案〗AD〖解析〗当时，则，可得，即，所以函数的图象关于对称，因为为奇函数，所以，所以由，得，所以的周期为2，所以，A正确.当时，，因为，所以，所以，B错误如图函数与函数的图象，因为在区间上交点有5个，因为当时，，所以，解得；若时，若要满足题意，则需，所以；所以满足题意的a的范围为，C错误；当时，可得，令，和图象如图，因为，解得，所以两函数图象有10个交点，故交点之和为，D正确，故选：AD.三.填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分13.命题“”的否定是_______.〖答案〗〖解析〗命题“”的否定是.故〖答案〗为：.14.函数的图象恒过定点,点在幂函数的图象上，则=____.〖答案〗27〖解析〗当时，函数，故，设幂函数，则，解得，故，.15.为进一步改善员工健康状况，在某行业进行一种职业病调查，随机调查了100位患者，得到如下的职业病发病情况统计表：工龄类别发病频率工龄不超过10年工龄超过10年且不超过20年工龄超过20年已知该行业这种职业病的患病率为，该行业工龄超过10年且不超过20年的员工占该行业总人数的，从该行业中任选一位员工，若此员工的工龄超过10年且不超过20年，则此员工患这种职业病的概率为_______.（以统计表中各类别患者的发病频率作为相应类别患者的发病概率，精确到）〖答案〗0.0005〖解析〗设事件“选取的员工行业工龄超过10年且不超过20年的员工”，“选取的员工患这种职业病”，从该行业中任选一位员工，若此员工的工龄超过10年且不超过20年，则此员工患这种职业病为事件，,故〖答案〗为：0.0005.16.式子的值分别为________，_______.〖答案〗6〖解析〗，可看成是在时的导数，而，所以；，可看成是在时导数的2倍，而，所以.故〖答案〗为：6；.四.解答题：本题共3小题，共36分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.“民族要复兴，乡村必振兴”.近年来，我国农村居民人均可支配收入逐年上升，下面给出了根据我国年中国农村居民人均可支配收入（单位：元）和年份代码绘制的条形图和线性回归方程的残差图（年年的年代代码分别为）（1）根据条形图相应数据计算得求关于的线性回归方程；（2）根据线性回归方程的残差图，分析线性回归方程的拟合效果.（精确到）附：线性回归方程中的回归系数和回归截距的计算公式分别为：解：（1）由所给出数据计算得，，所求线性方程为.（2）由题中给出的残差图知历年数据的残差均在到之间，说明线性回归方程的拟合效果较好.18.已知函数.（1）求的最小正周期；（2）将函数的图像上所有的点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），再将所得图像向右平移个单位，得到函数的图像，求的单调递减区间.解：（1）函数，所以的最小正周期为.（2）将函数的图像上所有的点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得到，再将所得图像向右平移个单位，得到函数，令，求得，可得的单调递减区间为.19.已知函数.（1）当时，解不等式；（2）当对恒成立时，求整数的最小值.解：（1）当时，函数，当时，可得，解得.即.（2）因为，所以可得，由于，所以，所以，令，所以，所以，因为，所以，故,所以整数的最小值为4.20.如图，在三棱柱中，平面，，点为中点.（1）求证：平面；（2）求点到直线的距离.（1）证明：连接，交于点，则为中点.因为点为中点，所以，因为，所以平面；（2）解：如图,以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，可得，，设夹角为，则，故可得，又，设点到直线的距离为，则.21.某部门对一种新型产品的效果进行独立重复试验，每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为.（1）方案一：若试验成功，则试验结束，否则继续试验，且最多试验3次，记为试验结束时所进行的试验次数，请写出的分布列；（2）方案二：当实验进行到恰好出现2次成功时结束试验，否则继续试验，已知，求在第次试验进行完毕时结束试验的概率；若，当时，求的最小值.解：（1）试验成功的概率为，由已知可知可能取值为1，2，3,所以，，,所以的分布列为123（2）在第次结束试验时，,所以,所以,，所以,解得,所以的最小值为4.22.已知函数.（1）当时，求在的展开式中第5项的二项式系数；（2）求证：.（1）解：当时，函数为，展开式中第5项的二项式系数为（2）证明：因为，所以当时，，所以，因为，所以.江苏省南京市鼓楼区2022-2023学年高二下学期期末数学试题一.单项选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗集合，，则.故选：A.2.计算的结果是（）A.10 B.16 C.28 D.56〖答案〗D〖解析〗.故选:3.一批产品共100件，其中有5件不合格品，从中随机抽取10件产品，则恰有2件不合格品和8件合格品的取法种数是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗随机抽取10件产品，恰有2件不合格品和8件合格品的取法种数是.故选：B.4.已知向量在向量上的投影向量是，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，设向量在向量的夹角为，所以向量在向量上的投影向量为，所以，所以.故选：C.5.函数在上的平均变化率为（）A.1 B. C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗函数在上的增量，所以函数在上的平均变化率为.故选：C.6.为了考查某种营养液对有机蔬菜的增产效果，某研究所进行试验、获得数据、经过计算后得到，那么可以认为该营养液为有机蔬菜的增产效果的把握为（）附：临界值表（部分）A.以上 B.以上 C.以上 D.以下〖答案〗C〖解析〗因为，所以该营养液为有机蔬菜的增产效果的把握为以上.故选：C.7.已知平面与平面的法向量分别为与，平面与平面相交，形成四个二面角，约定：在这四个二面角中不大于的二面角称为两个平面的夹角，用表示这两个平面的夹角，且，如图，在棱长为2的正方体中，点为棱的中点，为棱的中点，则平面与平面的夹角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗以A为坐标原点，为轴，为轴，为轴，可得，，，所以，，设平面的法向量为，则有，得，令，所以，因为平面的法向量是，所以，故选：B.8.若，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以构建函数，则有，因为在上单调递增，则在上单调递增，所以.故选：A.二.多项选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得4分，部分选对得得2分，有选错的得0分）9.如果，那么下列不等式成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗因为，所以，A成立；因为，所以，B，C不成立；因为，所以，所以，D成立.故选：AD.10.某高级元件的抗拉强度（单位：）服从正态分布，测量记录精确到，则下列选项中正确的是（）附：标准正态分布数值表（部分）A.抗拉强度的均值为B.抗拉强度的标准差为C.抗拉强度超过元件的比例是D.如果要求所有元件的抗拉强度在的范围内，那么被报废的元件的比例是〖答案〗AC〖解析〗根据正态分布，可得抗拉强度的均值为，抗拉强度的标准差为正确，B错误；根据抗拉强度超过可得，查表可知，在标准作图分布中，，所以C正确；依题意，则，D错误.故选：AC11.已知函数，其中，则（）A.B.图像的对称轴是直线C.图像在直线的上方D.当时，〖答案〗AC〖解析〗当时，；当时，；当时，函数图像如下图，当时，函数取最小值，即，当且仅当时取等号，故，A正确.故函数对称轴为，B错误.当时，，且，所以，所以图像在直线的上方，C正确.当时，即时，，解得，故，当时，即时，，解得或，故；综上，D错误.故选：AC.12.已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则在下列说法中正确的说法是（）A.B.函数在区间上的〖解析〗式为C.若函数与函数且的图象在区间上交点有5个，则实数的取值范围为D.函数所有零点的和为35〖答案〗AD〖解析〗当时，则，可得，即，所以函数的图象关于对称，因为为奇函数，所以，所以由，得，所以的周期为2，所以，A正确.当时，，因为，所以，所以，B错误如图函数与函数的图象，因为在区间上交点有5个，因为当时，，所以，解得；若时，若要满足题意，则需，所以；所以满足题意的a的范围为，C错误；当时，可得，令，和图象如图，因为，解得，所以两函数图象有10个交点，故交点之和为，D正确，故选：AD.三.填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分13.命题“”的否定是_______.〖答案〗〖解析〗命题“”的否定是.故〖答案〗为：.14.函数的图象恒过定点,点在幂函数的图象上，则=____.〖答案〗27〖解析〗当时，函数，故，设幂函数，则，解得，故，.15.为进一步改善员工健康状况，在某行业进行一种职业病调查，随机调查了100位患者，得到如下的职业病发病情况统计表：工龄类别发病频率工龄不超过10年工龄超过10年且不超过20年工龄超过20年已知该行业这种职业病的患病率为，该行业工龄超过10年且不超过20年的员工占该行业总人数的，从该行业中任选一位员工，若此员工的工龄超过10年且不超过20年，则此员工患这种职业病的概率为_______.（以统计表中各类别患者的发病频率作为相应类别患者的发病概率，精确到）〖答案〗0.0005〖解析〗设事件“选取的员工行业工龄超过10年且不超过20年的员工”，“选取的员工患这种职业病”，从该行业中任选一位员工，若此员工的工龄超过10年且不超过20年，则此员工患这种职业病为事件，,故〖答案〗为：0.0005.16.式子的值分别为________，_______.〖答案〗6〖解析〗，可看成是在时的导数，而，所以；，可看成是在时导数的2倍，而，所以.故〖答案〗为：6；.四.解答题：本题共3小题，共36分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.“民族要复兴，乡村必振兴”.近年来，我国农村居民人均可支配收入逐年上升，下面给出了根据我国年中国农村居民人均可支配收入（单位：元）和年份代码绘制的条形图和线性回归方程的残差图（年年的年代代码分别为）（1）根据条形图相应数据计算得求关于的线性回归方程；（2）根据线性回归方程的残差图，分析线性回归方程的拟合效果.（精确到）附：线性回归方程中的回归系数和回归截距的计算公式分别为：解：（1）由所给出数据计算得，，所求线性方程为.（2）由题中给出的残差图知历年数据的残差均在到之间，说明线性回归方程的拟合效果较好.18.已知函数.（1）求的最小正周期；（2）将函数的图像上所有的点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），再将所得图像向右平移个单位，