整数包括哪些数有理数包括什么整数的概念是什么

整数包括哪些数？整数包括哪些数？我们认识了自然数和零之后，知道了自然数和零都是整数。即0，1，2，3，……都是整数。当我们学习了负数之后，在自然数前面添上负号“-”而得到的数叫做负整数，如-1，-2，-3，-4，……都是负整数。这时，正整数（自然数）、零、负整数，统称为整数，而正整数和零可称为非负整数。分类我们以0为界限，将整数分为三大类：1.正整数，即大于0的整数如，1，2，3······直到

。2.零，既不是正整数，也不是负整数，它是介于正整数和负整数的数。3.

负整数，即小于0的整数如，-1，-2，-3······直到

。（n为正整数）注：零和正整数统称自然数。整数也可分为奇数和偶数两类。正整数它是从古代以来人类计数的工具。可以说，从“1头牛，2头牛”或是“5个人，6个人”抽象化成正整数的过程是相当自然的。零零不仅表示“没有”（“无”），更是表示空位的符号。中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度-阿拉伯命数法中的零(zero)来自印度的(Sunya)字，其原意也是“空”或“空白”。负整数中国最早引进了负数。《九章算术.方程》中论述的“正负数”，就是整数的加减法。减法的需要也促进了负整数的引入。减法运算可看作求解方程

，如果

、b是自然数，则所给方程未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。

[1]奇偶数整数中，能够被2整除的数，叫做偶数。不能被2整除的数则叫做奇数。即当n是整数时，偶数可表示为2n(n

为整数)；奇数则可表示为2n+1(或2n-1)。偶数包括正偶数（亦称双数）、负偶数和0。所有整数不是奇数，就是偶数。在十进制里，我们可用看个位数的方式判断该数是奇数还是偶数：个位为1,3,5,7,9的数为奇数；个位为0,2,4,6,8的数为偶数。1与0的特性1是任何数的约数，即对于任何整数，总有1|

。0是任何非零数的倍数，

,为整数，则

|0。整除特征1.若一个数的末位是单偶数，则这个数能被2整除。2.若一个数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。3.若一个数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。4.若一个数的末位是0或5，则这个数能被5整除。5.若一个数能被2和3整除，则这个数能被6整除。6.若一个数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：

，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：

，

，所以6139是7的倍数，余类推。7.若一个数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。8.若一个数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。9.若一个数的末位是0，则这个数能被10整除。10.若一个数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理。过程唯一不同的是：倍数不是2而是1。11.若一个数能被3和4整除，则这个数能被12整除。12.若一个数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，则重复「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。13.若一个数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，同样重复之前的过程，直到能清楚判断为止。14.若一个数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，同样重复之前的计算思路，直到能清楚判断为止。15.若一个数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。16.若一个数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。17.若一个数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除奇偶性1.

奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数，奇数×奇数=奇数；即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差为奇数，偶数个奇数的和、差为偶数；2.奇数的平方都可以表示成

的形式，偶数的平方可以表示为

或

的形式；3.若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；两个整数的和与差具有相同的奇偶性；一个整数的平方根若是整数，则两者具有相同的奇偶性。整数集的表示为什么用

表示整数集呢？这个涉及到一个德国女数学家对环理论的贡献，她叫诺特。1920年，她已引入“左模”，“右模”的概念。1921年写