广东省深圳市2015届高三第二次调研考试数学理试题（扫描版）

2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题，满分40分．题号12345678答案CDAABBCC二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．题号9101112131415答案1323016．（本小题满分12分）解：（1）因为，所以可设，，，…………2分由余弦定理得，…………3分．………………4分（2）由（1）知，，因为是△的内角，所以．………………………6分由（1）知，，因为△的面积为，所以，……………8分即，解得．…………………………10分由正弦定理，即，…………………11分解得．所以△外接圆半径的大小为．…………………12分17．（本小题满分12分）解：（1）根据频率直方分布图，解得．……………1分第3组人数为，所以．…………………2分第1组人数为，所以．……………3分第4组人数为，所以．……………4分（2）因为第3，4组答对全卷的人的比为，所以第3，4组应依次抽取2人，4人.…………………5分依题意的取值为0，1，2．……………6分，…………………7分，………………8分，………………9分所以的分布列为：01………10分………10分所以．………………12分18．（本小题满分14分）第（1）问用几何法，第（2）问用向量法：C1ABA1B1D1CDC1ABA1B1D1CDMNEFE1F1在四边形中，且，在四边形中，且，所以且，所以四边形是平行四边形．所以．………………2分在△中，，，所以，所以．…………………………4分所以．C1ABA1B1D1CDC1ABA1B1D1CDMNEFE1F1（2）解：以点为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图的空间直角坐标系，则，，，，，…………8分则，，．……………………10分设是平面的法向量，则即取，则，．所以是平面的一个法向量．………………12分设直线与平面所成的角为，则．故直线与平面所成角的正弦值为．………………14分第（1）（2）问均用向量法：（1）证明：以点为坐标原点，，，所在的直线C1ABA1B1C1ABA1B1D1CDMNEFE1F1则，，，，，，……………2分所以，．………………3分因为，且与不重合，所以．…………5分所以，，，四点共面．………………………6分（2）解：由（1）知，，．………………10分（特别说明：由于给分板（1）6分（2）8分，相当于把（1）中建系与写点坐标只给2分在此加2分）设是平面的法向量，则即取，则，．所以是平面的一个法向量．………………12分设直线与平面所成的角为，则．故直线与平面所成角的正弦值为．………………14分第（1）（2）问均用几何法：（1）证明：连接，，，，在四边形中，且，在四边形中，且，C1ABA1C1ABA1B1D1CDMNEFE1F1所以四边形是平行四边形．所以．………………2分在△中，，，所以，所以．…………………………4分所以．所以，，，四点共面．………………………6分（2）连接，因为，所以直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角．…7分连接，设点到平面的距离为，直线与平面所成的角为，则．……………8分因为，即．…………9分在边长为3的正六边形中，，，在△中，，，，由余弦定理可得，．在△中，，，所以．在△中，，，所以．在△中，，，，由余弦定理可得，，所以．所以．…………………11分又，……………12分所以．…………13分所以．故直线与平面所成角的正弦值为．………………14分19．（本小题满分14分）（1）解：因为是直线：与轴的交点，所以，．……………………2分因为数列是公差为1的等差数列，所以．……………4分因为点在直线：上，所以．所以数列，的通项公式分别为，．………6分（2）证明：因为，，所以．所以．………………………7分所以．……8分因为，……………10分所以，当时，……………11分………………………12分．又当时，．………………………13分所以．……………14分20．（本小题满分14分）解：（1）方法一：设圆的方程为：，………1分因为圆过点和，所以………………3分解得，．所以圆的方程为．…………………4分方法二：设，，依题意得，圆的圆心为线段的垂直平分线与轴的交点．………………1分因为直线的方程为，即，……………………2分所以圆心的坐标为．…………3分所以圆的方程为．…………………4分（2）方法一：设圆上的动点的坐标为，则，即，解得．…………………………5分由圆与圆的方程可知，过点向圆所作两条切线的斜率必存在，设的方程为：，则点的坐标为，同理可得点的坐标为，所以，因为，是圆的切线，所以，满足，即，是方程的两根，………………7分即所以……………9分因为，所以．…………10分设，则．………………11分由，可知在上是增函数，在上是减函数，……12分所以，，所以的取值范围为．…………………14分方法二：设圆上的动点的坐标为，则，即，解得．…………………………5分设点，，则直线：，即，因为直线与圆相切，所以，化简得．①同理得，②由①②知，为方程的两根，…………7分即所以．……………………9分因为，所以……………10分．………………11分令，因为，所以．所以，………12分当时，，当时，．所以的取值范围为．…………………14分21．（本小题满分14分）（1）解法一：因为函数在区间内是增函数，所以．……………1分即，即……………2分，因为在内恒成立，所以．故实数的取值范围为．……………………4分解法二：因为函数在区间内是增函数，所以．……………1分即，即，…………………2分设，当时，得，此时不合题意．当时，需满足即解得，此时不合题意．当时，需满足或或解得或，所以．综上所述，实数的取值范围为．……………4分（2）证明：因为函数，所以．过点，作曲线的切线方程为：：，：，因为与的交点为，由………………6分消去，解得．①…………7分下面给出判定的两种方法：方法一：设，………………………8分因为，所以，且．所以．…………9分设，则．………………………10分令，则．当时，，，所以，………………11分所以函数在上是增函数，所以，即，…………………12分所以函数在上是增函数，所以．…………………13分因为当时，，所以．…………………14分方法二：由①得．设，…………