江西省宜春市车上中学高三数学文联考试题含解析

江西省宜春市车上中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中,记,,,,AD是边BC的高线,O是线段AD的中点,则 ()A.

B.

C.

D. 参考答案：D由题意易得,由,得,则，故选D.2.已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于（

）A．30

B．45

C．90

D．186参考答案：C略3.设，则展开式中含项的系数是（

）A．-80

B．80

C．-40

D．40参考答案：D，通项公式，令，，所以展开式中含项的系数是，故选择D。4.已知平面直角坐标系上的区域D由不等式组给定，若M为D上的动点，点A的坐标为，则的最大值为

A.3

B.4

C．

D．参考答案：B5.已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn，则满足不等式|Sn－n－6|<的最小整数n是

(A)5

(B)6

(C)7

(D)8

参考答案：C解：(an+1－1)=－(an－1)，即{an－1}是以－为公比的等比数列，

∴an=8(－)n－1+1．∴Sn=8·+n=6+n－6(－)n，T6·<，Tn≥7．选C．6.已知全集U=N，集合，，则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D略7.△ABC中，“A＞”是“sinA＞”的(

) A．必要不充分条件 B．充分必要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：解三角形．分析：利用充要条件的概念即可判断是什么条件，从而得到答案．要注意三角形内角和是π，不要丢掉这个大前提．解答： 解：在△ABC中，“sinA＞”?“＞A＞”?“A＞”．必要性成立；反之，“A＞不能?“sinA＞”，如A=时，sinA=sin=sin＜sin=，即sinA，即充分性不成立，∴可判断A＞是sinA＞的必要而不充分条件．故选A．点评：本题考查充分条件、必要条件与充要条件的定义，正弦函数的值，本题解题的关键是通过举反例来说明某个命题不正确，这是一种简单有效的方法，本题是一个基础题．此题要注意思维的全面性，不能因为细节大意失分．8.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是由七块板组成的．而这七块板可拼成许多图形，例如：三角形、不规则多边形、各种人物、动物、建筑物等，清陆以湉《冷庐杂识》写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．在18世纪，七巧板流传到了国外，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》．若用七巧板拼成一只雄鸡，在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡尾（阴影部分）的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】设包含7块板的正方形边长为4，其面积为16，计算雄鸡的鸡尾面积为2，利用几何概型概率计算公式得解．【详解】设包含7块板的正方形边长为4，其面积为则雄鸡的鸡尾面积为标号为6的板块，其面积为所以在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡尾（阴影部分）的概率为.故选C.【点睛】本题主要考查了几何概型概率计算，考查观察能力，属于基础题．9.对于平面直角坐标系内任意两点，，定义它们之间的一种“折线距离”：．则下列命题正确的个数是

（

）.①若，，则；②若点在线段上，则；③在中，一定有；④在中，一定有.（A）1个

（B）2个

（C）3个

（D）4个参考答案：C10.已知函数f（x）＝x3＋ax＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为（）

A.－2B.－C.－2或一D.不存在参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数满足，函数关于点对称，，则_________参考答案：略12.圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）．若AM⊥MP，则P点形成的轨迹的长度为．参考答案：【考点】轨迹方程；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设出动点的坐标，利用向量的坐标公式求出向量坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程求出动点P的轨迹方程，得到P的轨迹是底面圆的弦，利用勾股定理求出弦长．【解答】解：以AB所在直线为x轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），B（0，1，0），，，设P（x，y，0）．于是有．由于AM⊥MP，所以，即，此为P点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为故答案为【点评】本题考查通过建立坐标系，将求轨迹问题转化为求轨迹方程、考查向量的数量积公式、向量垂直的充要条件、圆的弦长的求法．13.已知，，且，则的最大值等于_____.参考答案：14

略14.函数的单调递增区间为

.参考答案：略15.已知中心在坐标原点的椭圆的右焦点为，点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的方程为

.参考答案：由于两个焦点为（－1,0），（1,0）所以，16.已知数列{an}满足a1=33，an+1﹣an=2n，则的最小值为．参考答案：【考点】数列递推式；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】由累加法求出an=33+n2﹣n，所以，设f（n）=，由此能导出n=5或6时f（n）有最小值．借此能得到的最小值．【解答】解：an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2[1+2+…+（n﹣1）]+33=33+n2﹣n所以设f（n）=，令f′（n）=，则f（n）在上是单调递增，在上是递减的，因为n∈N+，所以当n=5或6时f（n）有最小值．又因为，，所以的最小值为17.《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的表面积为

．参考答案：16π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知可得该“堑堵”是一个以俯视图为底面的直三棱柱，求出棱柱外接球的半径，进而可得该“堑堵”的外接球的表面积．【解答】解：由已知可得该“堑堵”是一个以俯视图为底面的直三棱柱，底面外接球的半径r==，球心到底面的距离d==，故该“堑堵”的外接球的半径R==2，故该“堑堵”的外接球的表面积：S=4πR2=16π，故答案为：16π【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，球的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度基础．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆的离心率是，且经过抛物线的焦点。（1）求椭圆C的标准方程；（2）经过原点作直线l（不与坐标轴重合）交椭圆于A，B两点，轴于点D，点E为椭圆C上的点，且。若直线BE，BD的斜率均存在，且分别记为,求证：为定值；并求出该值。参考答案：（1）抛物线焦点为(0,1).…………….…………….…………….……………1分椭圆经过点(0,1)，，解得

.…………….…………….…………….……2分

解得.…………….…………….…………….…………4分∴椭圆C的标准方程为.…………….…………….…………….…………….…5分

（2）设，，则，..……………7分因为，所以，即，…………9分，又因为点，都在椭圆上，所以，所以即为定值1。……12分19.（本小题满分10分）如图,已知切⊙于点E,割线PBA交⊙于A、B两点,∠APE的平分线和AE、BE分别交于点C、D.求证:(Ⅰ);

(Ⅱ).参考答案：(Ⅰ)证明:切⊙于点,

平分

,

(Ⅱ)证明:∽,同理∽,

20.已知：直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O于A、F（不与B重合），直线l与⊙O相切于C，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC．（1）求证：∠BAC=∠CAG；（2）求证：AC2=AE?AF．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段．【专题】证明题；立体几何．分析：（1）连接BC，根据AB为⊙O的直径得到∠ECB与∠ACG互余，根据弦切角得到∠ECB=∠BAC，得到∠BAC与∠ACG互余，再根据∠CAG与∠ACG互余，得到∠BAC=∠CAG；（2）连接CF，利用弦切角结合（1）的结论，可得∠GCF=∠ECB，再用外角进行等量代换，得到∠AFC=∠ACE，结合∠FAC=∠CAE得到△FAC∽△CAE，从而得到AC是AE、AF的比例中项，从而得到AC2=AE?AF．证明：（1）连接BC，∵AB为⊙O的直径…∴∠ACB=90°?∠ECB+∠ACG=90°…∵GC与⊙O相切于C，∴∠ECB=∠BAC∴∠BAC+∠ACG=90°…又∵AG⊥CG?∠CAG+∠ACG=90°∴∠BAC=∠CAG…（2）由（1）可知∠EAC=∠CAF，连接CF∵GE与⊙O相切于C，∴∠GCF=∠CAF=∠BAC=∠ECB∵∠AFC=∠GCF+90°，∠ACE=∠ECB+90°∴∠AFC=∠ACE…∵∠FAC=∠CAE∴△FAC∽△CAE…∴∴AC2=AE?AF…【点评】本题综合考查了弦切角、三角形的外角定理和相似三角形的性质等知识点，属于中档题．解题时要注意充分利用互余的角和弦切角进行等量代换，方可得到相似三角形．21.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为.（1）求圆C的直角坐标方程；（2）过直线l上的一点向圆C引切线，求切线长的最小值.参考答案：（1）；（2）2.【分析】（1）将圆的极坐标方程利用两角和的正弦公式展开，并在等式两边同时乘以，再由可将圆的极坐标方程化为普通方程；（2）设直线上任意一点的坐标为，利用勾股定理以及两点间的距离公式得出切线长为，转化为关于的二次函数求出切线长的最小值.【详解】（1），，即，等式两边同时乘以得，所以，圆的普通方程为，即；（2）设上任意一点，，半径，切线长为，当且仅当时，切线长取最小值.【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的互化，同时也考查了圆的切线长的计算，计算时可以代数法求解，也可以利用几何法结合勾股定理求解，考查运算求解能力，属于中等题.22.近年来郑州空气污染较为严重，现随机抽取一年（365天）内100天的空气中PM2.5指数的监测数据，统计结果如下：PM2.5[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]＞300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数413183091115记某企业每天由空气污染造成的经济损失为S（单位：元），PM2.5指数为x．当x在区间[0，100]内时对企业没有造成经济损失；当x在区间（100，300]内时对企业造成经济损失成直线模型（当PM2.5指数为150时造成的经济损失为500元，当PM2.5指数为200时，造成的经济损失为700元）；当PM2.5指数大于300时造成的经济损失为2000元．（1）试写出S（x）的表达式；（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面列联表，并判断是否有95%的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关？附：P（K2≥k0）0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k01.322.072.703.745.026.637.8710.828，其中n=a+b+c+d．

非重度污染重度污染合计供暖季22830非供暖季63770合计8515100参考答案：【分析】（1）根据在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当PM2.5指数为150时造成的经济损失为500元，当PM2.5指数为200时，造成的经济损失为700元）；当PM2.5指数大于300时造成的经济损失为2000元，可得函数关系式；（2）由500＜S≤900，得150＜ω≤250，频数为39，即可求出概率；（3）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论．【解答】解：（1）根据在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当PM2.5指数为150时造成的经济损失为500元，当PM2.5指数为200时