非线性交调的频率设计

非线性交调的频率设计班级：12数学师范一班姓名：杨东云201215010144杜秉琨201215010130浦倩201215010139摘要本题讨论了题目给出的一类非线性交调的频率设计问题，故而先根据题中数据，利用MATLAB进行四次多项式拟合得到了一组输入与输出之间的关系式，注意到u4(t)的系数非常小，为此我们用三次多项式进行拟合，根据四次多项式和三次多项式拟合平方误差的大小比较，得到的输入与输出之间的关系为最终输入输出关系式，根据得到的关系式，结合题中条件得到了求解交调的模型，对模型进行求解，得到了六组满足条件的频率（36，42，54）（36，42，55）（36，48，54）（36，49，55）（37，43，55）（37，49，55）然后对于满足频率约束的6组配置分别计算各有关信噪比SNR,并检验是否大于10dB。经计算满足条件的只有2组，即（36，42，55）和（36，49，55），各SNR都大于10dB。最后我们对本题建立的模型的稳定性进行了验证和分析，证明了模型具有较高的稳定性。总体上来说本文建立的是一个准确的，具有较高的稳定性的模型。关键字：多项式拟合MATLAB稳定输入频率的微小波动问题重述在通信系统中，信号的可靠性至关重要。信号在传输过程中，往往遇到噪声干扰，干扰可能来自于系统的外部，也可能来自于系统的自身。如果一非线性器件的输入与输出的关系为（其中是时间），那么当输入是包含的信号时，输出中不仅包含输入信号，还包含等新的频率成分，这些新的频率成分称为交调。如果交调出现在原有频率f1、f2附近，就会形成噪声干扰。因此，在工程设计中对交调的出现有一定要求，即需要对输入信号的频率进行适当的选择，以避免交调形成噪声干扰。对于一非线性系统，输入信号，其中是输入信号振幅，对的要求为：1）。2）输出中的交调均不得出现在的范围内（），此范围称为的接收带，若交调出现在得范围之外，其影响可忽略不计。经整理可发现频率成分有以下几种：（1）1阶：f1，f2，f3；（2）2阶：fi+fj(i≠j)；（3）3阶：2fi+fj，fi+fj+fk(i≠j≠k)；又已知条件则：这说明2阶交调均在fi的接受带之外，所以不必考虑。类似的原因，也不需要考虑fi+fj+fk和2fi+fj两种类型的三阶交调。因而只需考虑（在fi不出现fj的接受带内条件下）：d(k，j)=2fk-fj，g(k，j，l)=fk+fj-fl，l≠j≠k.满足|d(k，j)-fj|≧6及|g(k，j，l)-fj|≧6即可，由此可以选出满足频率约束条件的有6组解：（36，42，54）（36，42，55）（36，48，54）（36，49，55）（37，43，55）（37，49，55）3.关于信噪比SNR的计算根据实际问题的需要，如果交调出现在fi6的接受带内，则要求相应的信噪比SNR>10dB，因而以上六组频率不一定满足信噪比的要求。为此我们要计算输出种对应频率fi的系数和各类交调2fi-fj，fi+fj-fk的系数。首先，将代入输入输出关系即：即：其中为研究方便，我们令根据前面的分析，y2中各频率成分对本问题无影响，因此可以不予考虑；y3中的频率成分比较复杂，其展开式中既可能出现单频j，也可能出现2θk-θj，θi+θj-θk(i≠j≠k),为了分析更具一般性，我们采用傅里叶分析方法：显然，y3是θ1，θ2，θ3的函数，且以2π为周期，因而将y3表示为ki为整数（1）其中：y3对应于类型的是对应于输出频率f1的成分，即对应于并且：的系数为：（2）y3中对应于并且：是可能进入接受带的交调，包括2θk-θj，θk+θj-θs类型。以C1,0,0为例同理：所以两项合并对应于cosθ1的系数由y(t)表达式得：类似可求：对应于cos(2θ1-θ2)的系数对应于cos(θ1+θ2-θ3)的系数y(t)表达式中所需考虑的频率振幅分别为:（1）含频率fi的振幅：（2）含频率2fi-fj的振幅：（4）频率设计对于2中满足频率约束的6组配置分别计算各有关信噪比SNR,并检验是否大于10dB。经计算满足条件的只有2组，即（36，42，55）和（36，49，55），各SNR都大于10dB。六．模型的稳定性分析和检验6.1函数系数的稳定性分析这里我们讨论拟合多项式系数的波动对解的影响，共有6组解满足频率约束条件，其中4组不满足信噪比条件，2组满足，即我们要确定系数的变化范围，是解的还是非解。经过计算得到以下3组不等式组：设另有一个拟合多项式：与上述方法相同，可得到含频率fi的振幅：（2）含频率2fi-fj的振幅：（3）含频率fi+fj-fk的振幅：计算有关信噪比，并使(36，42，55)和(36，49，55)仍为解，而其它还不是解，于是得到下列不等式：下式中有一个成立，解解述不等式，即可得到多项式系数的变化范围。当系数在此范围变化时，我们的结果是稳定的。6.2关于输出中的最高次不影响结果的分析在本题中之涉及二、三阶交调，高于4次的函数也肯能产生这种交调，但是由于高于4次项的系数非常小，所以对某个项进行讨论，高于4次项输出函数所产生交调的振幅，相对于3次多项式输出函数所产生交调的振幅很小,即对频率的选择无影响。6.3输入的微小波动不影响稳定性在本题中，我们所得到的输入频率的解都是正整数解,但应考虑到，在实际问题问题中，由于系统的误差极偶然误差，很可能使输入频率发生微小变化，但这些微小变化对结果没影响，即我们得到的这组解释稳定的。七.模型的优缺点分析7.1模型的优点=1\*alphabetica.通用性强，适用于不同精度要求的求解；模型化程度高，易于推广；=2\*alphabeticb.稳定性强，所得结果不因未知因素而产生较大范围的变化，抗波动能力较强；=3\*alphabeticc.模型的程序化程度较高，大大的提高了模型的效率，为模型求解节省了大量的时间；=4\*alphabeticd.理论性强，具有一定的研究价值。7.2模型的缺点模型在求解时，由于引入了大量的数学理论，所以求解理论性较强，不易于理解。八．参考文献[1]数学建模算法与程序司守奎[2]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第三版）[3]赵静，但琦主编.数学建模与数学实验（第三版）[4]赵新芬编著.MATLAB数学建模与仿真[5]MATLAB教程张志涌九．附录:1.确定输入与输出