专题13正多边形（3个知识点4种题型1种中考考法）（原卷版）

专题13正多边形（3个知识点4种题型1种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.正多边形的有关概念（重点）知识点2.正多边形的画法（重点）（难点）知识点3.正多边形的对称性（拓展）【方法二】实例探索法题型1.与正多边形相关的角度计算题型2.与正多边形相关的面积计算题型3.判定圆内接正多边形题型4.正多边形的规律探究性问题【方法三】仿真实战法考法.正多边形的相关计算【方法四】成果评定法【学习目标】了解正多边形及其有关概念。会求正多边形的内角、外角与边数。了解正多边形的一般画法，会用尺规作图作正六边形。【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.正多边形的有关概念（重点）（1）正多边形：各边相等，各角也相等的我边形叫作正多边形。（2）正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心。（3）正多边形的半径：外接圆的半径叫作正多形的半径。（4）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角。（5）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。知识点2.正多边形的画法（重点）（难点）

由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.

规等分圆

对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.

①正四、八边形。

在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于E)就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。

②正六、三、十二边形的作法。

通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。

显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。

同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O12等分……。

要点诠释：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.知识点3.正多边形的对称性（拓展）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.

【方法二】实例探索法题型1.与正多边形相关的角度计算1．（2022秋•嘉兴期末）如图，正六边形ABCDEF与正方形AGDH都内接于⊙O，连接BG，则弦BG所对圆周角的度数为（）A．15° B．30° C．15°或165° D．30°或150°2.已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．90°3.如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB等于（）A．30°B．45°C．55°D．60°4．如图1，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ=（）A．60°B．65°C．72°D．75°图15．（2022秋•南浔区期末）已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连接BD，则∠ABD的度数是．题型2.与正多边形相关的面积计算6.如图，正六边形ABCDEF的边长为2，现将它沿AB方向平移1个单位，得到正六边形A′B′C′D′E′F′，则阴影部分A′BCDE′F′的面积是（）A．3 B．4 C． D．27．（2022秋•江北区期末）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他首次提出“割圆术”，利用圆内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆周率，方法如图：作正六边形ABCDEF内接于⊙O，取的中点G，OG与AB交于点H；连结AG、BG；依次对剩余五段弧取中点可得一个圆内接正十二边形，记正十二边形的面积为S1，正六边形的面积为S2，则＝．8．（2023•杭州）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则＝．9．（2022秋•滨江区期末）如图，正五边形ABCDE的对角线AC和AD分别交对角线BE于点M，N，若△AMN的面积为s，则正五边形ABCDE的面积为（结果用含s的代数式表示）．题型3.判定圆内接正多边形10．（2022秋•下城区校级月考）如图，正五边形ABCDE，连接对角线AC，BD，设AC与BD相交于O．（1）求证：AO＝CD；（2）判断四边形AODE的形状，并说明理由．题型4.正多边形的规律探究性问题11．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，要设计一个装彩铅的圆柱体纸盒，已知每支铅笔大小相同，底面均为正六边形，边长记作．下面我们来探究纸盒底面半径的最小值：（1）如果要装10支铅笔，小蓝画了图①、图②两种排列方式，请你通过计算，判断哪种方式更节省空间：．（填①或②）（2）如果要装24支铅笔，请你模仿以上两种方式，算出纸盒底面最小半径是．（用含a的代数式表示）12．（2023春·浙江台州·九年级校考期中）李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解的意义．(1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”．如图，正三角形的边长为1，求得其内切圆的半径为，因此___________；(2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”；(3)[总结]随着n的增大，具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括．13．（2020·浙江绍兴·模拟预测）如图1、、3、…、，、分别是的内接正三角形、正方形、五边形、…..、正边形…..的边、上的点，且，连接、．（1）求图1中的度数；（2）图中的度数是____________，图3中的度数是____________；（3）试探究的度数与正边形边数的关系（直接写出答案）．【方法三】仿真实战法考法.正多边形的相关计算1．（2023·山东临沂·统考中考真题）将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是（

）A．60° B．90° C．180° D．360°2．（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（

）A． B． C． D．3．（2022·四川雅安·统考中考真题）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（）A．3 B． C． D．34．（2022·甘肃武威·统考中考真题）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为8mm，则正六边形的边长为（

）A．2mm B． C． D．4mm5．（2022·四川成都·统考中考真题）如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（

）A． B． C．3 D．6．（2022·辽宁营口·统考中考真题）如图，在正六边形中，连接，则____________度．7．（2022·吉林·统考中考真题）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身重合，则角可以为__________度．（写出一个即可）【方法四】成果评定法一、单选题1．（2023秋·浙江·九年级专题练习）下列图形中，旋转后能与原图形重合的是（）A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正八边形2．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，正六边形内接于，正六边形的周长是12，则的半径是（

）A．1 B． C．2 D．3．（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）如图，一个蜂巢巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为，则正六边形的边长为（

）A． B． C． D．4．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，正六边形内接于，点在上，则的度数为（

）A． B． C． D．5．（2023秋·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，点O为正六边形ABCDEF对角线上一点，，则的值是（

）A．12 B．15 C．18 D．206．（2023秋·浙江嘉兴·九年级统考期末）如图，正六边形和正方形都内接于，连接，则弦所对圆周角的度数为（

）A． B． C．或 D．或7．（2023·浙江温州·统考二模）如图，正五边形ABCDE内接于．对角线AC，BD交于点F，则∠AFD的度数为（

）A．106° B．108° C．110° D．120°8．（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）某地毯生产商计划生产以三个相邻的正六边形为主要元素两种地毯：如图1：双向延长线段、、，分别交于点G、M、N，设计一个三角形地毯．如图2：以O为圆心，为半径，设计一个圆形地毯．记三角形地毯面积为，圆形地毯面积为，则这两种地毯的面积之比为（

）A． B． C． D．9．（2023·浙江台州·统考中考真题）如图，的圆心O与正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（

）．A． B．2 C． D．10．（2023·浙江宁波·统考三模）如图，正六边形，P点在上，记图中的面积为，已知正六边形边长，下列式子中不能确定的式子的是（

）A． B． C． D．二、填空题11．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，正六边形的中心角度．12．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）圆内接正方形的每条边所对的圆心角的度数是．13．（2023秋·浙江杭州·九年级统考期末）如图，在一根半径为10cm的圆柱体零件的正中位置打一个正三角形孔，正三角形顶点离圆柱边缘不少于5cm，则这个正三角形边长最大为cm．14．（2022秋·浙江湖州·九年级统考期末）如图，已知正五边形内接于，连结，则的度数是．15．（2022秋·浙江丽水·九年级校考期中）如图，A、、、为一个正多边形的相邻四个顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为．16．（2022秋·浙江温州·九年级乐清外国语学校校考阶段练习）如图，把正六边形的各边依次延长一半，得到一个大正六边形，若中间正六边形的面积为，则外围大正六边形的边长是．17．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他首次提出“割圆术”，利用圆内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆周率，方法如图：作正六边形ABCDEF内接于，取的中点G，与交于点H；连接、；依次对剩余五段弧取中点可得一个圆内接正十二边形，记正十二边形的面积为，正六边形的面积为，则．18．（2023·浙江温州·校联考三模）图1是由两个正六边形组成的壁挂置物架，轴对称仙人堂盆栽放置在木板上，图2是其示意图．两个正六边形的边与，与均在同一直线上．木板（木板厚度忽略不计），，则的长为．盆栽由矩形和圆弧组成，且，，恰好在同一直线上，已知，圆弧最高点到的距离与线段的长度之比为，则圆弧的半径为．三、解答题19．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，正方形是半径为R的圆内接四边形，若，求正方形的边长与边心距．20．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，已知点O是正六边形ABCDEF的对称中心，G，H分别是AF，BC上的点，且AG＝BH．（1）求∠FAB的度数；（2）求证：OG＝OH．21．（2023·浙江金华·校联考三模）如图，正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有差异，我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度”．(1)角的“接近度”定义：设正n边形的每个内角的度数为，将正n边形的“接近度”定义为．于是越小，该正n边形就越接近于圆，①若，则该正n边形的“接近度”等于．②若，则该正n边形的“接近度”等于______．③当“接近度”等于______．时，正n边形就成了圆．(2)边的“接近度”定义：设一个正n边形的外接圆的半径为R，正n边形的中心到各边的距离为d，将正n边形的“接近度”定义为．分别计算时边的“接近度”，并猜测当边的“接近度”等于多少时，正n边形就成了圆？22．（2023·浙江·九年级假期作业）如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON（1）求图1中∠MON的度数（2）图2中∠MON的度数是，图3中∠MON的度数是（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是____23．（2023·浙江·九年级专题练习）如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；