平面向量中几个重要的定理 论文

PAGEPAGE10平面向量中几个重要的定理摘要：向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥着重要重要。基于此，本文从三点共线与面积模型出发，结合各类考题，对于平面向量中常常涉及的几个重要的定理及该定理在解题中作用作以探究，分析与归纳。关键词：平面向量，三点共线，面积模型，数量积，对角线向量定理，数学核心素养。引言：本文的构思形成于笔者2020年高三的一节县内校际交流课，17年一线高中数学教学，常常遇见很多善于思考的同学问及向量中种种诸如此类的问题，学生很棘手，苦思又无结果，由此，为了解决他们的困惑，我想是该对平面向量问题做个了结的时候了，笔者通过网罗搜集历年高考题，各地模考题，竞赛题，不断归纳总结，努力寻找最佳的课堂教学契机奉献给学生，于是在高三二轮复习时，机会终于来了。本文从学生最熟悉的三点共线出发，结合与三角形相关的面积模型的特征，严格推导了面积比与三角形四心的关系，再由平行四边形性质定理推导了矩形定理，从极化恒等式的结构特征分析了极化恒等式在处理向量问题的意义，根据余弦定理推导了余弦定理的向量式，再由余弦定理的向量式推导了对角线向量定理，最后通过2019人教版选择性必修1第41页练习2，说明了可以通过对角线向量定理来求解空间异面直线所成的角，这也体现了数学概念之间转化与化归的数学核心素养。教研是教师实施教学，提升教学水平的灵魂，我们常常要对教材的基本概念例题，复习参考题以及高考题型进行加工提升，深度挖掘其内含，将这些所得用于课堂教学中，只有这样，才能让学生通过基本概念的学习，提升自己的综合能力，达到培养学生核心素养的目的。一、三点共线定理利用平面向量可以证明平面于空间的三点共线，由此可以衍生出许多习题，鉴于学生的理解程度，本文先从三点共线谈起。定理1：A,B,C为平面内三个不重合的点，O为该平面内的任意一点，若存在唯一的实数λ,μ∈R,使得OA=λOB+μOC，且λ+μ=1，则A,B,C三点共线证明：如图1，因为OA=λOB+μOC且λ+μ=1，所以OA=λOB+(1-λ)OC,故OA-OC=CA=λ(OB-OC)=λCB，所以A,B,C三点共CBACBA图1n例1在⊿ABC中，AB=AC=5，BC=6，I为⊿ABC的内心，若BI=mBA+nBC(m,n∈R)，则m= n2解：如图2，因为BI=λBA+(1-λ)BC，即BI=λBC+(1-λ)BA，同26μ理BI=μBE+1-μ)BC，BI=6μBA+1-μ)BC,所以{1-λ=1解得5{λ=8,，故BI=3

11，所以5 m 6，所以+ BC =

λ2=1-μμ=16

8BA n 5AEIB D EI图2高考题，模考题，竞赛题中常常出现与平面向量相关的三角形面积问题，平面向量又常与三角形的四心相结合，笔者从面积模型的奔驰定理出发推导了该定理与三角形四心的关系。下面的定理因似奔驰车标，故得名二、面积模型定理2：若点O为⊿ABC所在平面内的任意一点且满足αOA+βOB+γOC=0(α,β,γ∈R)，则S⊿OBC:S⊿OAC:S⊿OAB=α:β:γ证明：我们先在OA,OB,OC上分别取点A1,B1,C1使得OA1=αOA,OB1=βOB,OC1=γOC,则OA1+OB1+OC1=0，易知点O为⊿A1B1C1的重心，故S⊿OB1C1:S⊿OA1C1:S⊿OA1B1=1:1:1，又S⊿OBC=

12|OB|OC|1sin∠BOC=

|OB

||OC

|sin∠BOC= S

，同理S

=1 11βγ(2 1 111

) βγ

⊿OB1C1

⊿OAC αγ1 111S⊿OA1C1,S⊿OAB=αβS⊿OA1B1，故S⊿OBC:S⊿OAC:S⊿OAB=βγ:αγ:αβ=α:β:γ图3评注：证明中我们先在OA,OB,OC上分别取点A1,B1,C1使得OA1=αOA,OB1=βOB,OC1=γOC,则OA1+OB1+OC1=0，这一步巧妙的利用了三角形重心的一个重要的性质，其次再由三角形面积的三角函数公式得出面积比，该定理极其清晰地揭示了三角形面积与表达式中向量系数的关系。思考：既然点O为⊿ABC所在平面内的任意一点，那么当点O为⊿ABC的“四心”外心，内心，重心，垂心时，是不是面积比具有特殊的意义呢？下面来研究这个问题。结论1：点O为⊿ABC的重心时，S⊿OBC:S⊿OAC:S⊿OAB=α:β:γ=1:1:1证明：由三角形重心的性质知S⊿OBC=S⊿OAC=S⊿OAB故S⊿OBC:S⊿OAC:S⊿OAB=α:β:γ=1:1:1图4我们来看一道全国高中联赛题例2（2011年全国高中联赛山东赛区）在⊿ABC中，已知G为其重心，角A,B,C的对应边分别为a,b,c，且56aGA+40bGB+35cGC=0，则B= 解：由结论1知α:β:γ=56a:40b:35c=1:1:1所以a=b=c令a=5k

2 2 2

5 7 8{b=k,所以cosB=+-=1故B=πc=8k

2×5k×8k 2 3评注：结论1是该定理的最特殊的情形，由结论1知表达式中向量的系数比相等。结论2：点O为⊿ABC的外心（外接圆的半径为=α:β:γ=sin2A:sin2B:sin2C111证明：易知|OA|=|OB|=|OC|=R，S⊿OBC=11

2|OB|OC|sin∠BOC==12R2sin2A,同理S⊿OAC=12

R2sin2B,S⊿OAB

:S⊿OAC:=22S⊿OAB=α:β:γ=sin2A:sin2B:sin2C=22图5下面再来看一道全国高中联赛题例3（2013年全国高中联赛安徽省预赛）设⊿ABC的外接圆圆心P满足AP=(=(AB+AC),则cos∠BAC= 5解：由AP=2AB+AC)知，1 +2 +2

=0，由结论2知5( 5PA

5PB

5PC12α:β:γ=sin2A:sin2B:sin2C=

2，所以B=C,故A+B+C=A+2B=π,所以5:5:52B=π-A,sin2A=sin2B=sin(π-A)，所以

sin2A

2sinAcosA= =2cosA1 2 25 5 5

sin(π-A)

sinA1 1=，故cos∠BAC1 12 4评注：首先我们将已知条件转化为面积比结构，由结论2知表达式中向量的系数比为三角形内角2倍的正弦值之比，再根据正弦定理解决cos∠BAC的值。结论3：点O为⊿ABC的内心时，S⊿OBC:S⊿OAC:S⊿OAB=α:β:γ=a:b:c图612证明：S⊿OBC=ar,S⊿OAC=2

12br,S⊿OAB=

12cr,故S⊿OBC:S⊿OAC:S⊿OAB=α:β:γ=a:b:c评注：该证法巧妙地利用了三角形内心的面积性质。我们再来看一看结论3在2017年清华大学标准能力测试中的考察。例4（2017年清华大学标准学术能力测试）在⊿ABC中，AB=4,AC=3,BC=2,O为⊿ABC的内心,若AO=λAB+μBC，则3λ+6μ= 解：由AO=λAB+μBC得AO=λ(OB-OA)+μ(OC-OB)即(1-λ)OA+(λ-μ)OB+μOC=0,由结论3知α:β:γ=a:b:c=(1-λ):(λ-μ):μ=2:3:4,所以λ=7

μ=，故3λ+6μ=5.4，49 9结论4：点O为⊿ABC的垂心(H)时S⊿OBC:S⊿OAC:S⊿OAB=tanA:tanB:tanC证明：因为H为垂心,所以AH∙BH=AH∙CH=BH∙CH,1 1∠BHC+∠BAC=π,S⊿BHC=2|BH||CH|sin∠BHC=

|BH||CH|sin∠BHC 1cos∠BHC∙ =

1CH∙tan∠BHC=

2∙CH∙tan(π-A),cos∠BHC1

2BH

2BH1同理S⊿AHC=2AH∙CH∙tan(π-B),S⊿AHB=2AH∙BH∙tan(π-C),S⊿OBC:S⊿OAC:S⊿OAB=α:β:γ=tan(π-A):tan(π-B):tan(π-C)=tanA:tanB:tanC评注：结论4较难，证明方法中用到了三角形面积的向量公式，学生可能不知道，证明结论4之前，先证明三角形面积的向量公式。因三角形的垂心的性质比较复杂，在高考题中出现的几率比较低，但在自主招生，强基计划和竞赛题中常常出现。图7我们来看看结论4在2018年全国高中联赛安徽省预赛中是如何考察的。例5（2018年全国高中联赛安徽省预赛）在⊿ABC中，H为⊿ABC的垂心，且3HA+4HB+5HC=0，则cos∠AHB= 56解：由结论4知α:β:γ=tanA:tanB:tanC=3:4:5,令tanA=3k,tanB=4k,tanC=5k(k>0),代入三角恒等式tanA+tanB+tanC=tanA∙tanB∙tanC,5653k+4k+5k=3k∙4k∙5k得k=5

，所以tanC=5k,cosC= ,66cos∠AHB=-cosC=-666评注：本题的解法中用到了三角恒等式tanA+tanB+tanC=tanA∙tanB∙tanC，这是老教材中一道课后习题，这里也体现了课后习题的典型性，教学中应多多关注教材中例题与习题的教学与反思。三、平行四边形对角线性质定理定理3：若四边形ABCD为平行四边形，则AC2+DB2=2(AB2+AD2)证明：因为AC=AB+AC,DB=AB-AC,所以AC2+DB2=2 2 2 2(AB+AC)+(AB-AC)=2(AB+AC)，故AC2+DB2=2(AB2+2 2 2 2AD2)图8利用平行四边形对角线性质定理可以证明下面的矩形定理。四、矩形定理定理4：若四边形ABCD为矩形，P点为空间内任意一点，则PA2+PC2=PB2+PC2证明：设PO=x,CO=y,由平行四边形对角线性质定理知，(2x)2+(2y)2=2(PA2+PC2),故PA2+PC2=2(x2+y2),同理PB2+PD2=2(x2+y2),故PA2+PC2=PB2+PC2图9例6已知向量a,b,c满足|a|=|b|=2,|c|=1,(a-c)∙(b-c)=0，则|a-b|的取值范围是 解：如图10，设OA=a,OB=b,OC=c，则CA=a-c,CB=b-c，由矩形定理知：OD2+OC2=OA2+OB2，解得OD= 7,因为|a-b|=|AB|=|CD|,OD-OC≤|CD|≤OD+OC，所以

7-1≤|a-b|≤7+17图10评注：本题解法众多，采用矩形定理极大地简化了解题方法。五、极化恒等式定理5：如图11，在⊿ABC中，O为BC边的中点，则AB∙AC=AO2-2(2)

=x2

-y2证明：我们知道a,b可以用下面的方法表示，a=a+b+a-bb=a+b-2 2, 2a-b,则平面内三个不共线的点A,B,C构成的向量也可以用上面的方法表示，即2, ，AB+AC AB-AC AB+AC AB-AC, ，2 )AB= + AC= - AB∙AC=2 )AB+AC

2AB-AC

2AB+AC

2AB-AC

2AB+AC2

AB-AC2( 2 +

2 )∙( 2 -

2 )=(

2 )-(

，故AB∙AC2=AO

2-(2)

=x2

-y2AxB y O y Cx图11例7(2016江苏高考)如图12，在⊿ABC中，D为BC中点，E,F为AD三等分点，BA∙CA=4,BF∙CF=-1,求BE∙CE的值解：设AF=FE=ED=x，BD=DC=y，由极化恒等式知2{BA∙A=(x)2

y2

=9x2

y2

=4，解得2

2 ，所以BF∙CF=(2x)2-y2=4x2-y2=-1 xCE=x2-y2=-4

=1,y

=5 BE∙评注：此题采用极化恒等式求解极大地简化了计算。AxFxExxFxEx图12六、余弦定理的向量式定理6：如图13，在⊿ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，则AB∙AC=

b2+c2-a22

2 2 2 |2 2 2证明：cosA=b+c-a=|AB

+|AC|

-|BC|，故AB∙AC=|AB||AC||2|AB

2+|AC|22-|BC|2

2|AB||AC|b2+c2-a2cosA=

2 = 2图13例8（2012湖南高考）如图14，在⊿ABC中，AB=2,AC=3,AB∙BC=1,求BC的值解：由AB∙BC=1得，AB∙CB=-1，由余弦定理的向量式得AB∙2 2 2 2 2 2，即 2 ，所以BC=AB+CB-AC 2+BC-，即 2 ，所以BC=CB= = BC-5=-2 32 2A23B 23图14评注：利用余弦定理的向量式可以避开求解∠ABC这一步，从而直接利用三边的长计算数量积。七、对角线向量定理定理7：A,B,C,D为空间任意的四点，AC∙BD=(|AD|2+|BC|2)-(|AB|2+|CD|2)2证明：如图15两次使用余弦定理的向量式得：AC∙CD=2 2 2

2 2 2|AC|+|CD|-|AD|;AC∙CB=|AC|+|CB|-|AB|,两式相减得：AC∙CD-2 22(|AD|2+|BC|2)-(|AB|2+|CD|2)2AC∙CB=AC∙(CD-CB)=AC∙BD=(|AD|2+|BC|2)-(|AB|2+|CD|2)

,即AC∙BD= 2DAB CA图15评注：对角线向量定理第一个重要的作用，可以用它来求平面向量的数量积。例9如图16，在圆O中，若弦AB=3，AC=5，求AO∙BC的值解法1：设⊿ABC外接圆的半径为R，所以OA=OB=OC=R由余弦定理的向量2 2 2

2 2 2 2式得：AO∙AC=AO+AC-OC=R+5-R=5，AO∙AB=2 2 22 2 2

2 2 2 2AO+AB-OC R2 =

+3-R=3，两式相减得：AO∙BC=AO∙(AC-AB)2252-3222=AO∙AC-AO∙AB=

2 =8解法2：设⊿ABC外接圆的半径为R，由对角线向量定理知得：AO∙BC(|AC|2+|OB|2)-(|AB|2+|OC|2)= 2 =

(52+R2)-(32+R2)2 =

52-322 =8图16评注：解法2利用了对角线向量定理比解法1少了