专题20函数的综合性质单调性奇偶性对称性周期性（解析版）

专题20函数的综合性质：单调性、奇偶性、对称性、周期性【考点预测】1、函数的单调性（1）单调函数的定义一般地，设函数的定义域为，区间：如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．=1\*GB3①属于定义域内某个区间上；=2\*GB3②任意两个自变量，且；=3\*GB3③都有或；=4\*GB3④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．（2）单调性与单调区间=1\*GB3①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．=2\*GB3②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．（3）复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.2、函数的奇偶性函数奇偶性的定义及图象特点奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数关于轴对称奇函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数关于原点对称判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)．3、函数的对称性(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．(3)若，则函数关于对称．(4)若，则函数关于点对称．4、函数的周期性（1）周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.（2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期.【方法技巧与总结】1、单调性技巧（1）证明函数单调性的步骤①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；③定号：判断差的正负或商与的大小关系；④得出结论．（2）函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（3）记住几条常用的结论：①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数；③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．2、奇偶性技巧(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.(2)奇偶函数的图象特征.函数是偶函数函数的图象关于轴对称；函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称.(3)若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则.(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如.对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.(7)复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.(8)常见奇偶性函数模型奇函数：=1\*GB3①函数或函数．=2\*GB3②函数．=3\*GB3③函数或函数=4\*GB3④函数或函数．注意：关于=1\*GB3①式，可以写成函数或函数．偶函数：=1\*GB3①函数．=2\*GB3②函数．=3\*GB3③函数类型的一切函数．④常数函数3、周期性技巧4、函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.5、对称性技巧（1）若函数关于直线对称，则．（2）若函数关于点对称，则．（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．【典型例题】例1．（多选题）（2022·江苏省南通高一期中）定义在上的函数满足，当时，，则以下结论正确的是（

）A． B．为奇函数C．为单调减函数 D．为单调增函数【答案】ABD【解析】令得，即得，A正确；在定义域范围内令得，即得是奇函数，B正确；令，，且，所以，又且，，所以，即，所以，即所以在上是单调增函数，D正确，C错误．故选：ABD．例2．（多选题）（2022·重庆高一期中）已知函数的定义域为，且满足当时，，当时，，为非零常数，则下列说法正确的是（

）A．当时，B．当时，在单调递增C．当时，记函数与的图象在的个交点为，则D．当时，在上的值域为【答案】ACD【解析】，当时，，函数周期为2，，A正确；当时，取，，，函数单调递减，B错误；，，当时，，函数简图如图所示，根据图像与的图像交点分别为，，，，，故，C正确；当时，，，函数简图如图所示：，根据图像知，函数在和上单调递增，在上单调递减，，现考虑轴上每4个单位长度为一段的函数值，最大值依次变大，最小值依次变小，故只需考虑最后一段即可，，，故值域为，D正确.故选：ACD例3．（2022·上海高一期末）且，则的值为________．【答案】【解析】由题意，，，故.又，所以，又，从而．故答案为：例4．（2022·福建·福州市第十高一期中）已知是定义域为的奇函数，是偶函数，且当时，，则_________.【答案】【解析】为偶函数，故可得，即，又为奇函数，则，则，，故，，即是周期为的函数，又为上的奇函数，则，又，则.故答案为：.例5．（2022·河北·张家口市第四高一期中）已知函数是定义在上的偶函数，且，则m的取值范围的集合是______.【答案】或.【解析】由题得.所以，因为函数是偶函数，所以.所以.所以函数在单调递减，在单调递增.因为，所以，平方得或.所以m的取值范围的集合是或.故答案为：或.例6．（2022·广东实验高一期中）若函数的图象关于直线对称，则的最小值是______．【答案】【解析】由于，且，所以则是函数的两个零点又函数的图象关于直线对称，则函数另外两个零点为则方程的两根分别为，所以则，又，所以于是当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是.故答案为：.【过关测试】一、单选题1．（2022·上海高一期末）已知，是定义在上的严格增函数，，若对任意，存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”．已知，则下列四个函数中是在上的“追逐函数”的个数为（

）个．①；②；③；④．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由题意，需满足：与在上的值域都是，且对任意的，的图象恒的上方，当时：①的值域符合题意，且，符合题意.②的值域符合题意，且，符合题意.③，指数函数比二次函数增长快，比如：当时，，不符合题意.④由于，所以不符合题意.综上所述，正确的有个.故选：B2．（2022·河南·高一期中）设是定义在上的奇函数，则（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】是定义在上的奇函数，∴，即，且，∴，且，所以，∴．故选：C．3．（2022·重庆高一期中）已知函数的图像如图所示，则此函数可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】的定义域为，不符合函数图像，A不满足；的定义域为，不符合函数图像，B不满足；，，不符合函数图像，D不满足.故选：C4．（2022·辽宁实验高一期中）定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】又，，有，设，有，则，都有，所以在区间上单调递减，，则当时，由，得，即，解得，故原不等式的解集为.故选：D.5．（2022·湖南·常德市高一期中）已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意得，函数的定义域是，且，所以是奇函数，又函数与函数都是R上的增函数，则在上单调递增，所以可化为：，由递增知：，即，则对任意的，恒成立，等价于对任意的，恒成立，所以，解得，即的取值范围是，故选：D．6．（2022·重庆高一期中）定义在上的函数满足，，且当时，，则方程所有的根之和为（

）A．44 B．40 C．36 D．32【答案】A【解析】由可得函数为奇函数，且关于对称，又由题意，故，所以函数关于中心对称，且，故函数的周期为.又当时，，此时，故函数在上单调递增，综上可画出的部分图象，又方程的根，即与的交点，由图可知：函数的最大值为，当时，，此时直线与曲线交于最高点，所以与在上有个交点，根据函数的对称性可知：在也有个交点，并且两两关于中心对称，加上共11个，故其根之和为，故选：.7．（2022·重庆高一期中）已知函数定义域为，为偶函数，为奇函数，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，定义域为，由于为偶函数，图象关于轴对称，所以图象关于直线对称，为奇函数，，由，以替换，，所以，所以，所以是周期为的周期函数.由得，所以关于对称，令，，所以.所以D选项正确，ABC选项无法判断.故选：D8．（2022·辽宁·育明高中高一期中）已知函数与函数（为常数），若函数恰有三个零点，则的值为（

）A．2 B． C．3 D．1【答案】C【解析】因为，所以关于中心对称，又，所以在图象上，因为，所以过点，则函数和的图象都关于中心对称，设，函数的零点即与图象交点的横坐标，所以，点和点关于中心对称，则，.故选：C.二、多选题9．（2022·重庆市永川中高一期中）已知定义在R上的奇函数满足，下列结论正确的是（）A．B．是函数的最小值C．D．函数的图像的一个对称中心是点【答案】ACD【解析】因为定义在R上的奇函数满足，所以，即，故A正确；如图函数满足题意，而不是函数的最小值，故B错误；由题可得，故C正确；由，可知函数的图像关于对称，即的图像的一个对称中心是点，故D正确.故选：ACD.10．（2022·河北·张家口市第四高一期中）下列命题正确的是（

）A．函数是偶函数B．若对任意，，当时，，则在I上是增函数C．函数在区间上单调递增的充要条件是D．定义域为的函数的图象关于直线对称，函数是偶函数【答案】BD【解析】对于A，因为函数的定义域为，关于原点对称，，所以为奇函数，故A错误；对于B，当时，即，由知，，即，所以在I上是增函数，故B正确；对于C，函数，则当函数在上单调递增，则，故C错误；对于D，因为定义域为的函数的图像关于直线对称，则函数的图像关于轴对称，故函数是偶函数故D正确.故选:BD11．（2022·江苏·苏州高一期中）已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，则（

）A．关于x的方程在区间上的所有实数根的和为B．关于x的方程在区间上的所有实数根的和为C．若函数与的图象恰有5个不同的交点，则或D．若函数与的图象恰有5个不同的交点，则或【答案】AC【解析】定义在R上的奇函数满足，所以，所以，即函数的周期，又函数为定义在R上的奇函数，所以，又，所以函数关于对称，当时，，解得，作函数的大致图象，如图，由图可知方程在区间上的所有实数根的和为，故A正确，B错误；若函数与的图象恰有5个不同的交点，当时，由图象可知，直线过点时，即时，满足题意，当时，找出两个临界情况，当直线过时，，有3个交点当直线过时，有6个交点，由图象知，当时，直线与的图象有5个交点.综上，当或时，函数与的图象恰有5个不同的交点，故C正确D错误.故选：AC12．（2022·湖南·邵阳市第二高一期中）定义在R上函数满足：，，，设，则（

）A．的图象关于直线x=2022对称B．的图象关于点（2022，0）中心对称C．D．为偶函数【答案】BCD【解析】，函数为奇函数，图象关于原点对称，又，∴，，∴是周期函数，4是它的一个周期，函数图象关于中心对称，由得函数的图象关于直线x=1轴对称，，∴图象关于（2022，0）中心对称，B正确，A错误；又，C正确；，则，所以是偶函数，D正确故选：BCD．三、填空题13．（2022·辽宁·凤城市第一高一期中）已知函数，若存在正实数a，使得函数在区间有最大值及最小值m，则______.【答案】15【解析】令，其定义域为，，即为奇函数，即函数在区间上满足，所以，即故答案为：14．（2022·河北衡水高一期中）已知函数为定义在上的奇函数，满足对，，其中，都有，且，则不等式的解集为________（写成集合或区间的形式）【答案】【解析】因为，所以当时，，令，则在上单调递增，又因为为定义在R上的奇函数,所以，所以是偶函数，且在上单调递减，因为，所以，等价于或，所以或，即不等式的解集为.故答案为：.15．（2022·辽宁·育明高中高一期中）已知函数定义域为区间，且图像关于点中心对称.当时，，则满足的的取值范围是__________.【答案】【解析】因为函数，在上单调递增，所以当时，单调递增，因为关于中心对称，所以，且在上单调递增，不等式可整理为，即，则，解得.故答案为：.16．（2022·广东·广州市黄广高一期中）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则____________．【答案】【解析】由题设，，则关于、对称，所以，故周期为4，又，而，综上，可得，故时，由.故答案为：四、解答题17．（2022·河南·高一期中）已知定义在R上的奇函数满足．(1)求实数a的值；(2)当时，用定义证明函数为单调递增函数；(3)当时，解不等式．【解析】（1），∴，∵为奇函数，∴，即，化简得，∴；（2）证明：设为区间上的任意两个值，且，，因为，所以，，，，即，即所以函数在上是增函数．（3）因为为奇函数且在上是增函数，所以，得，则，解得：，故．18．（2022·黑龙江·佳木斯高一期末）已知是定义在上的函数，满足.(1)若，求；(2)求证：的周期为4；(3)当时，，求在时的解析式.【解析】(1)∵，∴.(2)∵对任意的，满足∴，∴函数是以4为周期的周期函数.(3)设，则，∵当时，，∴当时，，又∵，∴∴.19．（2022·北京交通大学附属高一期中）已知函数的图像过点．(1)求函数的解析式并直接写出函数的定义域和值域；(2)求的值并指出函数的对称中心；(3)用单调性定义证明：函数在区间上是减函数；(4)求函数在上的最值；(5)若把函数定义在集合上，使它的值域是，直接写出集合．【解析】（1）由函数的图像过点，所以，所以所以函数的解析式为由函数的定义域为：，由所以函数的值域为：（2）由（1）所以由，所以函数的对称中心为（3）证明：设，且所以因为，且所以，，所以，所以，又所以函数在区间上是减函数（4）由（3）知函数在区间上是减函数，所以函数在区间上是减函数所以（5）令，所以，当为时，有函数的值域是20．（2022·广东汕头·高一期末）我们知道：设函数的定义域为，那么“函数的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“，”.有同学发现可以将其推广为：设函数的定义域为，那么“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件是“，”.(1)判断