《高职应用数学》教案 第44课 函数展开成幂级数

第44课函数展开成幂级数课题函数展开成幂级数课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：1．理解泰勒级数、泰勒公式和麦克劳林级数2．会将函数展开成幂级数思政育人目标：通过介绍泰勒级数、泰勒公式、麦克劳林级数的来龙去脉，使学生认识到数学对于科学发展的巨大意义；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的教学重难点教学重点：直接展开法、间接展开法教学难点：直接展开法教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第一节课：课前任务→考勤（2min）→复习（10min）→讲授新课（33min）第二节课：课堂测验（10min）→课堂指导（10min）→数学实验（12min）→课堂小结（3min）→课后拓展教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课课前任务【教师】和学生负责人取得联系，布置课前任务，提醒同学做完作业，在指定时间内交齐【学生】做完作业，在指定时间内交齐【教师】通过文旌课堂APP或其他学习软件，布置课前问答题：（1）什么是泰勒级数？（2）什么是麦克劳林级数？（3）如何将函数展开成幂级数？【学生】查找资料，预习教材通过课前的预热，让学生了解所学科目的大概方向，激发学生的学习欲望考勤（2min）【教师】清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况复习（10min）【教师】提前设计好复习题目，并针对学生存在的问题及时讲解【学生】做复习题目复习所学内容，为讲授新课打好基础讲授新课（33min）【教师】引入课题——函数展开成幂级数前面讨论了这样一个问题：对于给定的幂级数，求其收敛域并求出和函数的表达式．本节讨论该问题的反问题：给定函数，能否找到这样一个幂级数，使它在某个区间内收敛，且其和恰为给定的函数．如果能找到这样的幂级数，就说在该区间内可展开成幂级数．解决这个问题有很重要的应用价值，它给出了函数的一种新的表达式，使多项式函数逼近一般函数．【教师】讲解泰勒级数、泰勒公式和麦克劳林级数若在点的某一邻域内具有任意阶导数，则称幂级数为在点处的泰勒级数．特别地，当时，称它为的麦克劳林级数，即．记，则称为的泰勒多项式．记，则称为拉格朗日余项．由上面的讨论可知，如果能展开成幂级数，那么这个幂级数就是的泰勒级数．而且对于给定的函数，只要在的某邻域内有任意阶导数，就得到唯一一个泰勒级数与相对应．进一步的问题是，这个级数是否收敛于呢？看下面的定理．定理设函数在的某一邻域内具有各阶导数，则在该邻域能展开成泰勒级数的充分必要条件是，其中（介于与之间）．【教师】通过例题讲解利用直接展开法和间接展开法，将函数展开成幂级数的方法1．直接展开法上面的讨论提供了把函数展开成的幂级数的方法，其一般步骤如下：（1）求出的各阶导数．（2）求出函数及其各阶导数在处的值．（3）写出幂级数，并求出收敛半径．（4）考察余项，在收敛区间内的极限是否为零．若极限为零，则函数在区间内的幂级数展开式为，．例1将函数展开成的幂级数．例1解函数的任意阶导数，因此．这里，于是得级数，它的收敛半径．对于任何有限数，，余项的绝对值为．因为有限，且是收敛级数的一般项，于是，即，所以展开成的幂级数为．用直接展开法还可以得到下列函数的幂级数展开式．．．．．2．间接展开法例2将函数展开成的幂级数．例2解已知，对以上展开式逐项求导，即得．（例3～例5详见教材）【学生】理解泰勒级数和麦克劳林级数，熟记泰勒公式，掌握将函数展开成幂级数的方法学习泰勒级数的相关知识，以及将函数展开成幂级数的方法。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化第二节课课堂测验（10min）☞教师在文旌课堂APP或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生加入测试。【教师】从教材配套题库中选择几道题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂指导（10min）☞选出优秀学生带动、指导其他同学掌握知识点【教师】公布题目的正确答案，让答题快且正确的同学上台解答，为同学们做示范。如果题目比较难，无人答对则老师示范【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧以学生为主体，针对学生接受能力的差异性，让优秀学生带动其他学生掌握知识点数学实验（22min）☞使用MATLAB进行数学实验【教师】演示用MATLAB进行一元线性回归分析在许多实际问题中，常常需要通过观测两个变量的若干组数据，来寻找两个变量之间的相关关系，并通过构建一个数学模型，来研究特定变量（自变量）与研究者感兴趣的变量（因变量）之间的关系．一元线性回归分析就是常用的建立数学模型的分析方法．引例我们为了能根据汽车拥有量x来预测轮胎销售量y，就需要设法找到轮胎销售量y和汽车拥有量x之间的引例表8-1把汽车拥有量和轮胎销售量的数据转化成散点图，如图8-2所示．图8-2由图8-2可以看出，这些点大致都落在一条直线附近，也就是说变量y与x之间基本上可以看作是线性相关关系．这种近似描述两个变量之间线性相关的直线方程称为一元线性回归方程，记作．应如何建立一元线性回归方程呢？在此，我们介绍最小二乘法．在一个实际问题中，假设测得两个变量x与y对应的n对数据分别为，，，．将这n对数据看作是直角坐标平面内的n个点，并将其画在坐标平面上，这种图称为散点图．观察散点图的特点，如果这n个点的连线大致接近某条直线，那么可以用线性函数来近似地反映变量x与y之间的关系，其中是待定常数．如何确定待定常数呢？线性函数最理想的情形是：（1）选取的直线应该尽可能多地经过点；（2）对于不在直线上的实验数据，要使得与直线在对应点处的纵坐标产生的偏差尽可能小．如何才能够达到这一要求呢？能否通过设法使偏差的和最小来达到呢？不能，因为偏差有正有负，在求和时有可能互相抵消．为了避免这种情形，可对偏差取绝对值再求和，但由于有绝对值不便于讨论，因此可选取偏差的平方和（总偏差），记为S，即．通过使偏差的平方和S最小来确定线性函数的待定常数．这种根据偏差的平方和为最小的条件来确定待定常数的方法称为最小二乘法．可以利用二元函数极值的计算方法（这里不证明）来求得直线型经验公式中的待定常数，即，．其中，，（即算术平均值）．下面对引例进行分析求解．解法一（1）作图．根据题意，表8-1中有6对实验数据：，，，，，．在直角坐标系下作出散点图，如图8-3所示．从散点图可以看出这些点的连线大致在一条直线上，因此设一元线性回归方程为．图8-3（2）列表．为了便于计算，可以利用已知的数据列表8-2，并进行计算．表8-2由表8-2可以计算出：，，，因此一元线性回归方程为．>>clearall;>>x=[1818.318.919.419.820.3];>>y=[404452596777];>>X=[ones(6,1),x']; %表示的转置>>r=regress(y',X)输出结果为r=-245.535215.7996%一元线性回归方程为这就是汽车拥有量x与轮胎销售量y之间的函数关系．假如统计预测明年的汽车拥有量是22.3百万辆，那么据此函数关系，可知明年轮胎的需求量为（千只）．例1为了测定刀具的磨损速度，做如下实验：经过一定时间（如每隔1h），测量一次刀具的厚度，得到的一组实验数据如表8-3所示例1表8-3试根据上面的实验数据建立刀具厚度y与时间t之间的直线型经验公式．解法一（1）作图．在直角坐标系下作出散点图，如图8-4所示．图8-4（2）为了便于计算，可以利用已知的数据列表8-4，并进行计算．表8-4由表8-4可以计算出：．于是．因此，所求的经验公式为．>>clearall;>>x=[01234567];>>y=[27.026.826.526.326.125.725.324.8];>>X=[ones(8,1),x']; %表示的转置>>r=regress(y',X)输出结果为r=27.1250-0.3036%所求经验公式为

【学生】观看、聆听、记录、思考通过演示使用MATLAB进行数学实验的过程，使学生了解数学在实际中的应用课堂小结（3min）【教师】简要总结本节课的要点本节课上大家理解了泰勒级数、泰勒公式和麦克劳林级数，并掌握了将函数展开成幂级数的方法，还学会了用MATLAB进行一元线性回归分析的方法，课后要多加练习，巩固认知【学生】总结回顾知识点【教师】布置课后作业：习题8-4、复习题八、用MATLAB进行一元线性回归分析总结知识点，巩固印象课后拓展【教师】在文旌课堂APP或其他学习平台上共享本节课知识相关的学