拓展专题10定点定值问题（学生版）

拓展专题10定点、定值问题在解析几何中，经常研究一些含有参数的动态问题，往往会有一些几何量不受参数的动态变化所影响，这就构成了定点、定值问题；圆锥曲线中常见的定点问题有：动直线过定点，动曲线过定点；在解析几何中，经常研究一些含有参数的动态问题，往往会有一些几何量不受参数的动态变化所影响，这就构成了定点、定值问题；圆锥曲线中常见的定点问题有：动直线过定点，动曲线过定点；圆锥曲线中常见的定值问题有：长度、面积、角、斜率的和差积商、数量积、线段比、线段积等。本专题主要研究定点、定值问题，在“变”中寻求“不变”性，主要策略有：（1）直接法：引入变量法（设点或设直线），然后推理论证；（2）间接法：先找后证，从特殊入手，求出定点、定值，再进行证明。希望大家从本专题中，学到方法，悟到策略，提升能力。——江苏省清江中学高级教师崔绪春探究1：定点问题【典例剖析】例1.(2022·全国乙卷理科)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过A(0,-2)，B(32,-1)两点

(1)求E的方程;

(2)设过点P(1,-2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x的直线与线段AB交于点T，点H满足MT=选题意图:选题意图:高考真题,主要考查直线与椭圆的位置关系、向量共线的坐标运算、直线过定点问题.通过对试题情境进行变式创设,开展深度探究，很好的考查学生的创新思维能力.思维引导：(1)根据点在椭圆上，坐标满足椭圆方程，求出椭圆的标准方程；

(2)分类讨论过点P的直线斜率是否存在，再根据题干依次表示出T，N坐标，表示出直线HN方程，判断直线过定点即可．【变式训练】练11(2022·湖北省联考)设A，B为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右顶点，直线l过右焦点F且与双曲线C的右支交于(1)求双曲线C的离心率；(2)已知直线AM，AN分别交直线x=a2于P,Q两点，当直线l的倾斜角变化时，以PQ为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；练12(2022·广东省广州市联考)已知线段AB是抛物线y2=4x的弦，且过抛物线焦点F．

(1)过点B作直线与抛物线对称轴平行，交抛物线的准线于点E，求证：A、O、E三点共线(O为坐标原点)；

(2)设M是抛物线准线上一点，过M作抛物线的切线，切点为A1求证：(i)两切线互相垂直；(ii)直线A1练13(2022·湖北省武汉市联考)已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，Γ(1)求椭圆Γ的方程;(2)一条不垂直坐标轴的直线CD交Γ于C、D两点(C、D位于x轴两侧)，设直线A1C、A2C、A1D、A2D的斜率分别为k1、k2、k【规律方法】解答圆锥曲线的定点问题的策略参数法：①动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y=kx+t，由题设条件将t用k表示为t=mk，得y=k(x+m)，故动直线过定点(-m,0)．②动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点。由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。答题模板：第一步：把直线或曲线方程中的变量x，y第二步：参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y第三步：方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，或者可以通过特例探求；第四步：用一般化方法证明。探究2：定值问题【典例剖析】例2.(2020·新高考1卷)已知椭圆C:x2a2+(1)求C的方程;(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足.证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．选题意图选题意图：高考真题，这是一道经典的定点、定值问题，该问题的综合性和灵活性都较强，重点考查数形结合思想和分析问题、解决问题的能力.思维引导：(1)根据条件列方程求解即可．(2)联立直线与椭圆的方程，根据根与系数的关系结合两直线的斜率之积为-1化简即可证明，解题关键是证明直线MN过【变式训练】练21(2022·湖北省武汉市联考)如图，已知圆O:x2+y2=4，点B(1,0)，以线段AB为直径的圆内切于圆O(1)求曲线C的方程;(2)已知直线l:x=4，Q1,32，过点B的直线l1与C交于M,N两点，与直线l交于点K，记QM,QN,QK的练22(2022·湖南省长沙市联考)已知双曲线C：x2-(1)斜率为k且过原点的直线与双曲线C交于E，F两点，求∠EBF最小时k(2)过点B的动直线与双曲线C交于P，Q两点，若曲线C上存在定点A，使kAP+kAQ为定值λ，求点练23(2022·湖北省四校联考)已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，点A(2,y0)在C上，|AF|=2．

(1)求p；

(2)过F作两条互相垂直的直线l1，l2，l1与C交于M，N两点，【规律方法】圆锥曲线中的定值问题，是指目标几何量（或代数式）在不受题设动曲线（含直线）的影响，总保持固定值的一类问题.其处理方法与定点问题相似。圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距