《高职应用数学》教案 第19课 曲率

第19课曲率课题曲率课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：1．理解曲率，掌握其计算公式2．理解曲率圆和曲率半径，掌握曲率圆和曲率半径在实际问题中的应用思政育人目标：通过用曲率解决实际问题，使学生体会到数学概念是源于实际生活的，数学与我们的生活是息息相关的；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神教学重难点教学重点：曲率及其计算公式、曲率圆与曲率半径教学难点：曲率圆和曲率半径在实际问题中的应用教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第一节课：课前任务→考勤（2min）→复习（10min）→讲授新课（18min）→课堂测验（7min）→课堂指导（8min）第二节课：讲授新课（20min）→课堂测验（10min）→互助指导（12min）→课堂小结（3min）→课后拓展教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课课前任务【教师】和学生负责人取得联系，布置课前任务，提醒同学做完作业，在指定时间内交齐【学生】做完作业，在指定时间内交齐【教师】通过文旌课堂APP或其他学习软件，布置课前问答题：（1）什么是曲率？如何计算曲率？（2）什么是曲率圆？什么是曲率半径？【学生】查找资料，预习教材通过课前的预热，让学生了解所学科目的大概方向，激发学生的学习欲望考勤（2min）【教师】清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况复习（10min）【教师】提前设计好上节课的复习题目，并针对学生存在的问题及时讲解【学生】做复习题目复习上节课所学内容，为讲授新课打好基础讲授新课（18min）【教师】引入课题——曲率的概念在实际中，有时需要研究曲线的弯曲程度．例如，为了保证列车行驶安全，在铁路线路的转弯处，往往需要接上一段逐渐改变方向的曲线线路，这种曲线称为缓和线．本节将对曲线的弯曲程度做定量分析，给出曲率的概念．【教师】从直观图形的角度讲解曲率，然后介绍曲率的计算公式，并通过例题介绍其应用曲率研究的是曲线的弯曲程度，如何衡量曲线的弯曲程度呢？如图4-11所示，设曲线是光滑的，在曲线上选定一点作为度量弧的基点，设在点处切线的倾斜角为，曲线上另外一点B处切线的倾斜角为．我们用比值（即单位弧段上切线转过的角度大小）来表达弧段的平均弯曲程度．记，称为弧段的平均曲率．记，称为曲线在点处的曲率．于是，在存在的条件下，有．此式说明曲线在点A处的曲率可表示为转角微分与弧微分之商，其中弧微分为．例如，设圆的半径为R（见图4-12），则圆的平均曲率．图4-11图4-12因为与点A的位置无关，所以点处的曲率为，即圆上任意一点处的曲率都是相等的，等于．可见，半径越小，弯曲程度越大，曲率越大，这与我们对圆的认识是一样的．设且具有二阶导数（这时连续，从而曲线是光滑的）．因为，所以，上式两边取微分得，于是．又知，从而得到曲率的计算公式，即．例1计算直线上任意一点的曲率．例1解由题意知，，，因此．（例2、例3详见教材）【学生】理解曲率，掌握其计算公式学习曲率，及其计算公式。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验（7min）☞教师在文旌课堂APP或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生加入测试。【教师】从教材配套题库中选择几道题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂指导（8min）☞选出优秀学生带动、指导其他同学掌握知识点【教师】公布题目的正确答案，让答题快且正确的同学上台解答，为同学们做示范。如果题目比较难，无人答对则老师示范【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧以学生为主体，针对学生接受能力的差异性，让优秀学生带动其他学生掌握知识点第二节课讲授新课（20min）【教师】讲解曲率圆与曲率半径，利用与现实相关的例题，让学生感受到学有所用如图4-13所示，设曲线在点处的曲率为()．在点处曲线的法线上，在凹的一侧取一点，使．以为圆心，为半径作圆，则这个圆称为曲线在点M处的曲率圆，曲率圆的圆心称为曲线在点处的曲率中心，曲率圆的半径称为曲线在点处的曲率半径．曲线在点处的曲率()与曲线在点处的曲率半径有如下关系：，．例4如图4-14所示，设工件表面的截线为抛物线．现要用砂轮磨削其内表面，问直径为多大时砂轮才比较合适？例4解由题意可知，砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径，于是有，，从而，，将其代入曲率公式，得．抛物线顶点处的曲率半径为=125，因此选用砂轮的半径不得超过1.25单位长，即直径不得超过2.50单位长．图4-13图4-14【学生】理解曲率圆与曲率半径，掌握其应用学习曲率圆和曲率半径的相关知识。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验（10min）☞教师在文旌课堂APP或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生加入测试。【教师】从教材配套题库中选择几道题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象互助指导（12min）☞选出优秀学生带动、指导其他同学掌握知识点【教师】公布题目的正确答案，每组指定一名答题准确率最高的同学，辅导本组的未答对同学掌握答题知识，实现组内互助【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧以学生为主体，针对学生接受能力的差异性，让优秀学生带动其他学生掌握知识点课堂小结（3min）【教师】简要总结本节课的要点本节课上大家理解了曲率，掌握了其计算公式，还理解了曲率圆和曲率半径，并掌握了曲率圆和曲率半径在实际问题中的应用，课后要多加练习，巩固认知【学生】总结回顾知识点【教师】布置课后作业：习题4-5总结知识点，巩固印象课后拓展【教师】在文旌课堂APP或其他学习平台上共享本节课知识相关的学习链接【学生】登录文旌课堂APP或其他学习平台查看