天体运动的几类热点问题（教师版）

专题六天体运动的几类热点问题考点一双星与多星模型1.双星模型(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图所示。(2)特点①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即,。②两颗星的周期、角速度相同，即，。③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为。④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即⑤双星的运动周期。⑥双星的总质量。2.多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。(2)常见的三星模型①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行（如图甲所示）。②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上（如图乙所示）。(3)常见的四星模型①四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动（如图丙所示）。②三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动（如图丁所示）。题型一双星模型(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100s时，它们相距约400km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星()A.质量之积 B.质量之和C.速率之和 D.各自的自转角速度BC两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示每秒转动12圈，则由可求出其角速度。中子星运动时，由万有引力提供向心力得G＝m1ω2r1，G＝m2ω2r2，l＝r1＋r2，可得＝ω2l，所以m1＋m2＝，质量之和可以估算；由线速度与角速度的关系v＝ωr得v1＝ωr1，v2＝ωr2，可得v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωl，速率之和可以估算；质量之积和各自的自转角速度无法求解，故选BC。题型二三星模型(2023·湖北黄冈中学三模)(多选)如图所示，质量相等的三颗星组成为三星系统，其他星体对它们的引力作用可忽略。设每颗星体的质量均为m，三颗星分别位于边长为r的等边三角形的三个顶点上，它们绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内以相同的角速度做匀速圆周运动。已知引力常量为G，下列说法正确的是()A.每颗星体受到的向心力大小为B.每颗星体运行的周期均为C.若r不变，星体质量均变为2m，则星体的角速度变为原来的倍D.若m不变，星体间的距离变为4r，则星体的线速度变为原来的BC任意两颗星体间的万有引力，每个星体受到其他两个星体的引力的合力为，A错误；由牛顿第二定律可得，其中，解得每颗星体运行的周期均，B正确；原来星体的角速度为;若r不变，星体质量均变为2m，则星体的角速度，则星体的角速度变为原来的倍，C正确；若m不变，星体间的距离变为4r，则星体的周期为，星体的线速度大小为，则星体的线速度变为原来的12，D错误。题型三四星模型(多选)如图为一种四颗星体组成的稳定系统，四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，引力常量为G。下列说法中正确的是（）A.星体做匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心B.每个星体做匀速圆周运动的角速度均为C.若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍D.若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变BD四颗质量相同的星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，所以星体做匀速圆周运动的圆心一定是正方形的中心，故A错误；由G＋G＝G＝mω2·L可知，ω＝，故B正确；由G＝ma可知，若边长L和星体质量m均为原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的12，故C错误；由G＝m可知，星体做匀速圆周运动的线速度大小为v＝，所以若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变，故D正确。解决双星、多星问题，要抓住四点:(1)根据双星或多星的运动特点及规律，确定系统做圆周运动的圆心以及运动的轨道半径。(2)星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供。(3)星体的角速度相等。(4)星体的轨道半径不是天体间的距离。要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正确计算万有引力和向心力。1.如图所示，“食双星”是两颗相距为d的恒星A、B，只在相互引力作用下绕连线上O点做匀速圆周运动，彼此掩食(像月亮挡住太阳)而造成亮度发生周期性变化的两颗恒星。观察者在地球上通过望远镜观察“食双星”，视线与双星轨道共面。观测发现每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，已知引力常量为G，地球距A、B很远，可认为地球保持静止，则()A.恒星A、B运动的周期为TB.恒星A的质量小于B的质量C.恒星A、B的总质量为D.恒星A的线速度大于B的线速度C每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，则两恒星的运动周期为T′＝2T，故A错误；根据万有引力提供向心力有G＝mArA＝mBrB，由题图知rA<rB，则mA>mB，故B错误；由B选项得两恒星总质量为M＝mA＋mB＝，故C正确；根据v＝ωr，两恒星角速度相等，则vA<vB，故D错误．2.(多选)太空中存在一些离其他恒星很远的、由三颗星体组成的三星系统，可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是直线三星系统——三颗星体始终在一条直线上；另一种是三角形三星系统——三颗星体位于等边三角形的三个顶点上。已知某直线三星系统A每颗星体的质量均为m，相邻两颗星体中心间的距离都为R；某三角形三星系统B的每颗星体的质量恰好也均为m，且三星系统A外侧的两颗星体与三星系统B每颗星体做匀速圆周运动的周期相等。引力常量为G，则()A.三星系统A外侧两颗星体运动的线速度大小为v＝B.三星系统A外侧两颗星体运动的角速度大小为ω＝C.三星系统B的运动周期为T＝4πRD.三星系统B任意两颗星体中心间的距离为L＝RBCD对三星系统A，由＋＝m，可得v＝，T＝＝4πR，ω＝＝;而三星系统B的运行周期与三星系统A外侧星体的运行周期相同，故TB＝4πR，选项A错误，B、C正确。对三星系统B：由2×cos30°＝m·，可解得：L＝R，选项D正确。3.(2023·东北联考)太空中存在一些离其他恒星很远的、由四颗星体组成的四星系统，可忽略其他星体对它们的引力作用。现有这样一种稳定运行的正三角形四星系统，四颗星分别位于某一正三角形三个顶点和其几何中心上。四颗星质量均为m,正三角形边长为L,引力常量为G。则下列说法中正确的是()A.位于顶点的三颗星运动的角速度与它们质量的大小无关B.该四星系统做圆周运动的半径为C.每个处于顶点处的星体所受向心力大小为D.该四星系统的运动周期为D该四星系统做圆周运动的半径为,B错误；每个处于顶点处的星体所受向心力大小为,C错误；根据牛顿第二定律,解得,位于顶点的三颗星运动的角速度与它们质量的大小有关，A错误；根据牛顿第二定律得,解得,D正确。考点二天体追及与相遇问题“天体相遇”，指两天体相距最近。若两环绕天体的运转轨道在同一平面内，则两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体的同侧(或异侧)时相距最近(或最远)。类似于在田径场赛道上的循环长跑比赛，跑得快的每隔一段时间多跑一圈追上并超过跑得慢的。解决这类问题有两种常用方法：1.角度关系设天体1(离中心天体近些)与天体2某时刻相距最近，如果经过时间t，两天体与中心连线半径转过的角度之差(或之和)等于2π的整数倍，则两天体又相距最近，即ω1t－ω2t＝2nπ(n＝1，2，3，…)(同向)或ω1t＋ω2t＝2nπ(n＝1，2，3，…)(反向)；如果经过时间t′，两天体与中心连线半径转过的角度之差(或之和)等于π的奇数倍，则两天体相距最远，即ω1t′－ω2t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)(同向)或ω1t′＋ω2t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)(反向)。2.圈数关系最近：－＝n(n＝1，2，3，…)(同向)，＋＝n(n＝1，2，3，…)(反向)最远：－＝(n＝1，2，3，…)(同向)，＋＝(n＝1，2，3，…)(反向)题型一同向运动星体的“追及相遇”问题当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，称之为“木星冲日”，2020年7月14日出现了一次“木星冲日”。已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍。则下列说法正确的是()A.下一次的“木星冲日”时间发生在2022年B.下一次的“木星冲日”时间发生在2021年C.木星运行的加速度比地球的大D.木星运行的周期比地球的小B设太阳质量为M，行星质量为m，轨道半径为r，周期为T，加速度为a。对行星由牛顿第二定律可得G＝mr，则T＝2π,已知地球公转周期T1＝1年，那么木星公转周期T2＝T1年。设经时间t再次出现“木星冲日”，则有ω1t－ω2t＝2π，其中ω1＝，ω2＝，解得t年，因此下一次“木星冲日”发生在2021年，故A错误，B正确；对行星由牛顿第二定律可得G＝ma＝mr，解得a＝，T＝2π，由于木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍，因此，木星运行的加速度比地球的小，木星运行的周期比地球的大，故C、D错误。题型二反向运动卫星的“追及相遇”问题(多选)如图所示，有A、B两颗卫星绕地心O做圆周运动，运动方向相反。A卫星的周期为T1，B卫星的周期为T2，在某一时刻两卫星相距最近，则(引力常量为G)()A.两卫星下一次相距最近需经过时间t＝B.两颗卫星的轨道半径之比为C.若已知两颗卫星相距最近时的距离，可求出地球的密度D.若已知两颗卫星相距最近时的距离，可求出地球表面的重力加速度AB两卫星运动方向相反，设经过时间t再次相遇，则有t＋t＝2π，解得t＝，选项A正确；根据万有引力提供向心力得＝mr，则，故A、B两颗卫星的轨道半径之比为，故B正确；若已知两颗卫星相距最近时的距离，结合两颗卫星的轨道半径之比可以求出两颗卫星的轨道半径，根据万有引力提供向心力＝mr，则可求出地球的质量，但不知道地球的半径，所以不可求出地球的密度和地球表面的重力加速度，故C、D错误。题型三两星相距最近或最远次数的计算(多选)如图，行星a、b的质量分别为m1、m2，中心天体c的质量为M(M远大于m1及m2)，在已知轨道半径之比为rarb＝14，则下列说法中正确的是()A.a、b运动的周期之比为TaTb＝18B.a、b运动的周期之比为TaTb＝14C.从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次D.从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次AD根据开普勒第三定律可得，则，A正确、B错误；设图示位置夹角为θ<，b转动一周(圆心角为2π)的时间为t＝Tb，则a、b相距最远时：Tb－Tb＝(π－θ)＋n·2π(n＝0,1,2,3，…)，可知n，n可取7个值；a、b相距最近时：Tb－Tb＝(2π－θ)＋m·2π(m＝0,1,2,3，…)，可知m，m可取7个值，故在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次，D正确。“两星”相距最近、最远问题：用类比的方法，天体运动类似于在田径场赛道上的循环长跑比赛。常用公式为θ=ωt。通过作图，搞清它们转动的角度关系，是解决这类问题的关键。1.（2023·湖北模拟）（多选）北斗卫星导航系统由空间段、地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务。在北斗卫星导航系统中有A、B两颗卫星在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，某一时刻，卫星和卫星相距最近，距离为2r。经过t时间，卫星A和卫星B第一次相距最远，距离为4r。不考虑卫星间的万有引力，已知地球的半径为r，万有引力常量为G，卫星A的周期为，下列说法正确的是A.地球的密度为B.卫星B的周期为C.卫星B的环绕速度小于km/sD.地球对卫星A的万有引力大于地球对卫星B的万有引力AC

设A到地心距离，B到地心距离，有题意可得：，，可得：，，由此可知A是近地卫星，根据万有引力提供向心力有，，，可求地球密度，故A正确；，，故B错误；卫星B的环绕速度小于第一宇宙速度，故C正确；卫星A和卫星B质量未知，无法比较它们和地球的万有引力，故D错误。2.我国火星探测器“祝融号”在2021年月中旬到月下旬发生短暂“失联”，原因是发生“火星合日”现象。“火星合日”是指火星和地球分别位于太阳两侧且与太阳共线的天文现象，如图所示。已知火星公转周期为，地球公转周期为，地球与火星绕行方向相同。则（）A.B.火星与地球轨道半径之比为C.火星与地球公转的线速度之比为D.相邻两次“火星合日”的时间间隔为D

根据开普勒第三定律，可知，A错误；由得，，B错误；根据，可得线速度，可知，C错误；相邻两次火星合日，即地球比火星多转1周经过时间为，则有，解得相邻两次“火星合日”的时间间隔为，D正确。故选D。考点三天体运行中的遮挡问题天体运行中的遮挡问题，涉及卫星的周期、轨道半径及其详细的相对地球位置的变化规律，尤其是有些天体及卫星间的通信遮挡问题，要求学生要能够从所给的材料中，提炼出有用信息，构建好物理模型，利用万有引力定律及其相关知识求解。(多选)天问一号在绕火星运动过程中由于火星遮挡太阳光，也会出现类似于地球上观察到的日全食现象，如图所示。已知天问一号绕火星运动的轨道半径为r，火星质量为M，引力常量为G，天问一号相对于火星的张角为α（用弧度制表示），将天问一号环火星的运动看作匀速圆周运动，天问一号、火星和太阳的球心在同一平面内，太阳光可看作平行光，则（）A.火星表面的重力加速度为B.火星的第一宇宙速度为C.天问一号每次日全食持续的时间为αD.天问一号运行的角速度为AC天问一号相对于火星的张角为α，根据几何关系可得火星半径为R＝rsin，质量为m0的物体在火星表面有G＝m0g，联立解得火星表面的重力加速度为g＝，故A正确；根据质量为m0的物体在火星表面做匀速圆周运动时万有引力提供向心力，有G＝m0，且R＝rsin，联立解得火星的第一宇宙速度v＝，故B错误；作出天问一号上观察到的日全食的示意图，如图所示，日全食持续的时间为天问一号在GE