2011第一章 解析函数

1数学物理方法数学是科学的大门和钥匙，忽视数学必将伤害所有的知识，因为忽视数学的人是无法了解任何其他科学乃至世界上任何其他事物的。

——（英）R.培根2数学物理方法复变函数篇数学物理方程篇积分变换篇数学物理方法复变函数论复变函数论复数及其运算复变函数微商及解析函数初等解析函数本章小结复数及其运算数的扩张（完善化）自然数（+负整数）整数（+分数）有理数（+无理数）实数（+虚数）复数复数及其运算复数概念：一对有序的实数（x，y）代数表示z=x+iyx=Real(z)（实部）,y=Imagine(z)（虚部）,i2=-1(虚单位）复数及其运算几何表示关系x=rcosφy=rsinφφ=Arctan(y/x)特点无序性复数无大小（模比较大小）矢量性复数有方向复数及其运算任一复数z≠0有无穷多个辐角（相差2kπ），以argz表示其中在2π范围内变换的一个特定值，称之为辐角的主值，通常取

-π＜argz≤π

则Argz=argz+2kπ（k=0，±1，±2，…）

z处于第一象限：argz=arctan（y/x）；第二象限：argz=arctan（y/x）+π；第三象限：argz=arctan（y/x）-π；第四象限：argz=arctan（y/x）。三角表示z=r(cosφ+isinφ)r=|z|（模）,ψ=Arg(z)（辐角）指数表示z=rexp(iφ)exp(iφ)=cosφ+isinφ代数表示z=x+iyx=Re(z),y=Im(z)复数的表示10

实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.例解.,的积是实数两个共轭复数zz结论：共轭复数11共轭复数的性质以上各式证明略.12例1证.(2);(1)

:

,

,

2121212121zzzzzzzzzz+£+=证明为两个任意复数设13两边同时开方得同理可证：14设z1=x1+iy1和

z2=x2+iy2是两个复数加减运算z1±

z2=(x1±

x2)

+i(y1±

y2)

复数加减法满足平行四边形法则，或三角形法则z1+(-

z2)-

z2复数的运算交换律、结合律、分配律成立15乘法运算

两个复数相乘等于它们的模相乘，幅角相加除法运算

两个复数相除等于它们的模相除，幅角相减乘方运算当r=1时上式对所有n取整数，恒成立。17开方运算从这个表达式可以看出：1）当k=0,1,2…n-1时，得到n个相异的值；当k取其他整数值时，将重复出现上述n个值。因此，一个复数z的n次方根有且仅有n个相异值。2）上述n个方根具有相同的模，而每个相邻值的辐角差为2π/n，故在几何上，w的n个值分布在以原点为中心，r1/n为半径的圆内接正n边形的顶点上。复数及其运算运算加减法(x1+iy1)±(x2+iy2)=(x1±x2)+i(y1±y2)乘除法r1exp(iφ1)×r2exp(iφ2)=r1r2exp[i(φ1+φ2)]幂和开方[rexp(iφ)]n=rnexp(inφ)[rexp(iφ)]1/n=r1/nexp(iφ/n)复共轭z=x+iy→

z*=x–iyz=rexp(iφ)→

z*=rexp(-iφ)复数及其运算模有限的复数和复数平面上的有限远点是一一对应的。复变函数理论中无穷大也理解为复数平面上的一个“点”，称为无限远点，记为∞，其模大于任何正数，辐角不定。平面上的具体点难以描绘无限远点，为此引入复球面的概念。

把一个球放在复平面，使其南极S与复平面相切于原点，复平面上任一点A与球的北极N连线交与球面A’点，则复平面上每一有限原点与球面上的点一一对应（此对应称测地投影），A无限远离o

时，A‘点无限趋近于N，故可将N看做无限远点的代表点。此球面称为复球面或黎曼球面，复平面上只有一个无穷远点。AxyoSA‘N21复平面上的点集

定义

由不等式(δ为任意的正数)所确定的复平面点集(以后平面点集均简称点集)，就是以z0为中心的δ邻域或邻域。而称由不等式

所确定的点集为z0的去心δ邻域或去心邻域。δ

无穷远点的邻域22

定义

设D为点集，z0为D中的一点。如果存在z0的一个邻域，该邻域内的所有点都属于D，则称z0为D的内点；若点z0的某一个邻域内的点都不属于D，则称点z0为D的外点。若在点z0的任意一个邻域内，既有属于D的点，也有不属于D的点，则称点z0为D的边界点，点集D的全部边界点称为D的边界。内点，外点，边界点开集

注意

区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的。定义

若点集D的点皆为内点，则称D为开集Dz0开集23

定义

点集D称为一个区域，如果它满足：

(1)

属于D的点都是D的内点，或D是一个开集；

(2)D是连通的，就是说D中任何两点z1和z2都可以用完全属于D的一条折线连接起来。

通常称具有性质(2)的集为连通的，所以一个区域就是一个连通的开集。区域D加上它的边界C(p)称为闭区域或闭域，记为区域Dz1z2p24邻域z复平面上圆

内点的集合内点z和它的邻域都属于D，则z为D的内点外点z

和它的邻域都不属于

D，则

z

为

D的外点边界点不是内点，也不是外点的点边界全体边界点的集合z区域内点组成的连通集合闭区域区域和边界线的全体区域区域概念总结25xyORxyORxyROr

1xyR-ROxOyxOy

2

1曲线

如果曲线的实部x(t)和虚部y(t)均为t的连续函数，那么曲线Г就叫连续曲线。

对于连续曲线，则曲线没有重点（纽结），则称Г为简单曲线。当时，则称简单闭曲线。

光滑曲线：若连续曲线在区间上存在连续的及，且两者不同时为零，则在曲线上每点均有切线且切线方向是连续变化的。简单闭曲线把扩充复平面分为两部分，一部分是不含∞的点集，称为该曲线的内部；另一部分是含∞的点集，称为该曲线的外部。这两个区域都以给的简单闭曲线（也称若尔当曲线）作为边界。曲线内外部区分（若尔当定理）28单连通域与多连通域

设B为复平面上的一个区域，如果在其中作一条简单的闭曲线（自身不相交的闭合曲线），而曲线内部总属于B

，则称B为单连通区域，否则称为多连通区域。BB单连通域多连通域29举例指出下列不等式中点z在怎样的点集中变动？这些点集是不是单连通区域？是否有界？301.2复变函数(一)复变函数的定义31映射(函数)的概念1.映射的定义:32332.两个特殊的映射:34且是全同图形.3536根据复数的乘法公式可知,37(如下页图)38

将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同一个长方形.39以原点为焦点,开口向左的抛物线.(图中红色曲线)以原点为焦点,开口向右的抛物线.(图中蓝色曲线)40(四）函数的极限1.函数极限的定义:注意:41定理一与实变函数的极限运算法则类似.2.极限计算的定理42定理二证根据极限的定义(1)必要性.43(2)充分性.44[证毕]说明45例1证(一)46根据定理二可知,证(二)4748例2证49根据定理二可知,50（五）函数的连续性1.连续的定义:51定理三例如,52定理四53例3证541.3导数(微分)1.导数的定义:55在定义中应注意:56例1

解57例2

解58592.可导与连续:

函数f(z)在z0处可导则在z0处一定连续,但函数f(z)在z0处连续不一定在z0处可导.证[证毕]603.求导法则:

由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致,并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来,且证明方法也是相同的.求导公式与法则:61624.微分的概念:

复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致.定义63特别地,64解析函数的概念

设函数f(z)在点z0及z0某邻域内处处可导，则称函数f(z)在点z0处解析；又若f(z)在区域B内的每一点解析，则称f(z)在区域B内是解析函数说明2.称函数的不解析点为奇点1.解析与可导的关系

函数在某点解析，则必在该点可导；反之不然在区域B内的解析函数必在B内可导

5解析函数例：函数只在z=0点可导，因而在复平面上处处不解析f(z)在点z0

无定义或无确定值；f(z)在点z0

不连续；f(z)在点z0

不可导；f(z)在点z0

可导,但找不到某个邻域在其内处处可导由解析函数的定义和函数的求导法则可得:（1）如果函数f（z）在区域σ中解析，则它在这个区域中是连续的。（2）如果f1（z）和f2（z）是区域σ中的解析函数，则其和、差、积、商（商的情形要求分母在σ内不为零）也是该区域中的解析函数。（3）如果函数ξ=f（z）在区域σ内解析，而函数w=g（ξ）在区域G内解析，若对于σ内的每一点z，函数f（z）的值ξ均属于G，则函数w=g[f(z)]是区域σ上复变量z的一个解析函数。（4）如果w=f（z）是区域σ上的一个解析函数，且在点z0∈σ的邻域中|f’（z）|≠0，则在点w0=f（z）∈G的邻域中函数f（z）的值定义一个反函数z=ψ（w），它是复变量w的解析函数。有f’（z0）=1/ψ’（w0）。66可导：对任何方向的，极限都存在并唯一。xyz复数复函数

z沿任一曲线逼近零。柯西—黎曼方程0实数实数：

x沿实轴逼近零。因此，复函数的可导性是比实函数的可导性条件强得多。Q：当u，v有偏导时，在什么补充条件下，W=f(z)也有导数？

设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D上有定义，在D内一点z=x+iy可导，有68柯西—黎曼方程

z沿实轴,

y0可导，要求二者相等必要条件

z沿虚轴,

x069可导的充分条件:f(z)的存在，连续且满足柯西—黎曼方程。证：偏导数连续，则二元函数u

和v

的增量可分别写为随着则柯西—黎曼方程这一极限是与的方式无关的有限值703.解析函数的充分必要条件4.解析函数的充分条件函数f(z)

在区域B内解析当且仅当(1)实部和虚部在B内可微；(2)实部和虚部在B内每一点满足Cauchy-Riemann条件设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)在B内满足那么f(z)在B内解析。调和函数微商及解析函数基本概念实变函数复变函数极限连续导数71微商及解析函数高数中学习的所有求导和微分法则都可以推广到复变函数中来，见书P1472微商及解析函数解析函数的实部和虚部通过C-R条件联系着，因此，只要知道解析函数的实部（或虚部），就能求出相应的虚部（或实部）。具体可以用以下两种方法求：（1）已知u求v，可以从全微分出发：73微商及解析函数（2）已知u求v，还可以由关系，对y积分来求：当然也可以由关系两边对x积分，类似上述过程求v。例题（见书p20）像解析函数的实部和虚部这样的两个由C-R条件联系着的调和函数u和v，称为共轭调和函数。74例：试证在复平面上解析，且证：这四个偏导在复平面处处连续，且：所以f(z)在复平面内解析，同时75761.4初等解析函数1指数函数这里的ex是实指数函数实的正余弦函数性质：77三角正弦与余弦函数将两式相加与相减,得现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况.2三角函数78三角函数79(注意：这是与实变函数完全不同的)sinz的零点(i.e.sinz=0的根)为z=n

cosz的零点(i.e.cosz=0的根)为z=(n+1/2)

n=0,1,2,···,n,···(4)(5)sinz,cosz在复数域内均是无界函数80其它复变三角函数的定义813双曲函数824对数函数因此83对数函数的基本运算性质下面等式不再成立而应该是84初等解析函数85865幂函数幂函数的基本性质

3）当a取整数n时，幂函数是一个单值函数。4）当a取1/n（n为整数）时，幂函数是一个n值函数。

87本章小结复数的概念（由实数扩展而来）复变函数的概念（由实变函数扩展而来）定义：两个复数集合之间的映射；特点：定义域和值域为2维；定义域出现复连通现象；不能用一个图形完全描述；极限存在的要求提高；分析：可以分解成2个二元实函数；解析函数满足C-R条件；实部和虚部都是调和函数，相互正交。88初等解析函数指数函数定义w=exp(z)分析u+iv=exp(x+iy)

=exp(x)[cosy+isiny]u=exp(x)cosy,v=exp(x)siny性质不对称性周期性exp(z+2kπi)=exp(z)无界性单值性初等解析函数如果取z=±iθ，则得到欧拉公式：

一般写成：初等解析函数三角函数定义w=sin(z)分析u+iv=sin(x+iy)

=sin(x)ch(y)+icos(x)sh(y)u=sin(x)ch(y),v=cos(x)sh(y)性质对称性周期性无界性单值性初等解析函数对任何复数z，前述Euler公式成立：

复三角函数在复平面解析，且有下面的基本运算性质：（1）cosz是偶函数，sinz是奇函数；初等解析函数

（2）cosz和sinz是以2π为周期的周期函数；

（3）初等解析函数

（4）

（5）（6）cosz在复平面的零点是:sinz在复平面的零点是:(7)|sinz|和|cosz|可大于任何正数（与实函数情形不同），例如，当z=2i时：初等解析函数对数函数定义w=Ln(z)分析u+iv=Ln[r×

exp(iφ)]

=lnr+iφ

u=lnr,v=φ性质对称性非周期性无界性多值性初等解析函数多值函数的概念初等复变多值函数的多值性是由于辐角的多值性引起的，所以我们先研究辐角函数：

w=Argz函数有无穷个不同的值：