晶体学基础(第三章)课件

第三章晶体的宏观对称3.1对称的概念3.2晶体的对称3.3晶体的宏观对称元素和对称操作3.4对称元素的组合3.5晶体的32种点群及其符号3.6晶体的对称分类3.7准晶体的对称分类对称性是晶体的根本性质之一，一切晶体都对称的。晶体的对称性首先最直观地表现在它们的几何多面体外形上，但不同晶体的对称性往往又是互有差异的。因此，可以根据晶体对称特点的差异来对晶体进行科学分类。此外，晶体的对称性不仅包含宏观几何意义上的对称，而且也包含物理性质等宏观意义上的对称。对称性对于理解晶体的一系列性质和识别晶体，以至对晶体的利用都具有重要的意义。本章将只限于讨论晶体在宏观范畴内所表现的对称性，即晶体的宏观对称。3.1对称的概念对称〔symmetry〕:物体〔或图形〕中相同局部之间有规律的重复。对称的定义说明，对称的物体或图形，至少由两个或两个以上的等同局部组成，对称的物体通过一定的对称操作(即所谓的“有规律〞)后，各等同局部调换位置，整个物体恢复原状，分辨不出操作前后的差异。例如建筑物的左右两边可以通过中平面反映彼此重合。上述对称概念只是朴素的定义。实际上，对称不仅是自然科学最普遍和最根本的概念之一，它也是建造大自然的一种神秘的密码，同时也是人类文明史上永恒的审美要素。3.1对称的概念3.1对称的概念七律－早春〔对称回文〕

早春寒谷寒春早

林木香茶香木林

叠叠青山青叠叠森森暮竹暮森森美兰雨舍雨兰美

金果田中田果金

燕喜天霄天喜燕音回一曲一回音

万有引力公式库伦公式形象对称对称操作和对称元素共五类:反伸操作和对满意〔centerofsymmetry〕反映操作和对称面〔symmetryplane〕旋转操作和对称轴〔symmetryaxis〕旋转反伸操作和倒转轴〔rotoinversionaxis〕旋转反映操作和映转轴〔rotoreflectionaxis〕3.3晶体的宏观对称元素和对称操作如果设空间中一点的坐标为〔x，y，z〕，经过对称操作后变化到另一点〔X，Y，Z〕，那么有：或其中称为对称变换矩阵。对任一对称操作，都有惟一的对称变换矩阵与之对应。

3.3晶体的宏观对称元素和对称操作对满意为一假想的几何点，相应的对称操作是对于这个点的反伸。这个对称操作的习惯符号为C，国际符号记为3.3.1对满意

如果通过对称中心作任意一直线，那么此直线上距对称直线等距离的两端，必为可找到的对应点。一个具有对满意的图形，其相对应的面、棱、角都表达为反向平行。可以推论出，晶体中假设存在对满意，其晶面必然两两平行而且相等。这一点可以用作判别晶体或晶体模型有无对满意的依据。3.3.1对满意对称面为假想的平面，相应的对称操作为对此平面的反映。习惯符号为P，国际符号为m。如果m和xy平面一致，那么对称变化矩阵为：3.3.2对称面如果m和xz以及yz平面一致，那么相应的对称转换矩阵那么可分别表示为：3.3.2对称面如果垂直于对称面作任一直线，那么在此直线上，位于对称面的两侧，并且距对称面等距离的地方，必可找到性质完全相同的对应点。晶体中如有对称面的存在，那么必经过晶体的几何中心，并能将晶体等分为互成镜像反映的两个相同局部。对称面可以是垂直等分某些晶面的平面，或是包含某些晶棱的平面。3.3.2对称面对称轴为一假想的直线，对应的对称变换为围绕此直线的旋转，每转过一定角度，各等同局部就发生一次重复。旋转一周重合的次数叫轴次，用n表示；整个物体复原需要的最小转角那么称为基转角。n=1，为一次轴，国际符号为1。二、三、四、六次轴，国际符号分别记为2，3，4，6。对称轴的习惯符号用Ln表示。3.3.3对称轴晶体对称定律〔lawofcrystalsymmetry〕：在晶体中，只可能出现轴次为一次、二次、三次、四次和六次的对称轴，而不存在五次及高于六次的对称轴。3.3.3对称轴3.3.3对称轴3.3.3对称轴新位置的坐标为：x'1=-rsin(

-

)=-r(sin

cos

-cos

sin

)x'2=rcos(

-

)=r(cos

cos

+sin

sin

)cos

=x2/r及sin

=x1/r，即x'1=x1cos-x2sin

x'2=x1sin+x2cos

在X坐标系有一点r(x1,x2,x3)，它也是从原点到此点的矢量。如果这一矢量绕X3轴转动

角，点到达的新位置为r

(x'1,x'2,,x'3)。物体绕某个轴转动的变换3.3.3对称轴因此，r到r'变换的解析式是∶又可写成r'=Rr，式中R是变换矩阵3.3.3对称轴教材P.26更一般的情况，r绕任意方向的单位矢量S=uX1+vX2+wX3〔把S记作[uvw]〕转动角到达r的变换矩阵是:3.3.3对称轴二次轴的变换矩阵：3.3.3对称轴三次轴的变换矩阵:3.3.3对称轴因为三次旋转轴也常选用仿射坐标系：a1、a2轴的单位矢量长度相同夹角为120o，a1、a2轴都垂直于c轴。3.3.3对称轴四次轴的变换矩阵:3.3.3对称轴六次轴的变换矩阵:3.3.3对称轴3.3.3对称轴选用仿射坐标系一个晶体可以没有对称轴，也可以有一个和假设干个对称轴，且对称轴的数目也可以不同。如果在对称轴的方向上有不同轴次的对称轴，那么只取轴次最高的那一个。在晶体中如有对称轴存在，其可能的位置是，通过晶体的几何中心，并且为某两顶角的连线，或两平行晶面中心的连线，或某两晶棱中心的连线；如晶体无对称中心时，那么还可能是某一晶面的中心、晶棱的中点及顶角三者任意两者之间的连线。3.3.3对称轴3.3.3对称轴倒转轴亦称旋转反伸轴，又称反轴或反演轴。辅助的几何要素有两个：一根假想的直线和此直线上的一个定点。相应的对称操作就是围绕此直线旋转一定的角度及对于此定点的倒反〔反伸〕。3.3.4倒转轴倒转轴的两个变换动作是构成整个对称变换的不可分割的两个组成局部，无论是先旋转后倒反，或是先倒反后旋转，两者的效果完全相同，但都是在两个变换动作连续完成以后而使晶体复原。倒转轴同样遵守晶体对称定律，只有一次、二次、三次、四次和六次，国际符号分别记为，，，和。习惯符号为Lin，n为轴次。3.3.4倒转轴变换矩阵3.3.4倒转轴3.3.4倒转轴我们可以得出各次倒转轴与其它对称要素〔或对称要素的联合〕间的等效关系如下：Li1=L1+C=CLi2=L2+P=P(PLi2)Li3=L3+C(L3Li3)Li6=L3+P(L3Li6,PL3)只有Li4是一个独立的对称要素，不能由其他简单或它们的联合来等效代替。3.3.4倒转轴在晶体中，独立的Li4和Li6出现的可能情况是：一个晶体，如没有C，但有一L3，且垂直此L3还有一个P时，那么在此L3的方向上肯定有一个Li6存在；一个晶体，如没有C，但有L2时，那么此L2可能就是一个Li4，但并非必定就是一个Li4；假设确为Li4时，那么此L2将被包含在Li4之间而不再独立存在。3.3.4倒转轴对于倒转轴，通常只考虑其中的Li4和Li6两者，Li4作为一种独立的对称要素，自然是必须考虑的。Li6虽与L3+P的联合等效，但它在对称分类中有特定的意义〔属六方晶系〕，所以我们采用Li6代替L3+P的联合。映转轴亦称旋转反映轴。它的辅助几何要素为一根假想的直线和垂直于此线的一个平面；相应的对称操作就是围绕此直线旋转一定的角度及对于此平面反映的复合。在晶体中只有一次、二次、三次、四次和六次的映转轴。习惯符号为Lsn，n为轴次。3.3.5映转轴3.3.5映转轴每一个映转轴都可以由与之等效的倒转轴来代替：Ls1=Li2=L1+P=P(PLi2)Ls2=Li1=L1+C=CLs3=Li6=L3+P(L3

Li6,PL3)Ls6=Li3=L3+C(L3

Li3)Ls4=Li4基于这种关系，在实际工作中，通常只考虑倒转轴的情况，而一般不再讨论映转轴时的情形。3.3.5映转轴总结3.4对称元素的组合对于晶体而言，对称元素的存在往往不是孤立的。如果一个晶体的对称元素多于一种，那么就涉及对称元素的组合问题。晶体的宏观对称元素都相交于晶体的中心，并且在进行对称操作的时候，中心这一点是不移动的，各种对称操作构成的集合符合数学中的群的概念，所以对称元素的组合也叫点群〔pointgroup〕，也称对称型。对称元素的组合不是任意的，必须符合对称元素的组合定律。对称元素组合规律可以用最根本的数学关系式来描述。欧拉定理：假设两个基转角分别为和的对称轴以角度相交，那么经过两者之交点必定有另一种对称轴存在，它的基转角为，且于两原始对称轴的交角为´和。3.4对称元素的组合根据上面三式可以推论，如果轴次分别为n和m的对称轴Ln和Lm以角度斜交，那么围绕Ln必定有n个共点且对称分布的Lm；同时，围绕Lm必定有m个共点且呈对称分布的Ln；且任两个相邻的Ln和Lm之间的交角等于。由于对称元素均可以表达为对称轴(包括倒转轴)的形式，所以对称元素之间的组合规律就可以用上述的三个公式来描述。对于对称轴之间的垂直与包含特殊的情况，即角度为O，90等特殊角，可以使得上述的表达更加简化。3.4对称元素的组合定理1：如果一个二次轴L2垂直于n次轴Ln，那么必定有n个L2垂直于Ln，且相邻的两个L2的夹角为Ln的基转角的一半〔360º/2n〕。逆定理：如任二相邻L2之间均以角相交时，那么过两者交点之公共垂线必为一n次对称轴Ln，n＝360º/2。3.4对称元素的组合L2Ln()LnnL2()L2(L1L2)、3L2(L22L2)、L33L2、L44L2、L66L2定理2：如果有一个对称面P垂直于偶次对称轴Ln，那么在其交点存在对称中心C。逆定理：如有一个偶次对称轴Ln与对称中心C共存时，那么过C且垂直于Ln的平面必为一对称面P。反之如果有一P和C共存时，那么过C点且垂直于P的直线必为一L2〔此L2有时可能包含在L4或L6内而不以独立对称要素的形式出现〕。3.4对称元素的组合LnP()=LnCLnPC(n=偶数)L2PC、L4PC、L6PC3.4对称元素的组合定理3：如有一个对称面P包含一n次对称轴Ln〔即Ln与P平行且位于P平面之内〕时，那么必有n个P同时包含此Ln，且任二相邻P之间的交角均等于360º/2n。逆定理：如任二相邻P之间均以角相交时，那么两者之交线必为一n次对称轴Ln，n＝360º/2。LnP()LnnPP(L1P)、L22P、L33P、L44P、L66P3.4对称元素的组合定理4：如有一个对称面P包含旋转反伸轴Lin，或有一个二次轴L2垂直旋转反伸轴Lin时，那么当n为奇数那么必有n个P同时包含此Lin和n个L2垂直此Lin，且P之法线与L2平行，相邻之间的夹角均为360º/2n；当n为偶数时，必有n/2个P同时包含此Lin，并有n/2个共点的L2垂直此Lin，且P之法线与相邻L2之间的夹角均为360º/2n。逆定理：如有一L2与一P斜交，P的法线与L2的交角为，那么平行P且垂直于L2的垂线必为一n次旋转反伸轴Lin，n＝360º/2。3.4对称元素的组合3.4对称元素的组合LinP()=LinL2()LinnL2nP(n=奇数)LinP()=LinL2()Linn/2L2n/2P(n=偶数)Li33L23P(L33L23PC)、Li42L22P、Li63L23P3.4对称元素的组合在晶体外形中，表现出来的对称元素只有对满意、对称面以及轴次为1，2，3，4，6的对称轴和倒转轴(映转轴)，与这些对称元素相应的对称操作都是点操作。当晶体具有一个以上的对称元素时，这些对称元素一定要通过一个公共点，即晶体的中心。将所有可能的对称元素组合加起来，总共有32种类型，这32种类型相应的对称操作群称为晶体学的32种点群，也叫32种对称型。3.5晶体的32种点群及其符号3.5晶体的32种点群及其符号为了推导的方便，把高次轴(n>2)不多于一个的组合称为A类组合，高次轴多于一个的组合称为B类组合。A类组合的推导独立的宏观对称元素，有10种：L1，L2，L3，L4，L6，C(=Li1)，P〔=L3+C〕，Li4，Li6〔=L3+P〕〔1〕对称元素单独存在。此时可能的组合为L1、L2、L3、L4、L6、C、P、L3C、Li4和L3P〔2〕对称轴与对称轴的组合由于A类组合高次轴不多于一个，所以只考虑Ln和L2的组合。当和L2平行，按照对称轴选取原那么，只选取高次轴，所以这种情形没有意义；当和L2斜交，那么会出现多个Ln的情况，那么不属于A类的组合。因此这里只考虑两者垂直的组合。根据定理1，L2、3L2、L33L2、L44L2、L66L2根据定理4，L2PC、L33L23PC、L22P、Li42L22P、Li63L23P3.5晶体的32种点群及其符号〔3〕对称轴与垂直于它的对称面的组合根据定理2，L2PC、L4PC、L6PC。对于奇数轴，P、Li6〔4〕对称轴与包含它的对称面组合根据定理3，P、L22P、L33P、L44P、L66P。3.5晶体的32种点群及其符号〔5〕对称轴与包含它的对称面以及垂直它的对称面的组合此种情况下由于垂直Ln的P以及包含P之交线必定为垂直Ln的L2(定理3的逆定理)，所以3.5晶体的32种点群及其符号LnP()P()=LnP()P()L2()LnnL2(n+1)P当n为偶数时，还会派生出一个对满意〔定理2〕故可以有以下组合L22P、3L23PC、L33L24P(Li63L23P)、L44L25PC、L66L27PC可得到27种A类组合。由于B类组合高次轴多于一个，而晶体中又不存在五次和高于六次的对称轴，根据对称元素组合规律，推导出来的组合形式只有3L24L3和3L44L36L2两种。

3.5晶体的32种点群及其符号在有几个高次轴组合时，如Ln和Lm(m,n>2)，高次轴Ln和Lm相交于O点，那么在Ln周围必能找到n个Lm，在每个Lm上距O点等距离的地方取一点，连接这些点一定会得到一个正n边形，Ln位于正n边形面中心而Lm分布于正n边形的角顶，每个角顶周围m个正n边形围成一个m面角。这样两个高次轴相交必然产生凸正多面体。3.5晶体的32种点群及其符号

一个凸多面体的多面角至少需要三个面构成，每个多面角面角之和要小于360

，因此只能是正三角形、正方形、正五边形。多面角由3个、4个或5个正三角形分别构成正四面体、正八面体、正三角二十面体。多面角由3个正方形构成的是立方体。多面角由3个正五边形构成的是正五角十二面体。3.5晶体的32种点群及其符号3.5晶体的32种点群及其符号将3L24L3作为原始形式，〔1〕与L2组合，新增加的L2与原来3L2中的一个L2垂直，并与另外两个L2成45交角。在此，根据定理1的逆定理，因为两个L2成45交角，原来的3L2便变成了3L4。故对称元素组合为3L44L36L2。3.5晶体的32种点群及其符号〔2〕3L24L3与对满意组合因C与每个L2相组合均产生一个P(定理2)，所以共产生了三个P，每一个P均与一个L2垂直。故对称元素组合为3L24L33PC。3.5晶体的32种点群及其符号〔3〕3L24L3与包含的对称面所加的P的方位是既包含一个L2同时又包含两个L3，由此所产生的对称面，除去重复的以外，共出现6个P；在此，由于P的法线与L2成45交角，根据定理4的逆定理，原来三个L2的对称性已提高而变为Li4，故对称要素组合为3Li44L36P。〔4〕3L24L3与既有包含的对称面也有垂直L2的组合新增加的L2与原来3L2中的一个L2垂直，并与另外两个L2成45交角。在此，根据定理1的逆定理，因为两个L2成45交角，原来的3L2便变成了3L4。所加的P的方位是既包含一个L2同时又包含两个L3或两个L2，由此所产生的对称面，除去重复的以外，共出现9个P。因增加的L2和包含L3的P垂直，根据定理2的逆定理，必定产生对满意。故对称元素组合为3L44L36L29PC。3.5晶体的32种点群及其符号3.5晶体的32种点群及其符号

前面给出了对称元素的国际符号和习惯符号，对称元素还可以用图示的符号来表达(见表7-1)。习惯符号的组合来表示点群，没有考虑对称元素分布的方向性，但对于初学者而言易于理解和接受。点群国际符号(也称Hermann-Mauguin符号，或H—M符号)不是对称元素国际符号的简单叠加，而是更加简洁并且表示了对称元素的空间方位。圣佛利斯(Sch6nflies)符号也是一种常用的符号，简单表示了对称元素的组合方式。3.5晶体的32种点群及其符号3.5晶体的32种点群及其符号在晶体点群的国际记号中，用1，2，3，4，6分别表示相应轴次的旋转轴，假设数字上方配一横线，那么表示倒转轴，晶体中存在的倒转轴有1，2，3，4和6。国际符号用m表示对称面，当对称面包含旋转轴时，例如包含一个三次旋转轴，那么用3m表示；假设对称面垂直于三次轴，那么用3/m表示。32种点群完整形式和简化形式的国际符号(教材P.32-33)表示方式：由规定方向〔不超过三个〕上存在的对称要素构成，按规定方向的顺序依次排列表达。各晶系点群国际符号中的三个窥视方向

3.5晶体的32种点群及其符号各晶系点群国际符号窥视方向的空间方位3.5晶体的32种点群及其符号国际符号的简化原那么⑴省略某些对称轴：3L23PC：2/m2/m2/m--mmm。3L44L36L29PC：4/m32/m--m3m。注意：晶体分类的特征对称轴不能省去。L44L25PC：4/m2/m2/m--4/mmm⑵省略隐含其他对称要素中的对称要素L22P：mm2--mm。3.5晶体的32种点群及其符号实例说明：

--由点群L44L25PC导出国际符号：①L44L25PC属四方晶系，国际符号规定的窥视方向：

co、ao、(ao+bo)。②co方向(Z轴)上存在的对称要素有一个L4

和垂直此L4

的对称面P，第一位写做4/m；③ao方向(X轴)上存在的对称要素有一个L2

和垂直此L2

的对称面P，第二位写做2/m；④(ao+bo)方向(X与Y轴平分线)上的对称要素有一个L2

和垂直此L2

的对称面P，第三位写作2/m；⑤排列起来应写为：，最后简化为mm。

3.5晶体的32种点群及其符号--L2PC的国际符号：

①L2PC属单斜晶系，窥视方向是b0。

②b0方向上的对称要素有一个L2

和垂直L2

的对称面P，相应国际符号写做2/m。3.5晶体的32种点群及其符号3.5晶体的32种点群及其符号由国际符号mm导出点群：①首位6表示六方晶系，其国际符号的三个窥视方向为c0、a0、(2a0+b0)。②c0方向有一个L6和垂直L6的P，有L6×P⊥→L6P⊥C；③a0方向有一个平行L6的P，有L6×P//→L66P//④包含L6的P与垂直L6的P的交线必为垂直于L6的L2〔如图〕，于是有L6×L⊥2→L66L⊥2；⑤最后将所有对称要素组合得到

点群L66L27PC。1.Cn：代表Ln，C：Cyclishgroup；n：轴次。C1－L1C2－L2C3－L3C4－L4C6－

L63.5晶体的32种点群及其符号圣佛利斯(Sch6nflies)符号2.Cnh：代表Ln与水平P组合：Ln+P⊥=LnP(C)。h：horizontal。C1h－L1P=PC2h－L2PCC3h－L3P〔Li6〕C4h－L4PCC6h－L6PC3.5晶体的32种点群及其符号3.Cnv：代表Ln与直立P组合Ln+P∥=LnnP,V：VerticalC1v－L1P=PC2v－L22PC3v－L33PC4v－L44PC6v－L66P3.5晶体的32种点群及其符号4.Dn：Ln与垂直的L2组合

Ln+L2⊥=LnnL2D1－L1L2=L2，D2－L22L2=3L2，D3－L33L2D4－L44L2，D6－L66L23.5晶体的32种点群及其符号5.Dnh：Dn与水平对称面组合：

Ln+L2⊥+P⊥=LnnL2(n+1)P(C)组合D1h－L1L22P=L22PD2h－L22L23PC=3L23PCD3h－L33L24P=Li63L23PD4h－L44L25PCD6h－L66L27PC3.5晶体的32种点群及其符号6.Dnd：d：diagonalD2d－Li42L22PD3d－Li33L23P=L33L23PC。

3.5晶体的32种点群及其符号7.i－反伸Ci－Li1=CC3i－Li3=L3C。C4i－Li48.四面体的T－3L