山西省太原市山西大学附中2023-2024学年数学高二上期末教学质量检测试题含解析

山西省太原市山西大学附中2023-2024学年数学高二上期末教学质量检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．将数列中的各项依次按第一个括号1个数，第二个括号2个数，第三个括号4个数，第四个括号8个数，第五个括号16个数，…，进行排列，，，…，则以下结论中正确的是（）A.第10个括号内的第一个数为1025 B.2021在第11个括号内C.前10个括号内一共有1025个数 D.第10个括号内的数字之和2．在等差数列中，若的值是A.15 B.16C.17 D.183．已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是（）A.当时，曲线C为圆B.“”是“曲线C为焦点在x轴上的双曲线”的充分而不必要条件C.“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要而不充分条件D.存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为4．命题“，均有”的否定为（）A.，均有 B.，使得C.，使得 D.，均有5．若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（）A. B.C. D.6．圆上到直线的距离为的点共有A.个 B.个C.个 D.个7．从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A.取出的球至少有1个红球；取出的球都是红球B.取出的球恰有1个红球；取出的球恰有1个白球C.取出的球至少有1个红球；取出的球都是白球D.取出的球恰有1个白球；取出的球恰有2个白球8．已知等比数列满足，，则数列前6项的和（）A.510 B.126C.256 D.5129．直线且的倾斜角为（）A. B.C. D.10．若抛物线焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为A. B.C. D.11．实数m变化时，方程表示的曲线不可以是（）A.直线 B.圆C椭圆 D.双曲线12．已知等差数列的前n项和为，且，，若（，且），则i的取值集合是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，则满足实数的取值范围是__14．牛顿迭代法又称牛顿－拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设r是函数y＝f(x)的一个零点，任意选取x0作为r的初始近似值，作曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线l1，设l1与x轴交点的横坐标为x1，并称x1为r的1次近似值；作曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线l2，设l2与x轴交点的横坐标为x2，并称x2为r的2次近似值．一般的，作曲线y＝f(x)在点(xn，f(xn))(n∈N)处的切线ln＋1，记ln＋1与x轴交点的横坐标为xn＋1，并称xn＋1为r的n＋1次近似值．设f(x)＝x3＋x－1的零点为r，取x0＝0，则r的2次近似值为________15．如图，把正方形纸片沿对角线折成直二面角，则折纸后异面直线，所成的角为___________.16．已知椭圆：的右焦点为，且经过点（1）求椭圆的方程以及离心率；（2）若直线与椭圆相切于点，与直线相交于点．在轴是否存在定点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日.某研究机构为了解当地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：（1）求的值；（2）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于，和的年轻人中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中至少有1人每天阅读时间位于的概率.18．（12分）已知数列的前项和，数列是各项均为正数的等比数列，其中，且成等差数列.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.19．（12分）已知数列{}的首项＝2，(n≥2，)，，.（1）证明：{+1}为等比数列；（2）设数列{}的前n项和，求证：.20．（12分）已知椭圆C的两焦点分别为，长轴长为6⑴求椭圆C的标准方程;⑵已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点,求线段AB的长度21．（12分）如图，在多面体ABCEF中，和均为等边三角形，D是AC的中点，（1）证明：（2）若平面平面ACE，求二面角的余弦值.22．（10分）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作斜率为的弦.求：（1）弦的长；（2）△的周长.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由第10个括号内的第一个数为数列的第512项，最后一个数为数列的第1023项，进行分析求解即可【详解】由题意可得，第个括号内有个数，对于A，由题意得前9个括号内共有个数，所以第10个括号内的第一个数为数列的第512项，所以第10个括号内的第一个数为，所以A错误，对于C，前10个括号内共有个数，所以C错误，对于B，令，得，所以2021为数列的第1011项，由AC选项的分析可得2021在第10个括号内，所以B错误，对于D，因为第10个括号内的第一个数为，最后一个数为，所以第10个括号内的数字之和为，所以D正确，故选：D【点睛】关键点点睛：此题考查数列的综合应用，解题的关键是由题意确定出第10个括号内第一个数和最后一个数分别对应数列的哪一项，考查分析问题的能力，属于较难题2、C【解析】由已知直接利用等差数列的性质求解【详解】在等差数列{an}中，由a1+a2+a3=3，得3a2=3，即a2=1，又a5=9，∴a8=2a5-a2=18-1=17故选C【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，是基础题3、C【解析】根据椭圆、双曲线的定义及简单几何性质计算可得；【详解】解：由题意，曲线C的方程为，对于A中，当时，曲线C的方程为，此时曲线C表示椭圆，所以A错误；对于B中，当曲线C的方程为表示焦点在x轴上的双曲线时，则满足，解得，所以“”是“曲线C为焦点在x轴上的双曲线”的必要不充分条件，所以B不正确；对于C中，当曲线C的方程为表示焦点在x轴上的椭圆时，则满足，解得，所以“”是“曲线C为焦点在x轴上的双曲线”的必要不充分条件，所以C正确；对于D中，当曲线C的方程为表示双曲线，且离心率为时，此时双曲线的实半轴长等于虚半轴长，此时，解得，此时方程表示圆，所以不正确.故选：C.4、C【解析】全称命题的否定是特称命题【详解】根据全称命题的否定是特称命题，所以命题“，均有”的否定为“，使得”故选：C5、B【解析】根据双曲线标准方程直接判断.【详解】方程即为，由方程表示双曲线，可得，所以，，所以虚轴长为，故选：B.6、C【解析】求出圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离和圆的半径的关系即可得解.【详解】圆可变为，圆心为，半径为，圆心到直线的距离，圆上到直线的距离为的点共有个.故选：C.【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，考查了学生合理转化的能力，属于基础题.7、D【解析】利用互斥事件、对立事件的定义逐一判断即可.【详解】A答案中的两个事件可以同时发生，不是互斥事件B答案中的两个事件可以同时发生，不是互斥事件C答案中的两个事件不能同时发生，但必有一个发生，既是互斥事件又是对立事件D答案中的两个事件不能同时发生，也可以都不发生，故是互斥而不对立事件故选：D【点睛】本题考查的是互斥事件和对立事件的概念，较简单.8、B【解析】设等比数列的公比为，由题设条件，求得，再结合等比数列的求和公式，即可求解.【详解】设等比数列的公比为，因为，，可得，解得，所以数列前6项的和.故选：B.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等比数列的前项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.9、C【解析】由直线方程可知其斜率，根据斜率和倾斜角关系可得结果.【详解】直线方程可化为：，直线的斜率，直线的倾斜角为.故选：C.10、D【解析】解：椭圆的右焦点为(2,0)，所以抛物线的焦点为(2,0)，则，故选D11、B【解析】根据的取值分类讨论说明【详解】时方程化为，为直线，时，方程化为，为椭圆，时，方程化为，为双曲线，而，因此曲线不可能是圆故选：B12、C【解析】首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足的i的取值集合.【详解】设公差为d，由题知，，解得，，所以数列为，故.故选：C.【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】分别对，分别大于1，等于1，小于1的讨论，即可.【详解】对，分别大于1，等于1，小于1的讨论，当,解得当，不存在，当时，，解得，故x的范围为点睛】本道题考查了分段函数问题，分类讨论，即可，难度中等14、##【解析】利用导数的几何意义根据r的2次近似值的定义求解即可【详解】由，得，取，，所以过点作曲线的切线的斜率为1，所以直线的方程为，其与轴交点的横坐标为1，即，因为，所以过点作曲线的切线的斜率为4，所以直线的方程为，其与轴交点的横坐标为，即，故答案为：15、##30°【解析】过点E作CE∥AB，且使得CE=AB，则四边形ABEC是平行四边形，进而（或其补角）是所求角，算出答案即可.【详解】过点E作CE∥AB，且使得CE=AB，则四边形ABEC是平行四边形，设所求角为，于是.设原正方形ABCD边长为2，取AC的中点O，连接DO,BO，则且，而平面平面，且交于AC，所以平面ABEC，则.易得，，，而则于是，,.在中，，取DE的中点F，则，所以，即，于是.故答案为：.16、（1），；（2）存在定点，为【解析】（1）利用，，求解方程（2）设直线方程为，与椭圆联立利用判别式等于0得，并求得切点坐标及，假设存在点，利用化简求值【详解】（1）由已知得，，，，椭圆的方程为，离心率为；（2）在轴存在定点，为使，证明：设直线方程为代入得，化简得由，得，，设，则，，则，设，则，则假设存在点解得所以在轴存在定点使【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查切线的应用，利用判别式等于0得坐标是解决问题的关键,考查计算能力,是中档题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）由频率之和为1求参数.（2）由分层抽样的比例可得抽取的5人中，和分别为：1人，2人，2人，再应用列举法写出所有基本事件，根据古典概型的概率计算即可.小问1详解】根据频率分布直方图得：，解得；【小问2详解】由于，和的频率之比为：，故抽取的5人中，，和别为：1人，2人，2人，记的1人为，的2人为，，的2人为，，故随机抽取2人共有，，，，，，，，，10种，其中至少有1人每天阅读时间位于的包含，，，，，，共7种，故概率.18、（1），;（2）.【解析】（1）利用求出数列的通项，再求出等比数列的公比即得解；（2）求出，再利用错位相减法求解.【小问1详解】解：，.当时，，适合..设等比数列公比为，，，即，或（舍去），.【小问2详解】解：，，，上述两式相减，得，所以所以.19、（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】(1)利用已知条件证明为常数即可；(2)求出和通项公式，再求出通项公式，利用裂项相消法可求，判断的单调性即可求其范围.【小问1详解】∵＝2，(n≥2，)，∴当n≥2时，(常数)，∴数列{＋1}是公比为3的等比数列；【小问2详解】由(1)知，数列{＋1}是以3为首项，以3为公比的等比数列，∴，∴，∴∵，∴∴，∴∴.当n≥2时，∴{}为递增数列，故的最小值为，∴.20、（1）；（2）【解析】(1)由焦点坐标可求c值，a值，然后可求出b的值．进而求出椭圆C的标准方程（2）先求出直线方程然后与椭圆方程联立利用韦达定理及弦长公式求出|AB|的长度【详解】解：⑴由，长轴长为6得：所以∴椭圆方程为⑵设,由⑴可知椭圆方程为①,∵直线AB的方程为②把②代入①得化简并整理得所以又【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查韦达定理及弦长公式的应用，考查运算能力，属于中档题21、（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得到、，即可得到平面，再根据，即可得证；（2）由面面垂直的性质得到平面，建立如图所示空间直角坐标系，设，即可得到点，，的坐标，最后利用空间向量法求出二面角的余弦值；小问1详解】证明：连接DE因为，且D为AC的中点，所以因为，且D为AC的中点，所以因为平面BDE，平面BDE，且，所以平面因为，所以平面BDE，所以【小问2详解】解：由（1）可知因为平面平面，平面平面，平面，所以平面