高考数学第一轮复习4 第4讲　算法初步

第4讲算法初步课标要求考情分析1.了解算法的含义，了解算法的思想．2．理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构．3．了解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.主要考查程序框图、循环结构和算法思想，并结合函数与数列考查逻辑思维能力，题型主要以选择题、填空题为主，考查求程序框图中的执行结果和确定控制条件，难度为低中档.核心素养：逻辑推理、数学运算1．算法与程序框图(1)算法①定义：算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．②应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．(2)程序框图定义：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．2．三种基本逻辑结构及相应语句名称示意图相应语句顺序结构(1)输入语句：INPUT“提示内容”；变量(2)输出语句：PRINT“提示内容”；表达式(3)赋值语句：变量＝表达式条件结构IF条件THEN语句体ENDIFIF条件THEN语句体1ELSE语句体2ENDIF循环结构当型循环结构WHILE条件循环体WEND直到型循环结构DO循环体LOOPUNTIL条件常用结论1．赋值号左边只能是变量(不能是表达式)，在一个赋值语句中只能给一个变量赋值．2．直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”；当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”．两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反．【小题自测】1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个程序框图一定包含顺序结构，但不一定包含条件结构和循环结构．()(2)条件结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效的．()(3)输入框只能紧接开始框，输出框只能紧接结束框．()(4)输入语句可以同时给多个变量赋值．()(5)在算法语句中，x＝x＋1是错误的．()答案：(1)√(2)√(3)×(4)√(5)×2．执行如图所示的程序框图，则输出的n＝()A．2 B．3C．4 D．5解析：选B.n＝1，S＝0，第1次执行循环体，n＝2，S＝4，不满足S≥29，第2次执行循环体，n＝3，S＝29，满足S≥29，退出循环体，此时n＝3.第2题图第3题图3．(不明结构形式致误)阅读如图所示的程序框图，如果输出的函数值在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))内，则输入的实数x的取值范围是()A．[－2，2] B．[0，2]C．[－2，－1] D．[－2，0]解析：选D.由程序框图可得分段函数y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，x∈[－2，2]，,2，x∉[－2，2]，))令2x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))，则x∈[－2，0]，所以输入的实数x的取值范围是[－2，0]．4．如图所示的程序框图的运行结果为________．解析：因为a＝2，b＝4，所以输出S＝eq\f(2,4)＋eq\f(4,2)＝2.5.答案：2.5第4题图第5题图5．如图是一个算法流程图，则输出的k的值是________．解析：根据程序框图可知，k＝1时，12－1×6＋5＝0；k＝2时，22－2×6＋5<0；k＝3时，32－3×6＋5<0；k＝4时，42－4×6＋5<0；k＝5时，52－5×6＋5＝0；k＝6时，62－6×6＋5＞0.故输出的k的值是6.答案：6考点一顺序结构与条件结构(思维发散)执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[－1，3]，则输出的s属于()A．[－3，4] B．[－5，2]C．[－4，3] D．[－2，5]【解析】由程序框图得分段函数s＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3t，t<1，,4t－t2，t≥1.))所以当－1≤t<1时，s＝3t∈[－3，3)；当1≤t≤3时，s＝4t－t2＝－(t－2)2＋4，所以此时3≤s≤4.综上，函数的值域为[－3，4]．【答案】A1．若本例的判断框中的条件改为“t≥1？”，则输出的s的范围是________．解析：由程序框图得分段函数s＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3t，t≥1，,4t－t2，t<1.))所以当1≤t≤3时，s＝3t∈[3，9]，当－1≤t<1时，s＝4t－t2＝－(t－2)2＋4，所以此时－5≤s<3.综上，函数的值域为[－5，9]．答案：[－5，9]2．本例框图不变，若输出s的值为3，求输入的t的值．解：由本例解析知s＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3t，t<1，,4t－t2，t≥1.))则3t＝3，所以t＝1(舍去)，4t－t2＝3，所以t＝1或3.应用顺序结构和条件结构的注意点(1)顺序结构顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．(2)条件结构利用条件结构解决算法问题时，重点是判断框，判断框内的条件不同，对应的下一图框中的内容和操作要相应地进行变化，故要重点分析判断框内的条件是否满足．[提醒]条件结构的运用与数学的分类讨论有关．设计算法时，哪一步要分类讨论，哪一步就需要用条件结构．【对点训练】1．阅读如图所示的程序框图，若输入的x为3，则输出的y的值为()A．24 B．25C．30 D．40解析：选D.a＝32－1＝8，b＝8－3＝5，y＝8×5＝40.第1题图第2题图2．(2022·南昌市一模)如图，将框图输出的y看成输入的x的函数，得到函数y＝f(x)，则y＝f(x)的图象()A．关于直线x＝1对称 B．关于直线x＝－1对称C．关于y轴对称 D．关于点(0，0)对称解析：选D.由程序框图可知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2－2x，x＜0,x2－2x，x≥0))，作出其大致图象，如图所示，由图可知，函数f(x)的图象关于点(0，0)对称，故选D.考点二循环结构(多维探究)考向1由程序框图求输出(输入)的值(1)(2021·合肥质检)秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的算法，至今仍是比较先进的算法．如图是应用秦九韶算法的一个程序框图．执行该程序框图，若输入x＝a，n＝2，输出s＝26，则输入的实数a的值为()A．－4或－3 B．－3或4C．－4或3 D．3或4第(1)题图第(2)题图(2)(2022·昆明三诊一模)如图所示的程序框图的算法思路源于欧几里得在公元前300年左右提出的“辗转相除法”，其中[x]表示不超过x的最大整数．执行该程序框图，若输入的a，b分别为196和42，则输出的b＝()A．2 B．7C．14 D．28【解析】(1)初始条件k＝0，s＝0，x＝a，n＝2，依次执行如下：s＝0·a＋2＝2，k＝1，s＝2a＋2，k＝2，s＝(2a＋2)a＋2，k＝3，退出循环，所以(2a＋2)a＋2＝26⇒a＝－4或a＝3，故选C.(2)第一次循环：a＝196，b＝42，r＝196－42×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(196,42)))＝196－42×4＝196－168＝28≠0，不满足r＝0，则a＝42，b＝28；r＝42－28×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(42,28)))＝42－28×1＝14≠0，不满足r＝0，则a＝28，b＝14；r＝28－14×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(28,14)))＝28－14×2＝0，满足r＝0，结束循环，输出b＝14，故选C.【答案】(1)C(2)C考向2完善程序框图(2022·长春市高三质量检测)执行如图所示的程序框图，若输出的结果为126，则判断框内的条件可以为()A．n≤5?B．n≤6?C．n≤7?D．n≤8?【解析】初始值，n＝1，S＝0，进入循环，S＝2，n＝2；S＝6，n＝3；S＝14，n＝4；S＝30，n＝5；S＝62，n＝6；S＝126，n＝7，此时退出循环，输出S＝126.所以判断框内的条件可以为n≤6？，故选B.【答案】B考向3辨析程序框图的功能(2022·甘肃名校联考)图①是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A1，A2，…，A16，图②是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的程序框图，那么该程序框图输出的结果是()A．6 B．10C．91 D．92【解析】A1＝76，i＝1，i≤16成立，A1≥90不成立，i＝1＋1＝2；A2＝79，i＝2，i≤16成立，A2≥90不成立，i＝2＋1＝3；…；A7＝92，i＝7，i≤16成立，A7≥90成立，n＝0＋1＝1，i＝7＋1＝8；…依此类推，可知程序框图是统计成绩不低于90分的学生人数，从茎叶图中可知，成绩不低于90分的学生人数为10，故选B.【答案】B循环结构的常考类型及解题思路(1)确定循环次数：分析进入或退出循环体的条件，确定循环次数．(2)完善程序框图：结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．(3)辨析循环功能：执行程序若干次，即可判断．【对点训练】1．(2022·河南新乡二模)执行如图所示的程序框图，若输入的N＝10，则输出的X＝()A.eq\f(1,32) B.eq\f(1,21)C.eq\f(1,19) D.eq\f(1,17)解析：选B.X＝eq\f(1,3)，n＝2；X＝eq\f(1,5)，n＝3；X＝eq\f(1,7)，n＝4；…；X＝eq\f(1,19)，n＝10；X＝eq\f(1,21)，n＝11＞N.故输出的X＝eq\f(1,21).第1题图第2题图2．(2022·山西吕梁孝义模拟)为了计算S＝3＋33＋333＋3333＋33333，设计了如图所示的程序框图，则①和②处的框内可以分别填入()A．S＝S＋3×10i－1和i＝i＋2B．S＝S＋(10i－1)÷3和i＝i＋1C．S＝S＋3×10i和i＝i＋3D．S＝S＋(10i－1－1)÷3和i＝i＋1解析：选B.i为计数变量，由i＞5？，得执行了5次运算，且是逐步进行的，所以i＝i＋1，可排除A和C；第一次循环时S＝3，可排除D.故选B.考点三基本算法语句(师生共研)根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为________．【解析】由算法语句读出其功能，进一步利用分段函数的解析式求函数值．由题意，得y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.5x，x≤50，,25＋0.6（x－50），x＞50.))当x＝60时，y＝25＋0.6×(60－50)＝31.所以输出y的值为31.【答案】31算法语句应用的关注点【对点训练】下列程序执行后输出的结果是________．i＝11S＝1DOS＝S*ii＝i－1LOOPUNTILi<9PRINTSEND解析：程序反映出的算法过程为i＝11⇒S＝11×1，i＝10；i＝10⇒S＝11×10，i＝9；i＝9⇒S＝11×10×9，i＝8；i＝8<9退出循环，执行“PRINTS”．故S＝990.答案：990[A级基础练]1．已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的实数x的值为()A．－3 B．－3或9C．3或－9 D．－3或－9解析：选B.当x≤0时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)－8＝0，x＝－3；当x>0时，2－log3x＝0，x＝9.故x＝－3或x＝9，故选B.第1题图第2题图2．(2022·山西阶段性测评)执行如图所示的程序框图，下列说法正确的是()A．若输入a，b，c的值依次为1，2，3，则输出的值为5B．若输入a，b，c的值依次为1，2，3，则输出的值为7C．若输入a，b，c的值依次为2，3，4，则输出的值为8D．若输入a，b，c的值依次为2，3，4，则输出的值为10解析：选C.模拟该程序框图，当a＝1，b＝2，c＝3时，1＜2，c＝1，a＝2，b＝1，ac＋b＝2×1＋1＝3，输出的结果是3，故A，B错误；当a＝2，b＝3，c＝4时，2＜3，c＝2，a＝3，b＝2，ac＋b＝3×2＋2＝8，输出的结果是8，故C正确，D错误．故选C.3．(2022·河南省名校联考)如图所示的程序框图是为了求出满足1＋3＋5＋…＋n≤2020的最大正奇数的值，那么在框中，可以填()A．“输出i－4” B．“输出i－2”C．“输出i－1” D．“输出i”解析：选A.由于满足1＋3＋5＋…＋n＞2020后，此时i值比程序要求的i的值多2，又执行了一次i＝i＋2，故输出的应为i－4，故选A.第3题图第4题图4．(2022·陕西摸底检测)设函数f(x)定义如下表：x12345f(x)14253执行如图所示的程序框图，则输出的x的值是()A．4 B．5C．2 D．3解析：选C.设i＝k时的x值为xk，则由题意可知x0＝3，x1＝2，x2＝4，x3＝5，x4＝3，x5＝2，…，则数列{xk}是以4为周期的数列．由程序框图知当i＞2021时，结束循环，又x2021＝x1＝2，所以输出的x的值为2，故选C.5．(2022·江西重点中学联考)执行如图所示的程序框图，若输出的S＝eq\f(4,9)，则输入的P的取值范围是()A．(15，16] B．(16，17]C．(17，18] D．(18，19]解析：选B.由程序框图可知，S＝0＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋eq\f(1,4×5)＋…＋eq\f(1,n（n＋1）)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)－eq\f(1,5)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(4,9)，解得n＝17，即当n＝16时是最后一次循环，当n＝17时退出循环，所以16＜P≤17，故选B.第5题图第6题图6．(2022·东北三校联考)如图所示程序框图的运行结果为S＝840，那么判断框中应填入的关于k的条件是()A．k＜5? B．k＜4?C．k＜3? D．k＜2?解析：选B.执行程序框图，S＝1，k＝7；S＝7，k＝6；S＝42，k＝5；S＝210，k＝4；S＝840，k＝3，此时满足运行结果S＝840，故选B.7．从1，2，3，4，5，6，7，8中随机取出一个数，记为x，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于40的概率为()A.eq\f(3,4) B.eq\f(5,8)C.eq\f(7,8) D.eq\f(1,2)解析：选B.由程序框图，得输出的结果为3(3x＋1)＋1，令3(3x＋1)＋1≥40，即9x＋4≥40，解得x≥4，所以x的值可能为4，5，6，7，8，所以输出的x不小于40的概率P＝eq\f(5,8).第7题图第8题图8．执行如图所示的程序框图，则该算法的功能是()A．计算(1＋1)＋(2＋21)＋(3＋22)＋…＋(n＋1＋2n)的值B．计算(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n＋2n)的值C．计算(1＋2＋3＋…＋n)＋(20＋21＋22＋…＋2n－1)的值D．计算[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋(20＋21＋22＋…＋2n)的值解析：选C.初始值k＝1，S＝0.S＝1＋20，k＝2，若满足k≤n，则S＝1＋20＋2＋21，k＝3，…当k＝n时，S＝1＋20＋2＋21＋…＋n＋2n－1，k＝n＋1，退出循环体，输出S＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(20＋21＋22＋…＋2n－1)，故选C.9．输入x＝5，运行如图所示的程序之后得到的y等于________．解析：由题意，得y＝f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x＋1）2，x＜0，,（x－1）2，x≥0，))所以f(5)＝(5－1)2＝16.答案：1610．已知程序框图如图所示，若输入的S＝1，k＝1，则输出的S为________．解析：第一次循环，k＝2，S＝4；第二次循环，k＝3，S＝11；第三次循环，k＝4，S＝26；第四次循环，k＝5，S＝57.此时，终止循环，输出的S＝57.答案：57第10题图第11题图11．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问：米几何？”如图是类似该问题的程序框图，若输出的S＝2.25(单位：升)，则输入的k的值为________．解析：运行程序，变量的值依次为n＝1，S＝k；n＝2，S＝eq\f(k,2)；n＝3，S＝eq\f(k,3)；n＝4，S＝eq\f(k,4)，此时不满足循环条件，输出S＝eq\f(k,4)＝2.25，解得k＝9.答案：912．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S的值为________．解析：依题意得，程序运行后输出的是数列{an}的第2013项，其中数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2an，an＜1,\f(1,8)an，an≥1)).注意到a2＝eq\f(1,8)，a3＝eq\f(1,4)，a4＝eq\f(1,2)，a5＝1，a6＝eq\f(1,8)，…，该数列中的项以4为周期重复性地出现，且2013＝4×503＋1，因此a2013＝a1＝1，运行程序后输出的S的值为1.答案：1[B级综合练]13．执行如图所示的程序框图，定义一个函数y＝f(x)，若x∈R，则()A．函数y＝f(x)的周期为1B．函数y＝f(x)的图象关于原点对称C．函数y＝f(f(x))与函数y＝ex－x＋1的图象有一个交点D．f(eq\r(2))＋f((eq\r(2))2)＋…＋f((eq\r(2))2020)＝1010解析：选D.由程序框图知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x为有理数，,0，x为无理数，))可见任意一个