专题01集合的基本运算（解析版）

专题01集合的基本运算考点预测：1、子集一般地，对于两个集合,,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记为或（）读作集合包含于集合（或集合包含集合）.关于子集有下面的两个性质：（1）反身性：；（2）传递性：如果，且，那么.2、真子集如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记为（或），3、集合的相等如果集合，且，此时集合与集合的元素是一样的，我们就称集合与集合相等，记为.4、空集我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为.我们规定空集是任何一个集合的子集，空集是任何一个非空集合的真子集，即（1）（是任意一个集合）；（2）（）.5、并集自然语言：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集，记作（读作“并”）.符号语言：.理解：或包括三种情况：且；且；且.并集的性质：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），；（6）.6、交集自然语言：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作理解：当与没有公共元素时，不能说与没有交集，只能说与的交集是.交集的性质：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），；（6）.7、补集（1）全集的概念：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作.（2）补集的概念自然语言：对于一个集合，由属于全集且不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，记为.符号语言：补集的性质（1）；（2）；（3）；（4）.【典型例题】例1．（2022·河南·郑州市回民高级高一阶段练习）若，，，则这三个集合间的关系是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意，，，，而，{偶数}，因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一个元素都是集合中的元素，即，所以.故选：C例2．（2022·河南·高一阶段练习）下列四个写法：①；②；③；④.其中正确写法的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】对于①，是集合，也是集合，所以不能用这个符号，故①错误；对于②，是空集，也是集合，由于空集是任何集合的子集，故②正确；对于③，由集合的无序性可知两集合是同一个集合，再由一个集合的本身是该集合的子集，故③正确；对于④，表示直线，两者毫无关联，故④错误；综上，正确写法的有2个.故选：B.例3．（多选题）（2022·宁夏·银川高一阶段练习）已知集合，，集合A与的关系如图，则集合可能是（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】由图知：，，根据选项可知或．故选：BD.例4．（2022·河南·郑州市回民高级高一阶段练习）已知集合，集合(1)若，求；(2)若，求实数的取值范围．【解析】（1）因为，且所以，即是方程的根所以，得则所以．（2）因为，所以对于方程，①当即时，，满足②当即或时，因为，所以或或当时，，得当时，，无解当时，，无解综上所述，．例5．（2022·辽宁·新民市第一高级高一期末）已知集合，.(1)求；(2)已知，若，求实数的取值集合.【解析】（1）因为，，所以，所以或；（2）因为，且，①当时，即，解得时，符合题意；②当时，则，解得，综上，所求的集合是或.例6．（2022·湖南·株洲市渌口区第三高一阶段练习）已知全集，求.【解析】因为，所以，或，因为或，所以或.例7．（2022·吉林·辽源市田家炳高级中高一阶段练习）已知集合为全体实数集，或，.(1)若，求;(2)若，求实数a的取值范围.【解析】（1）当时，，所以或，又或，所以或；（2）由题可得，当时，则，即时，此时满足，②当时，则，所以，综上，实数的取值范围为.例8．（2022·湖北·黄梅国际育才高级高一阶段练习）已知集合，．(1)若，求实数的取值范围(2)当集合变为时，求的非空真子集的个数(3)若，求实数的取值范围．【解析】（1）因为，所以.当时，由，得，符合题意当时，根据题意，可得解得综上，实数的取值范围是．（2）当时，，共有个元素，所以的非空真子集的个数为．（3）当时，由知当时，

可得或解得．综上，实数的取值范围是或．例9．（2022·湖北·高一阶段练习）已知集合，，其中．(1)若，求，的值；(2)若对，有，求，的取值范围．【解析】（1）集合，，其中．解得：或．

若，则，

将代入得：，

则．则，则，当时，，解得，综上，，或，．（2）解:若对，有，则，当时，，，，，

或时，，，；

当，即，或时，则，由（1）得：，；

当时，即时，，对，故成立，

综上，或或或．【过关测试】一、单选题1．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，若，则中所有元素之和为（

）A．3 B．1 C． D．【答案】C【解析】若，则，矛盾；若，则，矛盾，故，解得（舍）或，故，元素之和为，故选：C.2．（2022·全国·高一课时练习），对于任意实数x恒成立，则下列关系中立的是A． B． C． D．【答案】A【解析】，对m分类：（1）时，恒成立；（2）时，需要，解得，综合（1）（2）知，所以，因为，所以，故选A.3．（2022·全国·高一课时练习）设集合，，则A∪B中的元素个数是A．11 B．10 C．16 D．15【答案】C【解析】由题意可得：,,据此可得：，则A∪B中的元素个数是16.本题选择C选项.4．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，若中只有一个元素，则的值是（

）A． B．0或 C．1 D．0或1【答案】B【解析】集合中只含有一个元素，也就意味着方程只有一个解；（1）当时，方程化为，只有一个解；（2）当时，若只有一个解，只需，即；综上所述，可知的值为或.故选：B5．（2022·全国·高一课时练习）已知，，若，则（

）A．0 B．1 C． D．【答案】C【解析】因为，所以或，解得或或，又集合中的元素需满足互异性，所以，则．故选：C.6．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，若，则实数的取值集合是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题得，因为，所以当时，当时，；当时，；故实数的取值集合是.故选：C7．（2022·河南·高一阶段练习）设集合，则满足的集合的个数是（

）A．7 B．8 C．15 D．16【答案】B【解析】依题意，，因此有，所以满足条件的的个数就是集合的子集的个数，所以符合条件的集合的个数是.故选：B8．（2022·湖北·襄阳高一阶段练习）设全集，集合，若，则的值为（

）A．4 B．2 C．2或4 D．1或2【答案】B【解析】因为所以所以解得：，或所以，所以，所以解得：或，且解得：且所以.故选：B9．（2022·全国·高一单元测试）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数的最大值是（

）A．6 B．5 C．7 D．8【答案】A【解析】作维恩图，如图所示，则周一开车上班的职工人数为，周二开车上班的职工人数为，周三开车上班的职工人数为，这三天都开车上班的职工人数为x.则，得，得，当时，x取得最大值6.故选：A二、多选题10．（2022·全国·高一课时练习）（多选）下列说法中不正确的是（

）A．集合为无限集B．方程的解构成的集合的所有子集共4个C．D．【答案】ACD【解析】集合，不是无限集，故A中说法不正确；方程的解构成的集合为，其所有子集为，，，，共4个，故B中说法正确；集合的元素为直线上的点，，故，故C中说法不正确；因为，，所以，故D中说法不正确．故选：ACD．11．（2022·辽宁·同泽高中高一开学考试）设，．若，则实数的值可以为（

）A．1 B．2 C．0 D．【答案】ACD【解析】由得：,当时，,符合题意；当时，，若，则；若，则；由于B中至多有一个元素，故,所以实数的值可以为，故选：ACD12．（2022·吉林·东北师大附中高一阶段练习）已知I为全集，若，则（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】因为，所以，所以；故选：BC13．（2022·全国·高一单元测试）设集合，，则下列选项中，满足的实数a的取值范围可以是（）A．{a|0≤a≤6} B．{a|a≤2或a≥4}C．{a|a≤0} D．{a|a≥8}【答案】CD【解析】∵集合，满足，∴或，解得或．∴实数a的取值范围可以是{a|a≤0}或{a|a≥8}．故选：CD．三、填空题14．（2022·宁夏·银川三沙源上游高一阶段练习）已知若，求实数a的值_____【答案】1或4【解析】因为，，所以，或，或，或，当时，，无解，当时，则，解得，当时，则，无解，当时，则，解得，综上，或，故答案为：1或415．（2022·江苏省如皋高一开学考试）已知集合M满足，则满足条件的集合有________个.【答案】15【解析】因为，所以中含有元素1，2，且M是真子集，所以M可以是集合与集合的子集的并集，且不能为，所以M共有个，故答案为：15.16．（2022·河南·高一阶段练习）某举办运动会，比赛项目包括田径、游泳、球类，经统计高一年级有人参加田径比赛，有人参加游泳比赛，有人参加球类比赛.参加球类比赛的同学中有人参加田径比赛，有人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有人；同时参加三项比赛的有人.则高一年级参加比赛的同学有___________.【答案】【解析】设集合、、分别指参加田径、游泳、球类比赛的学生构成的集合，由图可知，高一年级参加比赛的同学人数为.故答案为：.17．（2022·全国·高一课时练习）戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空子集A与B，且满足Q，，A中的每一个元素都小于B中的每一个元素．请给出一组满足A中无最大元素且B中无最小元素的戴德金分割______．【答案】，（答案不唯一）【解析】以无理数分界写出一组即可，如，．（答案不唯一）；故答案为：，．（答案不唯一）四、解答题18．（2022·湖北·麻城市博达高一阶段练习）已知集合，．(1)用列举法表示集合；(2)求.【解析】（1）由得：或，.（2）由得：，；当时，，；当时，，；当时，，；当且且时，，；综上所述：当或或时，；当且且时，.19．（2022·北京·101高一阶段练习）设集合，，，若，且，求的值．【解析】由题意知，，则或，由，若，则，得，不成立，故，得或，解得，又，所以或.20．（2022·辽宁·沈阳市第八十三高一阶段练习）已知全集，集合，．(1)若且，求实数的值；(2)设集合，若的真子集共有个，求实数的值．【解析】（1）因为，，因此，．若，则或，解得或．又，所以．（2），，当时，，此时集合共有个真子集，不符合题意，当时，，此时集合共有个真子集，符合题意，综上所述，．21．（2022·陕西·榆林市第十高一阶段练习）已知集合，集合．(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围．【解析】（1）当时，，则或，故；（2）由可知，，当时，，符合题意；当时，即；综上，实数的取值范围为22．（2022·上海市宜川高一阶段练习）设集合，，其满足（1）：（2）若，则.(1)能否为单元素集，为什么？(2)求出只含两个元素的集合.(3)满足题设条件的集合共有几个？为什么？能否列举出来.【解析】（1）不能，因为，，且，而，如果是单元素集，必须，解得，与矛盾，所以不能为单元素集；（2）只有两个元素，，