数值计算与最优化复习1答案

数值计算与最优化》复习1一．填空题TOC\o"1-5"\h\z1、 Matlab中，清除屏幕的命令是(clc )。2、y=100:-4:1,length(y)=( 25 )。3、设y有5位有效数字，绝对误差限为(0.5x10-4 )。4、 设pi的相对误差限W0.000125,pi的有效数字位为(4 )。5、 x二i(i=1,2,3),f(x)二x八3,f(x,x,x)=( 6 )。i ii 1 2 36、 用抛物型求积公式计算11(x4+2x+1)dx的值为( 8/3 )。-17、 f(x)=x3-6x2+5x+1=0的Ne毗on迭代公式为(x=x-(x八3-6x八2+5x+1)/(3x八2-12X+5) )。k+1kkkkkk8、 A-qI的最大特征值为n,A的最大特征值为(n+q )。9、Euler方法的局部离散误差为(0(h2) )。10、 B的最小特征值为m,Bt-zI的最大特征值为( 1/m-z )。)。11、用松驰迭代法解方程组，要求迭代收敛，松驰因子应满足( 0<w<2)。12、4次Ne毗on-cotes求积公式的代数精度为(5 )。二．判断题、四阶Runge-Kutta方法的局部离散误差为0(h5)。 (V)2、非线性规划中的目标函数只能是非线性函数，约束函数可以为非线性函数。 (x3、clear是Matlab中清内存变量命令。 (V)4、Gauss型求积公式的代数精度不一定比Newton-cotes求积公式代数精度高。 (V)三．计算题1、已测得直角三角形的斜边c和一直角边a的近似值为c*=5,a*=3，若最大可能的误差分别是土0.15和土0.12，试求直角边所对应的角A可能的绝对误差？解：A=arcsin(a/c)~ 1 —一a8a '-c2-a2 &ccc2-a2E(A)=帚*E(d)+^AE(C)=0.00273弧度da dc2、设x0=-1,X]=0,x2=1,x3=2，对函数y=1+e一x建立三次Lagrange插值，并求出x=1.5时的值,估计出误差的范围。解：L0(x)=-x(x-1)(x-2)/6 L1(x)=(x+1)(x-1)(x-2)/2L2(x)=-(x+1)x(x-2)/2 L3(x)=(x+1)x(x-1)/6Y(x)=(1+e)L0(x)+2L1(x)+(1+1/e)L2(x)+(1+1/e2)L3(x) y(1.5)=1.2446

3、利用复化l/3simpson公式计算1=J1(x3+x+1)dx，取n=10,并与真值进行对比。0解：真解为7/4。H=0.1I=h/3*(f1+f11+4*(f2+f4+f6+f8+f10)+2*(f3+f5+f7+f9))=1.73764、求方程x2-x-1=0在x0=1附近的根，试给出三个迭代公式，并判断每一种迭代公式的收敛性,选一种收敛的迭代公式迭代3步，比较每一步的结果。解：迭代公式如下：第一种：x,=x2-1 一阶导数2x>1，迭代不收敛n+1n第二种：x第二种：x=、；x+1n+1 vn一阶导数亠V1,迭代收敛2x+1一阶导数-1仅一阶导数-1仅2=1,迭代不收敛n+1nn对第二种方法：X0=1X1=1.414X2=1.5535、给定实验数据如下：X.-2-101234iy.-22-70251546利用最小二乘拟合求三次拟合多项式。解：设三次多项式为：s(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3Xiyixi2xi3xi4xi5xi6xiyixi2yixi3yi-2-224-816-326444-88176-1-71-11-117-7700000000001211111222254816326410204031592781243729451354054461664256102440961847362944工7413591371126749552927983574于是得到正规方程为：7a0+7a1+35a2+91a3=417a0+35a1+91a2+371a3=29235a0+91a1+371a2+1267a3=79891a0+371a1+1267a2+4955a3=3574解方程得:a0=0.8095,a1=2.0198,a2=-2.5,a3=1.1944S(x)=0.8095+2.0198x-2.5x2+1.1944x3

6、利用LU分解求下列方程组的解{r-xX+X3=3X]+x2+x3=6X1+X2-2X3=-3要求求出L和U矩阵并给出求解过程。解：100L=0.5100.5112-11u=01.50.500-3LY=b y=[3,4.5,-9]'UX=y X=[1,2,3]'7、利用单纯形法求解minz=5x+21x13x-x+6x-x=21 2 3 4s.t・2x+x+2x-x=11 2 3 5x；j=1，2,3,4,5j解：直接用单纯形求解（x4,x5为基变量）:C502100X1x2x3x4x5b1-16-1021120-11Zj00000入j502100无解。于是，先考虑引入自由变量x6和x7Minz=x6+x7s.t.x1-x2+6x3-x4+x6=2x1+x2+2x3-x5+x7=1xi>0C000C0000X1x2x3x4X61-16-1X71120Zj208-1入j-20-81X3入基x6出基X31/6-1/61-1/60X72/34/301/3-1Zj2/34/301/3-1入j-2/3-4/30-1/31利用单纯形求该问题的最优解（x6,x7为基变量）。X2入基x7出基011x5x6x7b01021/3-10111/2-11131-1-11/601/3-1/311/31/4-1/311/32/30C502100X1x2x3x4x5bX31/401-1/8-1/83/83/2X21/2101/4-3/41/41/2Zj21/4021-21/8-21/863/8入j-1/40021/821/8最优解x6=x7=0在此基础上，再求原问题的解X31/4X31/401-1/8-1/81/81/83/8X21/2101/4-3/4-1/43/41/4Zj00000000入j0000011minz=x6+x7=0XI入基x2出基X30-1/21-1/41/41/4X11201/2-3/21/2Zj5-1/221-11/4-9/431/4入j01/2011/49/48、给定微分方程：y'x^x+l,y(O)=l,OWxWl,试写出改进的Euler公式和隐式Euler公式,令h=0.2,求出每一种方法的结果。解：改进的Euler公式:y二y+h/2(f(x,y)+f(x,y+hf(x,y)))n+1nnnn+1nnnY=y+h/2(x2+x+1+x2+x+1)n+1nnnn+1n+1=y+h/2(x2+x+1+(x+h)2+x+h+1)nnnnn=y+hx2+hx+h2x+h/2(h2+h+2)nnnnY0=1;Yl=y0+0.2/2(0.2'2+0.2+2)=1.224Y2=1.5040Y3=1.8560Y4=2.2960Y5=2.8400隐式Euler公式：y二y+hf(x,y)n+1nn+1n+1Y=y+h(x2+x+1)n+1nn+1n+1Y0=1Y1=1.2480Y2=1.5600Y3=1.