2023年11月景德镇市2024届高三第一次质量检测试题数学试卷（含答案）

景德镇市2024届高三第一次质检试题数学 2023.11本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x∈Z|2x²-x-15≤0},B={y|y=sinx},则A∩B=()A.{x|-1≤x≤1}B.x|-52≤x≤32.已知z=1+3i1+i,则z在复平面内对应的点在第A.四B.三C.二D.一3.a>1且b>1是a+b>2的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.人们把蜂房誉为自然界最奇异的建筑，蜂房是由许许多多的正六棱柱组成，一个挨着一个，紧密地排列，没有一点空隙.人们一直疑问，蜜蜂为什么不让其巢室呈三角形、正方形或其他形状呢?虽然蜂窝是一个三维体建筑，但每一个蜂巢都是六面柱体，而蜂蜡墙的总面积仅与蜂巢的截面有关.由此引出一个数学问题，即寻找面积圾大、周长最小的平面图形.1943年，匈牙利数学家陶斯(LaszloFejesToth)证明了，在所有首尾相连的正多边形中，正六边形的周长是最小的.1999年，黑尔斯证明了周边是曲线时，无论曲线是向外凸还是向内凹，由正六边形组成的图形周长都是最小的.如图是一个边长为2的正六边形ABCDEF，则ABA.4BC.425.设a=3ˣ,b=π°,c=eˣ(e为自然对数底数),则a,b,c大小关系为()A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a高三数学第1页共6页6.对某位运动员近5次比赛成绩统计如下表：比赛次数x12345得分y3940484850根据表可得y关于x的线性回归方程为：y=3x+a，则下列说法不正确的是()A.a=36B.y与x的相关系数r>0C.得分y的方差为22.8D.预测第6次比赛成绩约为547.已知抛物线C:y²=2x的焦点为F，准线为l，过F的直线交抛物线C于A，B两点，.AF的中垂线分别交l与x轴于D，E两点(D，E在AB的两侧).若四边形ADFE为菱形，A.163B.83C.8.数列aₙ前n项和为Sn，且满足：∀n∈NA.a2=2B.C.∀n∈N`,使得Sₙ≥n+1D.∃二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知点P在圆(O:x²+y²=5上,点M(3,0),N(0,3).则A.直线MN与圆O相切B.直线MN与圆O相交，且相交所得弦长为2C.存在点P,使得∠MNP=90°D.存在点P,使得∠MPN=90°高三数学第2页共6页10.已知向量a=sinα12A.若a⊥b,αB.若a⋅b=13C.若ab,αD.若|a|>|b|,α11.如图,正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E，F，G，A.若四边形EFGH为矩形,则DH=CGB.若四边形EFGH为菱形,则E,G或F,H为所在棱中点C.若四边形EFGH为菱形，则四边形EFGH的周长取值范围为8D.当且仅当E，F，G，H均为所在棱中点时，四边形EFGH为正方形12.已知fx=1xlnA.函数f(x)有两个零点B.函数f(x)在1eC.函数f(x)无最大值和最小值D.当a=3-e或a>3时,关于x的方程.fx=a！有且仅有高三数学第3页共6页第Ⅱ卷(非选择题)三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.二项式2x2+1x14.函数fx=1-x1+15.已知曲线f(x)=sinωx(ω>0)向右平移2π3个单位后得到的曲线对应的函数为g(x)，若g(x)为偶函数，且在π256π16.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1的左右焦点分别为F₁，F₂，点P是C的右支上一点，PF₁⊥PF₂,PF₁交y轴于Q,|OF四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)记Sn为数列aₙ的前n项和,n≥2时,满足,(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn.18.(12分)如图,已知△ABD的重心为C,△ABC三内角A、B、C的对边分别为a,b,c.且cos2(1)求∠ACB的大小;(2)若∠CAB=π6,求高三数学第4页共6页19.(12分)如图,三棱锥P-ABC中,△PAB与△PAC均为等边三角形，∠BAC=90°,M为(1)求证:PA2MN=1220.(12分)某娱乐节目闯关游戏共有三关，游戏规则如下，选手依次参加第一，二，三关，闯关成功可获得的奖金分别为1000元、2000元、3000元.奖金可累加，若某关闯关成功，选手可以选择结束闯关游戏并获得相应奖金，也可以选择继续闯关，若有任何一关闯关失败，则连同前面所得奖金全部归零，闯关游戏结束.选手小刘参加闯关游戏，已知他第一，二，三关闯关成功的概率分别为45,34,23(1)求小刘第一关闯关成功，但所得总奖金为零的概率；(2)设小刘所得奖金为X，求随机变量X的分布列及数学期望。高三数学第5页共6页2024届高中数学高三一检参考答案一、选择题123456A89101112CAB7BCBDBCDBDBCDACD1.C【解析】A={-2,-1,0,1,2,3},B=[-1,1],所以A∩B={-1,0,1},故选C.2.A【解析】z=1+3i1+i=2+3.B【解析】a>1且b>1,则a+b>2;反之,a=3,b=0,满足a+b>2,但不能推出a>1且b>1,所以a>1且b>1是a+b>2的充分不必要条件,故选B.4.A【解析】AD在AB方向上的投影数量为2，所以AB⋅AD=2×2=4,5.B【解析】设fx=lnxx,f'x=1-lnxx2,∴f(x);在(e,+∞)单减,6.C【解析】∴∴a=45-3×3=36,所以A正确,因为y与x成正相关,所以B正确,代入x=6得y=54,所以D正确,因为方差s2=1539-457.B【解析】∵四边形ADFE是菱形∴∠1=∠2=∠3∠4=∠5,由抛物线的性质可知AD=AF∴∠2=∠4∴∠1=∠2=∠5∵∠1+∠2+∠5=180°∴∠1=60∘∴|AB|=8.D【解析】由a1=S1S1-1知,a₁=2,由由an=S所以an+1-an=1Sn+1-1an=SnSn-1>1,则n+1an+1-nan=n+1Sn+1Sn+19.BCD【解析】MN的方程为x+y=3,O到MN距离为3MN与圆O相交，弦长为25-322=2故过N作圆O的切线，位于第二象限的切点为Asin∠ANO=53>22∴∠ANO若∠MPN=90°,则P在以MN为直径的圆.x²+y圆x²+y²-3x-3y=0与圆x²+y²=510.BD【解析】若a⊥b,∵α∈0π∴α+若a⋅b=1sin2α+5π6=sin2α+π∵α∈[0,π]∴2α∈[0,2π]得2α=π3,23π∴α=若|a|>|b|则∵α∈[0,π]∴2α∈[0,2π]∴2α∈2π34π311.BCD【解析】若为矩形,还可以DH=AE,故A错误,若为菱形,则邻边相等,对角线互相垂直，可得B正确，EH最小为2，最大为5,所以C正确，综合矩形和菱形条件得D12.ACD【解析】f'x=-lnx+1xlnx2,∴f(x)在二、填空题13.60【解析】常数项为C14.x-2y-1=0【解析】f'x=-15.ω=【解析】gx=sinωx-2ω3π由g(x)…T/2=π/0=56π-π/2∴0<ω≤3∴ω∴ω=916.【解析】在Rt△OQF₁中sin在Rt△PF₁F₂中||∴2故双曲线的渐近线方程为y三、解答题17.(1)n≥2时,Sₙ₋₁=aₙ,S(2)n≥2时,Sₙ=aₙ₊₁,又18.解:(1)∵cos242=¹+cosA=b+c(∴b2+c2-a(2)在Rt△ABC中∠CAB=π延长DC交AB于E,延长BC交AD于F∴在Rt△ACF中AF在△ACD中CDsin∠DAC=19.解析:连接AM,PM,∵△PAB与△PAC均为等边三角形,∴AC=AB,PC=PB∴AM⊥BC,PM⊥BC∴BC⊥平面PAM∴PA⊥BC得证;(2)设AB=a,由(1)可知:AM=PMA∴AB=-22a22a0BP=0-22a22a,设平面ABPm⋅AB=-22同理可得：平面NBP的一个法向量为：n贝cos又二面角A-PB-N的平面角为钝角，所以二面角A-PB-N的余弦值为-20.解析:1(1)X=0,1000,3000,6000PPPPX0100030006000P⁴⁶/125所以EX=1544,21.解:(1)设M(x∴b2a2=34曲线C的方程为x(2)设PB,AQ的斜率分别为k₃,k₄易知k1k3AT的方程为y=k₄x+2,:y=y|AT||AQ|222.(1)由题意可知g则g'令g'(x)>0,又x∈0π2,则则g(x)在0π3单调递增，在π3,π综上所述：函数g(x)=f(x)+sinx值域为0(2)由fxx>3cosh则hcircle1a=1,h②若a=2,h(x)=sinx+sin2x-3xcosx,h'(x)=2cos2x