《高职应用数学》教案 第37课 微分方程的基本概念

第37课微分方程的基本概念课题微分方程的基本概念课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：1．掌握微分方程的定义2．理解微分方程的阶和解的概念3．掌握解微分方程的步骤思政育人目标：通过介绍微分方程发展简史，使学生体会历代数学家对数学科学孜孜不倦的探索精神，培养学生勇于钻研的科学精神；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力教学重难点教学重点：微分方程的概念教学难点：求微分方程的通解教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第一节课：课前任务→考勤（2min）→阅读导入（10min）→讲授新课（33min）第二节课：讲授新课（22min）→课堂测验（10min）→课堂指导（10min）→课堂小结（3min）→课后拓展教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课课前任务【教师】和学生负责人取得联系，布置课前任务，提醒同学做完作业，在指定时间内交齐【学生】做完作业，在指定时间内交齐【教师】通过文旌课堂APP或其他学习软件，布置课前问答题：（1）微分方程是什么？（2）如何利用微分方程解决实际问题？【学生】查找资料，预习教材通过课前的预热，让学生了解所学科目的大概方向，激发学生的学习欲望考勤（2min）【教师】清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况阅读导入（10min）【教师】讲述《微分方程发展简史》【学生】聆听、思考通过阅读资料，吸引学生关注，调动学生的主观能动性讲授新课（33min）【教师】通过一个引例使学生了解微分方程的作用先看一个实例．例一曲线上任意一点处的切线斜率等于，且该曲线通过点，求该曲线的方程．例解设所求曲线为，由导数的几何意义可知，满足关系式．（7-1）又因曲线经过点，故所求曲线应满足．（7-2）对式（7-1）两边积分，得．（7-3）把条件（7-2）代入式（7-3），得．将代入式（7-3）得所求方程为．（7-4）可以看出，解决此问题的方法为首先建立一个含有未知函数的导数的方程，然后通过此方程求出满足所给附加条件的未知函数．【教师】讲解微分方程的定义表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程称为微分方程．例如，，等都是微分方程．这里必须指出，在微分方程中，自变量及未知函数可以不出现，但未知函数的导数必须出现．未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程．未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程．本章我们只介绍常微分方程的有关知识，故本章所述的微分方程都是指常微分方程．【教师】讲解微分方程的阶的概念，以及各阶微分方程的一般形式一般地，一阶微分方程的一般形式为或，二阶微分方程的一般形式为或，阶微分方程的一般形式为或．【学生】了解微分方程的作用，理解微分方程的基本概念，了解微分方程的类型，理解微分方程的阶的概念，掌握各阶微分方程的一般形式学习微分方程的基本概念、微分方程的阶的概念，以及各阶微分方程的一般形式。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化第二节课讲授新课（22min）【教师】讲解微分方程的解（通解、特解、初始条件），介绍利用微分方程解决实际问题的大致步骤在引例中将式（7-1）中的未知函数用已知函数代替，则式（7-1）成为恒等式，我们可把称为式（7-1）的一个解．定义若函数满足一个微分方程，则称它是该微分方程的解．求微分方程的解的过程，称为解微分方程．图7-1微分方程的解可以是显函数，也可以是隐函数．图7-1若微分方程的解中含有相互独立的任意常数，并且任意常数的个数等于该微分方程的阶数，则这个解称为该微分方程的通解．例如，引例中式（7-3）是方程的通解，如图7-1所示．通解中的任意常数根据某些条件确定下来后，对应的解称为该微分方程的一个特解．用于确定通解中任意常数的条件称为初始条件．例如，引例中式（7-4）是方程满足初始条件的特解，如图7-1所示．从几何上说，微分方程通解的图形是一族曲线，即积分曲线族，而微分方程的特解是积分曲线族的一条积分曲线．利用微分方程解决实际问题时，步骤大致如下：第一步：分析问题，建立微分方程，并列出初始条件；第二步：求微分方程的通解；第三步：利用初始条件，确定通解中的任意常数，从而解出微分方程的特解．【学生】理解微分方程的解的定义，掌握利用微分方程解决实际问题的大致步骤学习微分方程的解的相关知识。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验（10min）☞教师在文旌课堂APP或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生加入测试。【教师】从教材配套题库中选择几道题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂指导（10min）☞选出优秀学生带动、指导其他同学掌握知识点【教师】公布题目的正确答案，让答题快且正确的同学上台解答，为同学们做示范。如果题目比较难，无人答对则老师示范【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧以学生为主体，针对学生接受能力的差异性，让优秀学生带动其他学生掌握知识点课堂小结（3min）【教师】简要总结本节课的要点本节课上大家掌握了微分方程的定义，理解了微分方程的阶和解的概念，掌握了解微分方程的步骤，课后要多加练习，巩固认知【学生】总结回顾知识点【教师】布置课后作业：习题7-1总结知识点，巩固印象课后拓展【教师】在文旌课堂APP或其他学习平台上共享本节课知识相关的学习链接【学生】登录文旌课堂APP或