《复变函数与积分变换》§6.1 保角映射的概念_第1页
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第六章保角映射本章将从几何角度来对解析函数做进一步研究，由解析函数所实现的映射，能把区域映射成区域，且在导数不为零的点的邻域，具有伸缩率和旋转角不变性，称为保角映射．本章先分析解析函数所构成映射的特性，再进一步研究保角映射．§6.1保角映射的概念§6.2分式线性映射§6.3惟一决定分式线性映射的条件§6.4几个初等函数构成的映射本章内容§6.1保角映射的概念解析函数的导数的几何意义一设函数在区域内解析，且为内过点的任一条正向光滑曲线，参数方程为：其正向对应于参数增大的方向，且导数的辐角的几何意义1解析函数的导数的几何意义一先做以下规定：切线的正向．（1）有向曲线上点处的正向切线方向为该曲线在点处与交点处的两切线正向间的夹角．的正向之间的夹角为：（2）相交于一点的两有向曲线与因此当时，与轴正向的夹角为解析函数的导数的几何意义一令曲线在平面上的像曲线为，的参数方程为：由则在处与轴正向的夹角为：则（见上图）解析函数的导数的几何意义一即上式可理解为：将平面中的将映射成，处的切线正向与处的切线正向之间的角度相差，即处的切线旋转称为函数在处的旋转角．曲线映射为平面中的曲线时，可得到处的切线．解析函数的导数的几何意义一由前面的分析可知只与映射与曲线无关，有关，而这个性质称为旋转角不变性．设过点有两条有向光滑曲线的有向光滑曲线．平面的过设在处的夹角为，在处的夹角则考虑：该性质称为映射的保角性．通过映射变为为多少？解析函数的导数的几何意义一导数的模的几何意义2由于其中与分别表示曲线和上的弧长的增量．即小的弧长之间的比值，称为在处的伸缩率．则表示了在处的无穷小的弧长与在处的无穷显然也与曲线无关，这一性质称为伸缩率不变性．解析函数的导数的几何意义一设函数在区域内解析，且，在点具有：则映射（1）保角性──在点处两条曲线的夹角与映射后两条像曲线在处的夹角不变；（2）伸缩率不变性──过点的任一条曲经的伸缩率均为．定理6.1为内一点，解析函数的导数的几何意义一例1求映射在点处的旋转角，并说明该映射将平面内哪一部分放大？哪一部分缩小？解：则所以在点处的旋转角为．又因为当时，当时，的圆周内部缩小，所以该映射把以为圆心，半径为外部放大．保角映射的概念二定义6.1若函数在点具有保角性和伸缩率不变性，则称映射在是保角的．若函数在区域内每一点都是保角的，是

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