《基础数学（第3册）（第2版）》教案 第十三章 13.2双曲线（二）

课题双曲线（二）课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：（1）掌握双曲线的概念；（2）掌握双曲线的几何意义；（3）会利用双曲线的几何意义解决有关数学问题；.（4）通过双曲线知识的学习与运用，培养学生的数学几何思维能力．素质目标：引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的。教学重难点教学重点：双曲线的几何意义．教学难点：双曲线的实际应用．教学方法讲练结合法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学理念（1）从复习上节课的学习内容入手，通过实际问题导入知识；（2）通过实际问题引导学生认识双曲线，突破难点；（3）通过简单的实例，应用数学建模的思想解决双曲线中的实际问题；（4）为学生们提供观察和操作的机会，加深对知识的理解与掌握．教学设计第1节课：→→问题→传授新知（15min）→→第2节课：→传授新知（25min）→课堂练习（10min）→课堂小结（3min）→作业布置（2min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过文旌课堂APP或其他学习软件，完成课前任务请大家复习上一节课所学双曲线的几何意义，同学相互讨论公式的记忆方法，并预习本节课内容。【学生】完成课前任务通过课前的预热，让学生了解所学本节课的大概内容，激发学生的学习欲望考勤（2min）【教师】使用文旌课堂APP进行签到，清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况问题导入（10min）【教师】提出以下问题：双曲线中长轴、短轴、焦距之间存在何种关系？试举例子讨论双曲线的对称性如何？【学生】聆听、思考、举手回答通过问题导入的方法，引导学生主动思考，激发学生的学习兴趣传授新知（15min）【教师】通过学生的回答引入要讲的知识，讲解双曲线的几何意义【知识精讲】【教师】根据学生掌握知识的情况，继续讲解双曲线的几何意义1．双曲线的标准方程．这个方程称为双曲线的标准方程，它表示焦点在轴上，中心在坐标原点上，焦点坐标为，的双曲线，其中．若选取的平面直角坐标系不同，双曲线的方程也不同．如图13-14所示，若双曲线的焦点，在轴上，点，的坐标分别为，，则双曲线的方程为．双曲线的范围由可知，双曲线上任意一点的坐标都满足，即，即或．双曲线的对称性双曲线既是分别以轴、轴为对称轴的轴对称图形，又是以原点为对称中心的中心对称图形．双曲线的对称中心称为双曲线的中心．双曲线的实虚轴双曲线与轴的两个交点，称为双曲线的顶点．线段称为双曲线的实轴，它的长等于，a称为双曲线的实半轴长；线段称为双曲线的虚轴，它的长等于，b称为双曲线的虚半轴长．5.双曲线的渐近线分别作直线和直线，四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在直线的方程就称为双曲线的渐近线6.椭圆的离心率双曲线的焦距与实轴长的比称为双曲线的离心率，用表示，即．【学生】聆听、思考、记忆【学以致用】【教师】根据知识点讲解例题例4求满足下列条件的双曲线的标准方程．例4（1）实轴长为8，离心率为2，焦点在y轴上；（2）一个焦点为，一条渐近线方程为．解（1）因为，所以．又因为，所以，故．因为双曲线的焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程为．（2）因为双曲线的焦点在x轴上，所以可设它的标准方程为．因为双曲线的一个焦点坐标为，一条渐近线方程为，所以可得解得因此，所求双曲线的标准方程为．【学生】聆听、讨论、理解、回答通过教师讲解、课堂讨论、举例说明等教学方式，使学生掌握双曲线的几何意义课堂练习（10min）【教师】对学生进行同桌互助自测（学困生上黑板验算）：求满足下列条件的双曲线的标准方程．（1）顶点在y轴上，两顶点间的距离为8，离心率为；（2）焦点在x轴上，实半轴长为6，一条渐近线方程为．【学生】聆听、思考、同桌讨论，纠错使用讲练结合的方式，及时了解学生知识掌握情况讨论归纳（8min）【教师】提出问题提出问题当双曲线焦点的位置不能确定时，如何求解标准方程．【学生】聆听、思考、同桌讨论【教师】与学生一起讨论，并进行归纳通过课堂讨论，加深学生对所学知识的理解，并培养学生的团队意识第二节课问题导入（5min）【教师】提出问题：双曲线应用领域很广，发电厂冷却塔就是其中一个，如图13-19所示．发电厂冷却塔采用双曲线型结构，是因为这样的结构更坚固、更易建造，也更容易使空气流通．你知道双曲线型结构为什么更容易使空气流通吗？图13-19【学生】聆听、思考、举手回答通过问题导入的方法，引导学生主动思考，激发学生的学习兴趣传授新知（25min）【教师】通过学生的回答引入要讲的知识，讲解双曲线的实际应用【知识精讲】【教师】举例讲解双曲线的应用双曲线因其特有的几何性质，在很多领域都有应用．而了解双曲线的性质，也有助于我们解决很多相关的问题．【学生】聆听、思考、记忆【学以致用】【教师】根据知识点讲解例题例5双曲线型冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其中轴（即双曲线的虚轴）旋转所成的曲面，如图13-20（a）所示．它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为．在如图13-20（b）所示的平面直角坐标系中，求双曲线的标准方程．（精确到）例5（a）（b）图13-20分析如图13-20（b）所示，平面直角坐标系的y轴是双曲线虚轴所在的直线，原点是双曲线型冷却塔最小圆的圆心，x轴是最小圆的直径所在的直线．由此可知，坐标轴是双曲线的对称轴，最小圆的直径的端点，是双曲线的顶点．解在给定的平面直角坐标系中，设双曲线的标准方程为．因为双曲线型冷却塔的最小半径为，上口半径为，下口半径为，所以，点B，C的横坐标分别为25，13．设点B，C的纵坐标分别为，其中．因为点，在双曲线上，所以解得因为双曲线型冷却塔高为，所以，即，解得．因此，所求双曲线的标准方程为．例6动点到定点的距离m与点P到定直线的距离d之比为2，如图13-21所示．求动点P的轨迹．例6图13-21解根据题意可知，动点P的轨迹就是集合．由此可得，将上式两边分别平方，化简得，即．因此，动点P的轨迹为焦点在x轴上，实轴长、虚轴长分别为，的双曲线．【学生】聆听、讨论、理解、回答通过教师讲解、课堂讨论、举例说明等教学方式，使学生掌握双曲线的实际应用课堂练习（10min）【教师】对学生进行同桌互助自测（学困生上黑板验算）：动点到定点的距离与点P到定直线的距离之比为，求动点P的轨迹．【学生】聆听、思考、同桌讨论，纠错使用讲练结合的方式，充分了解学情课堂小结（3min）【教师】简要总结本节课的要点本次课学习了双曲线的几何意义。希望大家在课下多加复习，巩固所学知识，为后面的学习打下坚实的基础。【学生】总结回顾知识点总结知识点，加深学生对双曲线相关知识的印象作业布置（2min）【教师】布置课后作业（1）阅读：教材章节13.2；小试牛刀13.2；（2）书写：小试牛刀13.2，（配套）学习与训练13.2训练题（包括B组）；（