专题3.1 解一元一次方程（压轴题专项讲练）2023-2024学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）（解析版）

第第页专题3.1解一元一次方程【典例1】我们把解相同的两个方程称为同解方程.例如：方程：2x=6与方程4x=12的解都为x=3，所以它们为同解方程.（1）若方程2x−3=11与关于x的方程4x+5=3k是同解方程，求k的值；（2）若关于的方程3x−2x−k3=4x（3）若关于x的方程2x−3a=b2和4x+a+b【思路点拨】（1）分别将两个关于x的方程解出来，根据同解方程的定义，列出等式，建立一个关于m的方程，然后解答；（2）分别将两个关于x的方程解出来，得到两个用含a的代数式表示的解，根据同解方程的定义，列出等式，建立一个关于a的方程，然后解答；（3）分别求出两个关于x的方程的解，根据同解方程的定义，列出关于a,b的等式，然后整体代入求值．【解题过程】解：（1）解方程2x−3=11得x=7，把x=7代入4x+5=3k得28+5=3k，解得k=11；（2）解关于x的方程3x−2x−k3=4x解关于x的方程3x+k12−1−5x8=1∵方程3x−2x−k∴2k7解得k=27(3)解关于x的方程2x−3a=b2得解关于x的方程4x+a+b2=3∵2x−3a=b2和∴3−b∴3b∴14a2+6a1．（2023秋·全国·七年级课堂例题）解下列方程：（1）2+x=−5x−1（2）33x−2（3）3x−7x−1（4）45（5）61（6）34【思路点拨】（1）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．（2）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．（3）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．（4）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．（5）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．（6）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．【解题过程】（1）解：2+x=−5x−1去括号得：2+x=−5x+5，移项得：x+5x=5−2，合并得：6x=3，解得：x=1（2）33x−2去括号得：9x−6=4+4x，移项得：9x−4x=4+6，合并得：5x=10，解得：x=2；（3）3x−7去括号得：3x−7x+7=3−2x−6，移项得：3x−7x+2x=3−6−7，合并得：−2x=−10，解得：x=5；（4）45去括号得：x−8=5x−3，移项得：x−5x=−3+8，合并得：−4x=5，解得：x=−5（5）61去括号得：2x−24−5x=3−2x+4，移项得：2x−5x+2x=3+4+24，合并得：−x=31，解得：x=−31；（6）34去括号得：12移项得：x=−712．（2023·全国·七年级专题练习）解方程：（1）y−1（2）2x−1（3）x−3【思路点拨】（1）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．（3）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．【解题过程】（1）解：y−1去分母得，3去括号得，3y−3+10y−10=24−20y−16移项，合并同类项得，33y=21系数化为1得，y=7（2）解：2x−1去分母得，2去括号得，4x−2−10x−1=6x+3−12移项，合并同类项得，−12x=−6系数化为1得，x=1（3）解：x−3去分母得，15去括号得，15x−45+40x+60=10x+50−12x+48移项，合并同类项得，57x=83系数化为1得，x=833．（2023·全国·七年级专题练习）解方程：（1）13（2）0.2x+0.10.3（3）1.5x−13（4）x−2【思路点拨】（1）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；（3）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；（4）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．【解题过程】（1）解：1去分母得，x−去分母得，2x−去括号得，2x−5+x+2=6x−12移项，合并同类项得，−3x=−9系数化为1得，x=3；（2）解：0.2x+0.1整理得，2x+1去分母得，2去括号得，4x+2−x+1=12移项，合并同类项得，3x=9系数化为1得，x=3；（3）解：1.5x−1去分母得，2去括号得，3x−2−10x=3移项，合并同类项得，−7x=5系数化为1得，x=−5（4）解：x−2去分母得，3x−6去括号得，3x−6x+3x−3=2x+2移项，合并同类项得，−2x=5系数化为1得，x=−54．（2023秋·七年级课时练习）解方程：（1）0.4x−2.10.5（2）4−6x0.01【思路点拨】（1）先根据分数的性质，将方程化简，再按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤求解即可；（2）先将方程化为4−6x0.01【解题过程】（1）解：0.4x−2.10.5原方程可化为4x−215去分母，得34x−21去括号，得12x−63=50+100x−9，移项，得12x−100x=50−9+63，合并同类项，得−88x=104，系数化为1，得x=−13（2）解：4−6x原方程可化为4−6x0.01去分母，得4−6x=0.01−x−0.01，移项、合并同类项，得5x=4，化系数为1，得：x=45．（2023·浙江宁波·七年级校考竞赛）解方程，（1）0.1x+0.03（2）2014−x【思路点拨】（1）首先把分子和分母中的小数化为整数，然后按照去分母、去括号、合并同类项、移项、系数化为1的步骤解方程即可；（2）先变形为1+1−x2013+1+【解题过程】解：（1）方程0.1x+0.030.2−0.2x−0.03去分母得3(10x+3)−2(20x−3)+45=0，去括号合并同类项得-10x+60=0,移项得-10x=-60,系数化为1得x=6.（2）方程2014−x2013+2016−x∴1−x∴(1−x)(∴1−x=0，∴x=1.6．（2022秋·北京·七年级校考阶段练习）解方程（1）2（2）ax=b+2(a≠0)（3）0.4x+0.9（4）2x+1（5）2x+1（6）x=b+【思路点拨】（1）根据解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，化未知数系数为1，求解即可；（2）根据解一元一次方程的步骤：化未知数系数为1，求解即可；（3）根据解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，化未知数系数为1，求解即可；（4）根据零点分段法，对x的取值范围分3种情况进行讨论去绝对值，再依据解一元一次方程的步骤即可求解；（5）根据零点分段法，对x的取值范围分2种情况进行讨论去绝对值，再依据解一元一次方程的步骤即可求解；（6）根据解一元一次方程的步骤：移项，合并同类项，化未知数系数为1，求解即可．【解题过程】（1）解：2去括号得：4x−2−8x−6=7移项得：4x−8x=7+2+6合并同类项得：−4x=15化未知数的系数为1：x=−15（2）解：ax=b+2化未知数的系数为1：x=b+2（3）解：0.4x+0.9去分母得：30(0.4x+0.9)=50(0.2x+0.3)+15去括号得：12x+27=10x+15+15移项得：12x−10x=30−27合并同类项得：2x=3化未知数的系数为1：x=3（4）解：2x+1令2x+1=0或x−1=0时，则x=−12或当x≤−1−(2x+1)−(x−1)=4−2x−1−x+1=4−3x=4x=−4当−12x+1−(x−1)=42x+1−x+1=4x+2=4x=2；（舍去）当x>1时，2x+1+x−1=43x=4x=4（5）解：2x+1令2x+1=0，则x=−1当x≤−1−(2x+1)=3x−4−2x−1=3x−4−2x−3x=−4+1−5x=−3x=3当x>−12x+1=3x−42x−3x=−4−1−x=−5x=5；（6）解：x=b+x−a−bx=b×x=ab7．（2022秋·全国·七年级专题练习）讨论方程||x+3|−2|=k的解的情况．【思路点拨】分k<0，0<k<2，k=2，k>2四种情况解析：当k<0时，原方程无解；当k=0时，原方程为|x+3|−2=0，解为x=−1，或x=−5；当0<k<2时，原方程为|x+3|=2±k，有四个解x=k−1，或x=−k−5，或x=−k−1，或x=k−5；当k=2时，原方程为：|x+3|=2±2，有三个解x=1，或x=−7，或x=−3；当k>2时，原方程为：x+3=±(2+k)，有两个解x=k−1【解题过程】解：当k<0，原方程无解；当k=0时，原方程可化为：|x+3|−2=0，解得x=−1当0<k<2，此时原方程可化为：|x+3|=2±k，此时原方程有四解：x=−3±(2±k)，即：x=k−1，或x=−k−5，或x=−k−1，或x=k−5；当k=2时，原方程可化为：|x+3|=2±2，此时原方程有三解：x=1，或x=−7，或x=−3；当k>2时，原方程有可化为：x+3=±(2+k)，此时原方程有二解：x=−3±(2+k)，即x=k−1，或x=−k−5．8．（2022秋·七年级课时练习）当整数k为何值时，方程9x−3=kx+15有正整数解．求出这些解．【思路点拨】先求出方程9x−3=kx+15的解，再根据正整数的特性进行分析即可得．【解题过程】解：9x−3=kx+15，9−kx=18因为方程9x−3=kx+15有正整数解，所以9−k≠0，即k≠9，所以x=18要使方程9x−3=kx+15有正整数解，则189−k因此，k的所有可能取值为8,7,6,3,0,−9，当k=8时，方程的正整数解为x=18当k=7时，方程的正整数解为x=18当k=6时，方程的正整数解为x=18当k=3时，方程的正整数解为x=18当k=0时方程的正整数解为x=18当k=−9时，方程的正整数解为x=189．（2022秋·七年级课时练习）已知a，b为实数，关于x的方程a−1x|a|−b【思路点拨】先根据一元一次方程的定义求出a、b的值，代入可求得a+b的值，然后根据解一元一次方程的一般步骤进行求解即可.【解题过程】解：∵关于x的方程a−1x∴分以下三种情况进行，①|a|=0且x≠0，b=0，∴a=0，b=0，此时a+b=0，方程为-1+3x-2=0，3x=3，解得：x=1，符合题意，②|a|=1且a-1+3≠0，b=0，∴a=±1，b=0，当a=1，b=0时，此时a+b=1，方程为3x-2=0，移项得，3x=2，解得：x=23当a=-1，b=0时，此时a+b=-1，方程为-2x+3x-2=0，移项合并得，x=2；③|a|=2且a-1-b=0，∴a=2，b=1或a=-2，b=-3，当a=2，b=1时，此时a+b=3，方程为3x-2=0，移项得，3x=2，解得：x=23当a=-2，b=-3时，此时a+b=-5，方程为3x-2=0，移项得，3x=2，解得：x=23综上a+b的值为0或1或-1或3或-5，相对应的方程的解为x=1或x=23或x=2或x=23或x=10．（2022秋·北京海淀·七年级首都师范大学附属中学校考阶段练习）已知关于x的方程x+a9（1）若方程与关于x的方程2x−2x−a（2）若方程的解是正整数，直接写出正整数a的值是____________．【思路点拨】（1）分别解两个方程，根据方程的解相同，列式计算即可；（2）用含a的代数式表示出方程的解，根据方程的解是正整数，确定a的值即可．【解题过程】（1）解：x+a方程两边同乘18，得，2x+a去括号，得：2x+2a−3+3x=18，移项，合并同类项，得：5x=21−2a，系数化1，得：x=21−2a2x−2去小括号，得：2x−2x+去中括号，得：2x−4x+a=3x，移项，合并同类项，得：5x=a，系数化1，得：x=a∵两个方程的解相同，∴a5解得：a=7；（2）解：由（1）知：x=21−2a∵方程的解是正整数，∴21−2a能被5整除，又∵a为正整数，∴21−2a=5或21−2a=15，解得：a=8或a=3；故答案为：3或8．11．（2022秋·北京西城·七年级北师大实验中学校考期中）我们规定一种运算acbd=ad−cb，如（1）计算−34（2）若23−2x−5x（3）若8mx−132−83+2x−3【思路点拨】（1）根据题意列出算式−3×5−4×(−2)，计算可得；（2）根据新定义列出关于x的方程，解方程即可得；（3）根据新定义列出关于m，n的方程，再根据二者的值相等解之即可．【解题过程】（1）根据题意，−34故答案为：−7；（2）∵23∴−10x−−6x解得：x=−1（3）8mx−136−n根据题意可得：−24mx−3x+7=6x−n，即(−24m−3)x+7=6x−n，∴−24m−3=6,7=−n，∴m=−312．（2023秋·湖南·七年级校考期末）在学习一元一次方程后，我们给一个定义：若x0是关于x的一元一次方程ax+b=0a≠0的解，y0是关于y的方程的所有解的其中一个解，且x0，y0满足x0+y0=99，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“久久方程”．例如：一元一次方程3x−2x−98=0的解是x0=98，方程y+1=2（1）已知关于y的方程：①2y−2=4，②y=2，其中哪个方程是一元一次方程3（2）若关于y的方程2y−2+2=4是关于x的一元一次方程x−3x−2a4（3）若关于y的方程ay−49+a+b=ay+650是关于x【思路点拨】（1）分别求出三个方程的解，再验证即可；（2）先解方程2y−2+2=4，求得y=0或y=2，再求出关于x的方程的解，根据题意可分别求得a（3）由ax+50b=55a及x+y=99，可求得y=44+50ba，代入ay−49+a+b=a【解题过程】（1）解：解2y−2=4得：y=3；解y=2得，y=±2；解3x−1=2x+98得：x=101，而101+(−2)=99，所以y故答案为：②；（2）解：∵2y−2+2=4∴2y−2=2即2y−2=2或2y−2=−2，解得：y=0或y=2；对于x−3x−2a4=a+去括号、移项、合并同类项得：x=2a+3；由题意，当y=0时，2a+3+0=99，解得：a=48；当y=2时，2a+3+2=99，解得：a=47；

所以a=48或47；（3）解：由题意，x+y=99，即ax+ay=99a由ax+50b=55a得：ax=55a−50b，所以55a−50b+ay=99a，则y=44+50b把上式代入ay−49+a+b=a即a50b−5a∴50b−5a=0，∴a=10b，∴a+bb13．（2022秋·湖南湘西·七年级统考阶段练习）定义：若整数k的值使关于x的方程x+42+1=kx的解为整数，则称（1）判断当k=1时是否为方程x+42（2）方程x+42【思路点拨】（1）把k=1代入x+42+1=kx，解方程得（2）解关于x方程x+42+1=kx得x=62k−1，得到当2k−1=±1，2k−1=±2，2k−1=±3，2k−1=±6时，满足方程的解x为整数，求出k的值为：1，0，32，−12【解题过程】（1）解：当k=1时，原方程化为：x+42整理得：x+6=2x，解得：x=6，即当k=1时，方程的解为整数．根据新定义可得：k=1是方程x+42（2）解：x+42去分母得：x+4+2=2kx，整理得：2k−1x=6方程的解为：x=6当2k−1=±1，2k−1=±2，2k−1=±3，2k−1=±6时，满足方程的解x为整数，此时k的值为：1，0，32，−12，2，-1，7经检验，取上述k的值，2k−1均不为0，其中k为整数才称为“友好系数”，所以k的值为：1，0，2，-1．所以方程x+42分别为1，0，2，-1．14．（2022秋·湖南长沙·七年级校考阶段练习）如果两个方程的解相差a，a为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“a−稻香方程”，例如：方程x−2=0是方程x+3=0的“5−稻香方程”．（1）若方程2x=5x−12是方程3x−1=x+1的“a−稻香方程”，则（2）若关于x的方程x−x−2m3=n−1是关于x的方程2x−2mn−m=3n−3的“m−（3）当a≠0时，如果关于x方程ax+b=1是方程ax+c−1=0的“3−稻香方程”，求代数式6a+2b−2c+3【思路点拨】（1）先分别解方程2x=5x−12得x=4，解方程3x−1=x+1得x=2，再根据“（2）解关于x方程x−x−2m3=n−1得x=3n−3−2m2，解关于x的方程2x−2mn−m=3n−3得x=（3）关于x方程ax+b=1的解是x=1−ba，关于x方程ax+c−1=0的解是x=1−ca，根据题意得到1−ba【解题过程】（1）解：解方程2x=5x−12得x=4，解方程3x−1=x+1得因为方程2x=5x−12是方程3x−1=x+1的“所以a=4−2=2．故答案为：2；（2）解：解关于x方程x−x−2m3=n−1解关于x的方程2x−2mn−m=3n−3得关于x的方程x−x−2m3=n−1是关于x的方程2x−2mn−m=3n−3所以3n−3−2m2整理得−4mn=5m，因为m>0，所以−4n=5，n=−5（3）解：因为a≠0，所以关于x方程ax+b=1的解是x=1−ba，关于x方程ax+c−1=0的解是因为关于x方程ax+b=1是方程ax+c−1=0的“3−稻香方程”，所以1−ba整理得3a+b=c，所以6a+2b−2c+315．（2023春·福建泉州·七年级统考期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x=8和x+1=0为“美好方程”．（1）若关于x的方程3x+m=0与方程4x−2=x+10是“美好方程”，求m的值；（2）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；（3）若关于x的一元一次方程12023x+3=2x+k和12023x+1=0是“美好方程”，求关于【思路点拨】（1）先表示两个方程的解，再求解；（2）根据条件建立关于n的方程，再求解；（3）由题意，可求出12023x+3=2x+k的解为x=1−−2023=2024，再将12023【解题过程】（1）解：∵3x+m=0，∴x=−m∵4x−2=x+10．∴x=4．∵关于x的方程3x+m=0与方程4x−2=x+10是“美好方程”，∴−m∴m=9；（2）解：∵“美好方程”的两个解的和为1，∴另一个方程的解为：1−n．∵两个解的差为8，∴1−n−n=8或n−(1−n)=8．∴n=−72或（3）解：∵12023x+1=0．∵关于x的一元一次方程12023x+3=2x+k和∴关于x的一元一次方程12023x+3=2x+k的解为关于y的一元一次方程12023y+1+3=2y+k+2∴y+1=x=2024．∴y=2023．16．（2022秋·浙江金华·七年级校考阶段练习）我们规定：若关于x的一元一次方程ax=b的解为x=b+a，则称该方程为“和解方程”．例如：方程2x=−4的解为x=−2，而−2=−4+2，则方程2x=−4为“和解方程”．请根据上述规定解答下列问题：（1）下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的有．①12x=−12；②（2）已知关于x的一元一次方程2x+2=−m是“和解方程”，求（3）若关于x的一元一次方程3x=mn+m和−3x=mn+n都是“和解方程”，求代数式5−4m+4n的值．【思路点拨】（1）求出方程的解，再根据和解方程的意义得出即可；（2）先解方程得出方程的解，再根据和解方程的含义建立方程即可求得答案；（3）根据和解方程得出方程的解与m−n=−9【解题过程】（1）解：①12x＝−1∵−1≠1∴①不是“和解方程”；②−3x=94的解是∵−3∴②是“和解方程”；③5x=−2的解是x=−2∵−2∴③不是“和解方程”；故答案为：②．（2）∵2x+2∴x+2=−m∴x=−m∵2x+2=−m即∴2−4−m=−m∴m=0；（3）∵3x=mn+m，∴x=1而3x=mn+m是“和解方程”，∴3+mn+m=1∴mn+m=−9∵−3x=mn+n，∴x=−1而−3x=mn+n是“和解方程”，∴−3+mn+n=−1∴mn+n=9由①-②得：m−n=−9∴5−4m+4n=5−4m−n=5−4×−=5+27=32．17．（2022秋·全国·七年级期末）小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若x0是关于x的一元一次方程ax+b=0(a≠0)的解，y0是关于y的方程的所有解的其中一个解，且x0,y0满足x0+y0=100，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程3x−2x−99=0的解是x0=99，方程y（1）已知关于的方程：①2y−2=4，②|y|=2，哪个方程是一元一次方程3x−2x−102=0的“友好方程”？请直接写出正确的序号是_________．（2）若关于y的方程|2y−2|+3=5是关于x的一元一次方程x−2x−2a3=a+1（3）如关于y的方程2m|y−49|+m(y−1)45=m+n是关于x的一元一次方程mx+45n=54m【思路点拨】（1）先求出一元一次方程3x−2x−102=0的解，再解方程2y−2=4和|y|=2，根据“友好方程”