第十章 压杆的稳定性

第十章

压杆的稳定性材料力学第十章压杆的稳定性本章内容:10.1两类稳定性问题10.2细长压杆的临界压力10.3压杆的临界应力和经验公式10.4压杆稳定设计10.5提高压杆稳定性的措施

第十章压杆的稳定性失稳

随着在大跨度结构和高层建筑中日益广泛地采用高强度轻质材料和薄壁结构，稳定性问题更显突出，往往成为结构安全的关键因素。

杆件受压时，在应力小于材料的压缩屈服极限或压缩极限时，不仅有压缩变形，还发生垂直于杆轴线方向的弯曲变形，从而不能保持原有的直线平衡状态。杆件的这种丧失原有直线平衡状态的现象称为失稳。

失稳后压杆的弯曲变形会迅速增大，导致丧失承载能力，甚至会使得由多根杆件所组成的结构产生多米诺骨牌式的连锁反应，在很短的时间内造成整个结构的破坏，引发严重的事故。

第十章压杆的稳定性

魁北克桥上处于危险中的悬臂桁架垮塌后的魁北克桥倒塌的电塔倾斜的脚手架失稳的典型案例10.1两类稳定性问题第十章压杆的稳定性奇怪的钢锯条很大的拉力都无法拉断，可施加很小的压力时，钢条就弯了，不能承载了。

－如何解释？为何？FFlhb实例：

有一根钢条，其横截面b

=12mm,

h

=0.65mm,

弹性模量E=200GPa，[σ]=200MPa。受压力

F

作用，试分析F的许用值。分析：根据强度条件10.1两类稳定性问题第十章压杆的稳定性实验一顶端为100克砝码10.1两类稳定性问题第十章压杆的稳定性实验二顶端为200克砝码，重约2N，远小于1560N10.1两类稳定性问题第十章压杆的稳定性实验三顶端为300克砝码10.1两类稳定性问题第十章压杆的稳定性杆件稳定性的概念——实验的启示荷载小于某一值，杆件的原有直线平衡状态是稳定的；（干扰力撤去后，仍保持原有直线平衡状态）荷载大于某一值，杆件的原有直线平衡状态是不稳定的；（干扰力撤去后，会变为微弯状态）——失稳在这两者之间的临界状态，荷载的这个某一值，就是——杆件的临界力。实验一的启示实验二的启示实验三的启示荷载过大，结构危险，稍受干扰，立即坍塌。——避免过载10.1两类稳定性问题第十章压杆的稳定性第一类失稳：用理想中心受压细长直杆说明

当轴向压力F小于某一数值时，压杆处于直线平衡状态（图a），若此时施以微小的横向干扰力使压杆产生微小的弯曲变形，当干扰去掉后，压杆能恢复到原有的直线平衡位置。这表明，压杆的直线平衡状态是稳定的。10.1两类稳定性问题第十章压杆的稳定性

当轴向压力F大于某一数值时,压杆仍可以处于直线平衡状态,但一旦有微小的干扰,压杆将突然发生弯曲变形（图b）,当干扰去掉后,压杆处于新的弯曲平衡位置不能恢复到原有的直线平衡位置。压杆这种由直线平衡状态突然转变为弯曲平衡状态的过程表明，此时压杆的直线平衡状态是不稳定的，或者说，压杆丧失了保持稳定的原有直线平衡状态的能力，即失稳。

当轴向压力F等于这一数值时，压杆处于由稳定平衡状态过渡到不稳定平衡状态的临界状态，相应的这一轴向压力值称为临界压力或临界力，用Fcr表示。10.1两类稳定性问题第十章压杆的稳定性

根据挠曲线近似微分方程分析表明，当F=Fcr时，压杆的平衡形式不再唯一（图c），既可以处于原有稳定的直线平衡状态OA，也可以处于微小干扰后挠度不定的微弯平衡状态AC，即随遇平衡状态，存在两种不同形式的平衡状态。

根据挠曲线精确微分方程分析表明，当F≥Fcr时，既可以处于不稳定的直线平衡状态AB,也可以处于微小干扰后稳定的弯曲平衡状态AD。例如当荷载达到B点,其直线平衡状态是不稳定的，稍有微小干扰就突然变到D点的弯曲平衡状态,压杆的平衡形式也不唯一。但不存在挠度不确定性，即使在A点F=Fcr处,挠度仍是确定的。10.1两类稳定性问题第十章压杆的稳定性这种平衡形式不唯一，出现平衡状态分支的现象，是第一类失稳，称为分支点失稳。10.1两类稳定性问题第十章压杆的稳定性

压杆稳定实验的结果大致如图C中的曲线或OEH。随着轴向压力F增加，挠度亦相应增大；轴向压力在其极大值E点之前，若F不变挠度也不变，平衡状态是稳定的。当轴向压力达到E点时，即使F不增加甚至减少，挠度仍继续增大，平衡状态是不稳定的。这种现象是第二类失稳，称为极值点失稳。第二类失稳：

实际上工程中不存在理想中心受压直杆，压杆难免存在初曲率、偏心压缩、材料不均匀等现象，从一开始受压杆件就处于压弯状态。10.1两类稳定性问题第十章压杆的稳定性

极值点E为临界点,E点的轴向压力为临界压力,它一般比理想中心受压直杆的临界压力小。曲线OEH代表的是非理想弹性压杆，曲线OEG代表的是荷载超过极值后产生塑性变形的非理想压杆。

极值点失稳的特征是：平衡形式不发生质的变化，不出现分支现象，变形按原有形式迅速增长，使结构丧失承载能力。工程中的失稳问题大多是这种极值点失稳。10.1两类稳定性问题第十章压杆的稳定性失稳的现象在其他结构中也会发生承受均布水压力的圆环承受均布荷载的抛物线拱承受集中荷载的刚架承受集中荷载的工字钢悬臂梁10.2细长压杆的临界压力第十章压杆的稳定性10.2.1两端铰支细长压杆的临界压力如图所示细长等直杆

当压杆在压力F作用下处于临界状态时，杆件发生“微弯”变形，x截面处的弯矩

杆内的应力不超过材料的比例极限且在小变形的条件下，压杆的挠曲线的近似微分方程为

（10.1）

（10.2）10.2细长压杆的临界压力第十章压杆的稳定性由上两式得：令则即压杆在微弯时的挠度满足上述二阶线性常系数齐次微分方程

其通解A、B为积分常数，A、B和都是待定值。

（10.3）

（10.4）

（a）

（b）10.2细长压杆的临界压力第十章压杆的稳定性得：若要压杆处于微弯平衡状态，只能是kl是

的整数倍，即由此得：即：由约束条件

（c）

（d）

如果A=0，w就恒等于零，即压杆无挠度，处于直线平衡状态。在这种情况下，kl可以具有任何值，由式（9.4）可知，压力F也可以具有任何值，临界压力无法确定，此结果可用图9.2c中的垂直轴表示。

（10.5）

（10.6）

（10.7）

（f）10.2细长压杆的临界压力第十章压杆的稳定性

这就是两端为铰支细长压杆的临界压力的计算公式，由压杆成半个正弦波状得到，也称欧拉公式。

在两端均为球铰的情况下，压杆的微弯变形一定发生于抗弯能力最小的纵向平面内，所以，临界应力表达式（9.8）的I应是杆件横截面的最小形心主惯性矩。

（10.8）10.2细长压杆的临界压力第十章压杆的稳定性

（10.9）

根据式（10.5），当

时，由

，

（

为中点挠度），有

，由此可得，压杆微弯变形的挠度曲线方程:上式表明，无论

为任何微小值，压杆都能维持微弯平衡状态，这种不确定的微弯平衡状态似乎是随遇平衡。此结果可用图10.2c中的AC表示。实际上这种随遇平衡状态是不存在的，是因为它是基于挠曲线近似微分方程得到的结论。10.2细长压杆的临界压力第十章压杆的稳定性2210.2.2其他支座下细长压杆的临界压力

压杆除两端铰支外，还有其它各种不同支座情况，可由挠曲线近似微分方程及边界条件求得，也可利用挠曲线相似的特点，以两端铰支为基本形式推广而得。一端固定一端自由压杆10.2细长压杆的临界压力第十章压杆的稳定性其临界压力为

由变形曲线可见，一端固定一端自由且长为

l的压杆的挠曲线与两端铰支、长为2l

的压杆的挠曲线的上半部分完全相同。

（10.12）10.2细长压杆的临界压力第十章压杆的稳定性一端固定一端铰支压杆挠曲线有一拐点C，且拐点在距铰支端约为0.7l处，故有两端固支压杆距上、下两端各为l/4处各有一个拐点，这两点处的弯矩等于零。故有

（10.13）

（10.14）10.2细长压杆的临界压力第十章压杆的稳定性对于不同支座约束情况的细长压杆的临界压力计算公式可统一地写为

（10.15）10.2细长压杆的临界压力第十章压杆的稳定性0.50.721.0临界压力公式压杆简图两端固定一端固定一端铰支一端固定一端自由两端铰支支座情况10.2细长压杆的临界压力第十章压杆的稳定性例10.1一细长圆截面连杆，两端可视为铰支，长度l＝1m，直径d＝20mm，材料为Q235钢，其弹性模量E＝200GPa，屈服极限σs＝235MPa。试计算连杆的临界压力以及使连杆压缩屈服所需的轴向压力。解:（1）计算临界压力根据公式其临界压力为（2）使连杆压缩屈服所需的轴向压力为Fs远远大于Fcr，所以对于细长杆来说，其承压能力一般是由稳定性要求确定的。10.3压杆的临界应力和经验公式第十章压杆的稳定性10.3.1临界应力

即式中，i为截面的惯性半径，是一个与截面形状和尺寸有关的几何量。

（10.18）10.3压杆的临界应力和经验公式第十章压杆的稳定性则令则（10.21）为欧拉公式的另一种形式，

称为压杆的柔度或长细比,是量纲为一的量，它集中反映了压杆的长度、约束条件、截面形状和尺寸等因素对临界应力的影响。柔度越大，临界应力越小，压杆越容易失稳。

（10.19）

（10.20）

（10.21）10.3压杆的临界应力和经验公式10.3.2欧拉公式的适用范围欧拉公式是根据压杆挠曲线的近似微分方程

导出的。所以，欧拉公式只能在应力不超过材料的比例极限时才适用，即

或

令

（10.22）

（10.23）

（10.24）第十章压杆的稳定性10.3压杆的临界应力和经验公式则欧拉公式的适用范围可表示为

满足

的压杆称为大柔度杆。

可以看出：

p

只与材料的性质有关。对Q235钢：E=206GPa，

p=200Mpa

（10.25）所以，用Q235钢制作的压杆，只有当

时，才可以应用欧拉公式。第十章压杆的稳定性10.3压杆的临界应力和经验公式10.3.3临界应力的经验公式当

cr

p

时，欧拉公式不成立。工程上使用经验公式直线经验公式式中，

a,b是与材料有关的常数(表8.2)。0.19028.7松木1.454332.2铸铁2.568461优质碳钢ss=306MPa1.12304Q235钢

ss=235MPab(MPa)a(MPa)材料

（10.26）第十章压杆的稳定性10.3压杆的临界应力和经验公式

压杆的

时已不能使用欧拉公式，但也不是所有的

压杆都可用公式（10.26）。因为当

小到某一数值时，压杆的破坏不是由于失稳所引起的，而主要是因为压应力达到屈服极限（塑性材料）或强度极限（脆性材料）所引起的，这已是一个强度问题。所以，对这类压杆来说，“临界应力”就应是屈服极限或强度极限。使用直线公式（10.31）时，应有一个最低界限，它们所对应的临界应力分别为屈服极限（塑性材料）或抗压极限（脆性材料）。对于塑性材料，在式（10.26）中，令

，得（10.27）第十章压杆的稳定性10.3压杆的临界应力和经验公式不同柔度的压杆，需应用不同的临界应力的公式。可根据柔度将压杆分为三类(1)大柔度杆(细长杆)

p

的压杆(2)中柔度杆

s

p

的压杆10.3.4压杆分类(3)小柔度杆(短粗杆)

s

的压杆第十章压杆的稳定性10.3压杆的临界应力和经验公式大柔度杆小柔度杆中柔度杆——欧拉公式——直线经验公式——强度公式

10.3.5

临界应力总图第十章压杆的稳定性10.3压杆的临界应力和经验公式抛物线经验公式抛物线经验公式为式中，a1

,b1

是与材料性质有关的常数。说明

若压杆的局部有截面被削弱的情况，则：

进行稳定性计算时，可忽略若压杆的局部削弱，仍用原来

截面的面积和惯性矩计算临界应力；进行强度计算时，应按削弱后的面积计算。第十章压杆的稳定性10.3压杆的临界应力和经验公式例10.2一端固定，一端自由的中心受压立柱，长l＝1m，材料为Q235钢，弹性模量E＝200GPa，试计算图示两种截面的临界压力。一种截面为45mm×6mm的角钢，另一种截面是由两个45mm×6mm的角钢组成。第十章压杆的稳定性10.3压杆的临界应力和经验公式解：（1）计算压杆的柔度单个角钢的截面，查型钢表得：Imin＝Iy0＝3.89cm4＝3.89×10–8m4，imin＝iy0＝8.8mm，压杆的柔度为由两个角钢组成的截面，由型钢表查得：Imin＝Iz＝2×9.33cm4＝18.66×10–8m4，imin＝iz＝13.6mm，其柔度为

这两种截面的压杆其柔度均大于

，都属于细长杆，可用欧拉公式计算临界压力。第十章压杆的稳定性10.3压杆的临界应力和经验公式（2）计算压杆的临界压力单个角钢的截面，其临界压力为由两个角钢组成的截面，临界压力为第十章压杆的稳定性10.3压杆的临界应力和经验公式

用两个角钢组成的截面比单个角钢的截面在面积增大一倍的情形下，临界压力可增大4.8倍。所以临界压力与截面的尺寸和形状均有关。此例可启发我们思考细长压杆在杆件的材料、长度、支撑情况以及截面面积不改变的情况下，如何提高它的临界压力？讨论：这两根杆的临界压力之比等于惯性矩之比，其比值为第十章压杆的稳定性10.3压杆的临界应力和经验公式例10.3试求图示三种不同杆端约束压杆的临界压力。材料为Q235钢，E=200GPa，l=300mm，b=12mm，h=20mm。第十章压杆的稳定性10.3压杆的临界应力和经验公式先求横截面的最小惯性半径

解：（1）一端固定、一端自由的压杆，Q235钢，故长度系数第十章压杆的稳定性10.3压杆的临界应力和经验公式（2）两端铰支的压杆，Q235钢，故长度系数第十章压杆的稳定性10.3压杆的临界应力和经验公式（3）两端固定的压杆，属小柔度杆，应按强度问题计算，即长度系数第十章压杆的稳定性10.3压杆的临界应力和经验公式例10.4工字型发动机连杆，尺寸如图，材料为45号优质碳钢，求连杆的临界压力。第十章压杆的稳定性10.3压杆的临界应力和经验公式解：在xy

平面，即运动平面内，简化如图，

长度系数在xz

平面，简化如图，

长度系数第十章压杆的稳定性10.3压杆的临界应力和经验公式（1）计算连杆的柔度连杆在xy平面内的柔度连杆在xz平面内的柔度第十章压杆的稳定性10.3压杆的临界应力和经验公式故连杆在xy

平面内容易失稳。（2）计算连杆材料的查表得优质碳钢的a=461MPa，b=2.58MPa,于是故第十章压杆的稳定性10.3压杆的临界应力和经验公式例10.5图示结构，AB为圆截面杆，直径d=80mm，BC为正方形截面杆，边长a=80mm。可各自独立变形，材料均为Q235钢，E=210GPa。已知l=2m，若规定工作载荷不得超过临界压力的一半，求该结构所能承受的最大载荷。第十章压杆的稳定性10.3压杆的临界应力和经验公式（1）AB杆，一端固定、一端铰支，（2）BC杆，两端铰支，解：第十章压杆的稳定性10.3压杆的临界应力和经验公式可见，AB杆的柔度大，AB杆的临界压力就是整个结构的临界压力，由欧拉公式计算AB杆的临界压力，有故AB杆最大工作载荷为结构的最大工作载荷即第十章压杆的稳定性10.4稳定性设计

稳定性设计主要包含两个主要的内容，一个是确定临界压力或临界应力，另一个是确定稳定性设计准则，即建立稳定性安全条件。

工程上，常用的压杆稳定性设计准则有两种。1、安全因数法

临界压力Fcr与实际工作压力F之比即为压杆的工作安全因数n，它应大于规定的稳定安全因数[nst]对于钢[nst]=1.8~3.0；对于铸铁[nst]=5.0~5.5；对于木材[nst]=2.8~3.2。（10.23）52第十章压杆的稳定性10.4稳定性设计2、折减系数法

需要指出的是，压杆的稳定性取决于整个杆件的弯曲刚度，压杆上因存在沟槽或铆钉孔等而造成的局部削弱对临界压力的影响很小。因此，在确定压杆临界压力和临界应力时，均用未削弱的横截面形状和尺寸进行计算。而强度计算则需考虑最小面积，甚至应力集中的影响。稳定性计算包括稳定性校核、截面设计和确定许可荷载三方面。（10.24）53

折减系数法的稳定条件是，压杆的工作应力小于压杆的强度许用应力

乘上一个系数

。即第十章压杆的稳定性10.4稳定性设计54例10.5图所示千斤顶，已知其丝杆长度l=0.5m，直径d=52mm，材料为Q235钢，

，

，

，最大顶起重量F=150KN，规定稳定安全因数[

]=2.5，试校核丝杆的稳定性。解：用稳定性条件式（10.23）校核千斤顶丝杆的稳定性。丝杆可视为上端自由、下端