高二数学（空间向量的正交分解及其坐标表示）

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

1.平面向量基本定理是什么？

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.复习巩固2.平面向量的坐标表示的基本原理是什么？

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，若a＝xi＋yj，则把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).复习巩固

若将向量a的起点移到坐标原点，则其终点坐标就是向量a的坐标.复习巩固根据平面向量基本定理，平面内的任意一个向量p都可以用两个不共线的向量a，b来表示，我们设想将这个原理类推到空间，并建立空间向量基本定理及其坐标表示.引入课题空间向量正交分解及其坐标表示1、设a，b是空间不共线的两个向量，对于空间任意一个向量p，能否用向量a，b线性表示吗？OabP不能探求新知

2、设a，b，c是空间不共面的三个向量，作a，b，c，p，过点P作PM//CO，交平面AOB于点M，那么向量 能用向量，线性表示吗？OABCPM＝xa＋yb

探求新知

3、向量与向量的位置关系如何？向量用向量如何表示？OABCPM探求新知

4、向量与，有什么关系？向量与，，有什么关系？OABCPM探求新知5、上述分析表明什么结论？如何用适当的语言阐述？

若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.探求新知6、上述结论就是空间向量基本定理，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.那么空间任意三个向量都能构成一个基底吗？零向量能否作基向量？一个基底中的三个基向量是否要起点相同？探求新知7、以{a，b，c}为基底，空间所有向量组成的集合如何表示？{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}

8、对于基底{a，b，c}，设p＝xa＋yb＋zc，当x，y，z至少一个为0时，向量p的位置分别如何？探求新知9、若空间向量的一个基底中的三个基向量互相垂直，则称这个基底为正交基底，若三个基向量是互相垂直的单位向量，则称这个基底为单位正交基底，在哪些空间几何图形中能找到正交基底和单位正交基底？探求新知10、设e1，e2，e3为有公共起点O的单位正交基底，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.对于空间任意一个向量p，用基底{e1，e2，e3}可以怎样表示？xyzOe2e1e3pp＝xe1＋ye2＋ze3

探求新知11、若p＝xe1＋ye2＋ze3，则把x，y，z称为向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z).对一个给定的向量p，其坐标唯一吗？相等向量的坐标相等吗？xyzOe2e1e3p探求新知若向量p＝(x，y，z)，作 p，则点P的坐标是什么？(x，y，z)xyzOe2e1e3pp探求新知

例1如图，点M、N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量，，表示和.POABCMNQ典例讲评

例2在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是CD1，C1D1的中点，用基底 分别表示向量和.

BACDB1A1C1D1MN典例讲评1.空间向量基本定理表明，空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量线性表示，并且基向量的系数是惟一的，它是平面向量基本定理的推广，也是空间向量的合