微专题3空间几何体中的截面轨迹问题(学生版)

微专题3空间几何体中的截面、轨迹问题1.截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。故截面是指平面与几何体的面相交所围成的平面图形，即截面的每条边均在几何体的表面.2.正方体的截面：考点一考点一截面的形状及其有关计算【方法储备】1.作几何体的截面：=1\*GB2⑴依据：立体几何的基本事实、直线和平面平行的判定定理和性质定理、两个平面平行的性质定理、球的截面的相关性质；=2\*GB2⑵作图方法：以正方体为例=1\*GB3①平行法：E为平面EFG与平面ABCD的公共点，且直线FG∥平面ABCD，则两平面的交线l过公共点E且与直线FG平行；=2\*GB3②相交法：E为平面EFG与平面ABCD的公共点，直线FG与平面ABCD不平行，延长FG与平面ABCD交于点H，则EH为平面EFG与平面ABCD的交线；=1\*GB4㈠截面经过的三个已知点分别在正方体的棱上在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G为别为棱AB,CD,DD1上的点，EF,FG均在正方体的表面上，过E=1\*romani.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G为别为棱AB,CD,DD1上的点，EF,FG均在正方体的表面上，过E、F、G三点的截面：连接=2\*romanii.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G为别为棱AD,CC1,C1D1上的点，仅FG在正方体的表面上，过E作FI∥EH交BC于点I，则四边形EIFGH=3\*romaniii.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G为别为棱AB,CC1,A1D1上的点，EF,FG,EG均不在正方体的表面上，过E、F、G三点的截面：在平面A1B1C1D1内过点G作GH∥A1B1,交B1C1于点H,连接HB并延长交GE的延长线于点I,=2\*GB4㈡截面经过的三个点中至少有一点在正方体的面上,其余点在正方体的棱上在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E设E在底面ABCD内的投影为点E1,连接EE1,连接EF,E1A,并延长线交于点S，连接SG交AB于点L，连接LF并延长交B1A1的延长线于点P,连接PE并延长,交A1D1于点M、交C1D1于点N有关截面形状判断、截面面积求解、截面有关的空间角求解及截面分隔开来的几何体

的体积求解等问题.【典例精讲】例1.(2022·湖北省武汉市联考)已知正方体ABCD-A1B1C1D1，棱长为2，E为棱BB1的中点，则过A.212 B.32 C.3例2.(2023·山西省吕梁市期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AB的一个三等分点(靠近B点)，F,G分别为棱BC，CC1的中点，过E,F,G三点作正方体A.所得截面是六边形

B.截面过棱D1C1的中点

C.截面不经过点A1

D.截面与线段例3.(2023·安徽省合肥市月考)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6，P为BC的中点，H为AB中点，Q为线段CC1上的动点，过点H,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S，

当CQ=4时，【拓展提升】练11(2023·广东省揭阳市联考)如图，已知正四面体ABCD的棱长为1，过点B作截面α分别交侧棱AC，AD于E，F两点，且四面体ABEF的体积为四面体ABCD体积的13，则EF的最小值为(

)

A.22 B.32 C.练12(2022·浙江省杭州市模拟)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为(

)A.334 B.233练13(2023·辽宁省沈阳市期末)在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图，这是注入了一定量水的正方体密闭容器，现将该正方体容器的一个顶点A固定在地面上，使得AD，AB，AA1三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面恰好经过BB1的中点，若AB=1，则该水平面截正方体ABCD-A1B练14(2023·河北省石家庄市模拟)（多选）如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别是AD，CC1的中点，A.平面PMN截正方体所得的截面可以是四边形、五边形或六边形

B.当点P与A，B两点不重合时，平面PMN截正方体所得的截面是五边形

C.△MPN是锐角三角形

D.△MPN面积的最大值是考点二考点二空间几何体的轨迹问题【方法储备】几何体中有不确定的点，且这个点满足一些特定的值或平面几何关系，因此需要根据条件确定出动点所在的轨迹。主要考查空间中点、线、面的平行与垂直关系,空间中的距离、角度,解析几何中的点的轨迹等知识,综合性较强。空间几何体中的轨迹问题通常涉及:：通过对点线面关系的认知，对平行和垂直的一些证明，判断出动点符合什么样的轨迹，或通过建系进行坐标计算求出具体的轨迹表达式.2.求轨迹中的长度、面积与体积.【典例精讲】

例4.(2023·广东省佛山市月考)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均相等，P是侧面AA1C1C内一点，设|PA1|=d，若PA.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.抛物线的一部分 D.双曲线的一部分例5.(2022·浙江省金华市期中)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为AA1的中点，M点是正方形ABB1A例6.(2023·湖南省长沙市月考)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N，G分别是棱AA1，BC，A1D1【拓展提升】练21(2023·江苏省无锡市月考)如图，已知四棱锥S-ABCD的底面是边长为4的正方形，E，F分别是AB，BC的中点，P为SD上一点，且SD=3PD，Q为正方形ABCD内一点(包含边界).若PQ∥平面SEF，则Q的运动轨迹的长度为(

)A.42 B.32 C.练22(2023·浙江省宁波市联考)（多选）正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点PA.若λ+μ=1，则A1P⊥AD1

B.若λ+μ=1，则三棱锥A1-PDC1的体积为定值

C.若点P总满足PA⊥BD1，则动点P的轨迹是一条直线．

D.若点练23(2022·湖北省黄石市月考)（多选）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是A1D1的中点，点P，Q，R在底面四边形ABCD内(包括边界)，PB1∥A.点P的轨迹的长度为2 B.点Q的轨迹的长度为π4

C.PQ长度的最小值为255【答案解析】例1.解：正方体ABCD-A1B1C则平面A1DE与平面CBB取BC中点F，连接EF、DF、A1E、A1D，

则四边形A1DFE即为经过A梯形A1DFE中，A1D//则梯形的高为则梯形A1DFE的面积为故选：D．例2.解：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，依题意，直线FG与直线B1C1交于点P，显然连接BC1,AD1，则有AD1//BC平面EFG与平面ADD1A1有公共点A1，

则平面EFG与平面AD连QA1，因QA//A1D1,QA=A1D因此点A1是平面EFG截正方体ABCD-A1B1C1D1的截面的一个顶点，连接GH,A1E，则五边形A1EFGH是平面EFG截正方体ABCD-由C1H//A1B1知，由D1H//A1B1得D1OOB故选：D例3.解：当CQ=4时，如图，

过Q作QK//PH交AA1于K，则AK=4，

过K作PQ的平行线交A1D1于M，过M作PH的平行线交C1D1于R，

所以△HAK∽△RC1Q练11.解：由VB-AEF=13VB-ACD得S△AEF=13SEF2=AE2+AF2-2AE⋅AF⋅练12.解：因为正方体的12条棱可分为3组，每组中的4条棱所在直线互相平行，

所以要让每条棱所在的直线与平面α所成的角都相等，

只需找一个具有公共点的三条棱，使其所在的直线与平面α所成的角都相等即可．

不妨找以C1为公共点的三条棱C1B1，C1D1，C1C，如图=1\*GB3①，

在三棱锥C1-B1CD1中，底面B1CD1为等边三角形，且C1B1=C1D1=C1C，

所以三棱锥C1-B1CD1为正三棱锥，

故三条棱C1B1，练13.解：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD，又水平面恰好经过BB1的中点，则水平面截正方体

ABCD-A1B1C1D1故答案为：

3练14.解：如图，当点P与A，B两点不重合时，

将线段MP向两端延长，分别交CD，CB的延长线于点O，Q，

连接NO，NQ分别交DD1，BB1于R，S两点，连接RM，SP，

此时截面为五边形MPSNR，故B正确;

当点P与点A或点B重合时，截面为四边形，

不可能为六边形，故A错误;

考虑△PMN，当点P与点A重合时，

MN=6，PM=1，PN=3，

此时因为MN2+PM2<PN2，

故∠PMN为钝角，所以C错误;

当点P与点B重合时，

点P到直线例4.解：如图所示，取B1C1,BC的中点作出平行于平面ABC且过点P的平面A2B2C2，且△A2作PP1⊥B2C2，则在直角△PP1C在图(3)中，设直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为以C1为原点，C1C为x轴，C则A1(0,a)，且|A1P|所以(x-0)2+(y-a所以点P的轨迹是椭圆的一部分．

故本题选B．例5.解：建立如图所示空间直角坐标系，

由题意可知，C(2,2,0)，D1(2,0,2)，E(0,0,1)，C1(2,2,2)，M(0,y,z)，

∴CD1=(0,-2,2)，ED1=(2,0,1)，C1M=(-2,y-2,z-2)，

设平面CD1E的法向量n=(a,b,c)，

∴CD1·n=0ED1·n=0，即-b+c=0例6.解：∵MQ=xMG+yMN(x,y∈R)，∴Q在平面MGN上，

分别取AB，CC1，C1D1的中点E，F，O，则点Q的轨迹是正六边形OFNEMG，

因为正方体ABCD-A1B1C练21.解：如图，分别取AD，DC的中点M，N，连接PM，MN，PN，BD，

设BD分别交MN，EF于点G，H，连接PG，SH，AC，

则易知MN//AC//EF，

又MN⊄平面SEF，EF⊂平面SEF，

所MN∥平面SEF，

易知DH=3DG，

因而SD=3PD，

所以PG//SH，

结合PG⊄平面AEF，SH⊂平面SEF，

得PG//平面SEF，

因为PG∩MN=G，PG、MN⊂平面PMN，

所以平面PMN//平面SEF，

所以当Q在线段MN上运动时，始终PQ/​/平面AEF，

即Q的运动轨迹为线段MN，

所以MN=12AC=22练22.解：P满足BP=λBC+μBB1(λ,μ∈R)，故点P为在面BCC1B1内的动点，

对于A，若λ+μ=1，则P点在直线B1C上运动，此时 AD1⊥B1C，AD1⊥A1C，

且B1C∩A1C=C，则AD1⊥面A1B1C，则有A1P⊥AD1，A正确；

对于B，VA1-PDC1=VC1-A1练23.解：如图，N是BC的中点，易证平面AB1N//