第5章 时间序列分析

第五章时间数列分析目录CONTENTS第五章时间序列分析第五节时间数列的季节变动分析第四节时间数列的长期趋势分析第三节时间数列的速度分析第二节时间数列的水平分析第一节时间数列概述3第一节时间数列分析的基本问题一时间数列的含义及作用二时间数列的分类时间数列的编制原则三时间数列的常用分析方法三四

一、时间数列的含义及作用4时间数列把反映现象发展水平的统计指标数值，按照时间先后顺序排列起来所形成的统计数列，又称动态数列。

一、时间数列的含义及作用5时间数列的构成要素现象所属的时间（t）反映现象发展水平的指标数值（Y）构成要素：年份国内生产总值（亿元）年份国内生产总值（亿元）19791980198119821983198419851986198719884038.24517.84862.45294.75934.57171.08964.410202.211962.514928.3198919901991199219931994199519961997199816909.218547.921617.826638.134634.446759.458478.167884.674462.679395.7要素一：时间t要素二：指标数值Y

一、时间数列的含义及作用9编制时间数列的作用1、能够描述社会经济现象的发展状况和结果

；2、能够研究社会经济现象的发展速度、发展趋势和平均水平，探索社会经济现象发展变化的规律，并据以对未来进行统计预测；3、能够利用不同的但互相联系的时间数列进行对比分析或相关分析。

二、时间数列的种类10图5-1时间数列的种类按数列中所排列指标的表现形式不同分为：绝对数数列相对数数列平均数数列（平均指标数列）（相对指标数列）时点数列时期数列时间数列的种类（总量指标数列）时点数列时期数列绝对数时间数列的分类由反映一段时期内社会经济现象发展的总量或总和的绝对数所组成的时间数列。由反映一时点上社会经济现象所处的水平的绝对数所组成的时间数列二者的区别2、各指标数值大小是否与其时间长短直接相关。1、各指标数值是否具有可加性3、各指标的数值的取得方式。是连续登记还是一次性登记。时期数列的特点(1)数列中各个时期的指标数值可以相加。

(2)数列中指标数值大小与其所包括的时期和长短有直接关系。

(3)时期数列具有连续统计的特点。时点数列的特点(1)数列中指标数值不能相加。(2)数列中指标数值的大小与其时间隔长短没有直接联系。(3)时点数列指标值不具有连续统计的特点。

二、时间数列的种类15(1）平稳数列

平稳数列是基本上不存在趋势的数列，这类数列中的各个观察值基本上都在某个固定的水平上下波动，虽然在不同的时间段波动的程度不同，但并不存在某种规律，其波动是随机的。(2）非平稳数列

非平稳数列是包含长期趋势、季节变动或循环变动的数列，既可能只包含其中的一种成分，又可能是几种成分的组合。（二）按时间变化表现分类各期指标数值所属时间可比各期指标数值总体范围可比各期指标数值计算口径可比各期指标数值经济内容可比保证数列中各期指标数值的可比性三、编制时间数列的基本原则指标1952-19571958-19621963-19651966-19761977-1986社会总产值（亿元）工业总产值（亿元）工业总产值比重（%）8283.43404.541.111448.26903.360.366983878.157.947210.729553.962.6103902.583849.380.76年5年3年11年10年

甲厂乙厂甲厂带料委托乙厂加工产品,材料总价值10000元.乙厂来料加工,总加工费5000元,产品总价值20000元工业总产值的计算原规定:甲厂计20000元乙厂计20000元现规定:甲厂计20000元乙厂计5000元10吨标准煤10吨煤

四、时间数列的常用分析方法21常用统计方法图形描述法指标分析法构成因素分析预测法22第二节时间数列的水平分析一发展水平二平均发展水平增长量三四平均增长量四一、发展水平

发展水平

指时间数列中每一项指标数值设时间数列中各期发展水平为：最初水平中间水平最末水平（N项数据）（n+1项数据）或：它是计算其他时间数列分析指标的基础。平均发展水平又叫序时平均数，是把时间数列中各期指标数值加以平均而求得的平均数一般平均数与序时平均数的区别：计算的依据不同：前者是根据变量数列计算的，后者则是根据时间数列计算的；

说明的内容不同：前者表明总体内部各单位的一般水平，后者则表明整个总体在不同时期内的一般水平。二、平均发展水平序时平均数的计算方法⒈计算绝对数时间数列的序时平均数⑴由时期数列计算，采用简单算术平均法年份国内生产总值（亿元）2016201720182019202074639583203691928198651510159862016-2020年中国国内生产总值

【例】⑵由时点数列计算①由连续时点数列计算对于逐日记录的时点数列可视其为连续

※间隔相等时，采用简单算术平均法序时平均数的计算方法日期6月1日6月2日6月3日6月4日6月5日收盘价16.2元16.7元17.5元18.2元17.8元解某股票连续5个交易日价格资料如下：【例】⑵由时点数列计算①由连续时点数列计算

※间隔不相等时，采用加权算术平均法对于逐日记录的时点数列,每变动一次才登记一次序时平均数的计算方法某企业5月份每日实有人数资料如下：日期1~9日10~15日16~22日23~31日实有人数780784786783解【例】例：某企业2015年12月份职工考勤资料如下要求：计算该企业2015年12月份的平均职工人数。解：

该企业2015年12月份的平均职工人数为：日期（日）1～34～89～1415～1920～2627～2829～31职工人数（人）158150148156160162165职工人数对应的天数（天）3565723

②由间断时点数列计算每隔一段时间登记一次，表现为期初或期末值※间隔相等

时，采用首末折半一季度初二季度初三季度初四季度初次年一季度初序时平均数的计算方法时间3月末4月末5月末6月末库存量(百件)66726468解：第二季度的月平均库存额为：某商业企业1999年第二季度某商品库存资料如下，求第二季度的月平均库存额【例】

※间隔不相等

时，采用加权序时平均法90天90天180天一季度初二季度初三季度初次年一季度初时间1月1日4月1日9月1日12月1日12月31日银行存款余额360300420440480

单位：万元某企业2021年银行存款月如下表：【例】解：则该企业该年的平均银行存款余额为：例：某储蓄所2015年存款余额资料如下要求：计算该储蓄所2015年月平均存款余额。解：假定存款余额的变化是均匀的，则该储蓄所2015年月平均存款余额为：时间1月1日3月1日7月1日8月1日10月1日12月31日存款余额（万元）344224202630相邻两项观察值

的间隔长度（月）24123⒉计算相对数时间数列的序时平均数基本公式⑴a、b均为时期数列时序时平均数的计算方法月份一二三计划利润（万元）200300400利润计划完成程度（﹪）125120150某化工厂某年一季度利润计划完成情况如下因为所以，该厂一季度的计划平均完成程度为：【例】⑵a、b均为时点数列时⑶a为时期数列、b为时点数列时月份三四五六七工业增加值（万元）11.012.614.616.318.0月末全员人数（人）20002000220022002300【例】已知某企业的下列资料：要求计算：①该企业第二季度各月的劳动生产率；②该企业第二季度的月平均劳动生产率；③该企业第二季度的劳动生产率。

四月份：五月份：六月份：解：①第二季度各月的劳动生产率：③该企业第二季度的劳动生产率：②该企业第二季度的月平均劳动生产率：例：某商场2015年下半年的零售额、库存额

及流通费用额资料如下：已知2015年12月末商品库存额为710万元。要求：计算该商场2015年下半年商品平均流转次数和平均流通费用率。时间7月8月9月10月11月12月零售总额（a

）110711601150117012001370月初库存额（b

）680675670650670690流通费用（c

）1081029895100104解：

平均发展水平计算总结序时平均方法总量指标时期数列简单算术平均时点数列连续时点间隔相等简单算术平均间隔不等加权算术平均间断时点间隔相等两次简单平均间隔不等先简单后加权相对指标、平均指标视情况选用：先平均再相除、先加总再相除、加权算术平均、加权调和平均等连续时点数列计算类似时期数列：2、间隔不等1、间隔相等(两个公式原理是一致的,仅是掌握资料存在差异。)不连续时点数列计算平均数公式2、间隔不等1、间隔相等

三、增长量48增减水平

它是报告期水平与基期水平之差，反映报告期比基期增长的水平。说明社会经济现象在一定时期内所增长的绝对数量。增减水平=报告期水平-基期水平其计算公式为：设时间数列中各期发展水平为：逐期增长量累计增长量二者的关系⒈⒉平均增长量逐期增长量的序时平均数年距增长量本期发展水平与去年同期水平之差，目的是消除季节变动的影响

四、平均增长量51

平均增长量是时间数列各逐期增长量的平均数，用于描述现象在一段时间内每期平均增加或减少的数量。它可以根据逐期增长量求得，也可以根据累计增长量求得。计算公式为：平均增长量＝逐期增长量之和/逐期增长量项数

＝累计增长量/时间数列项数-1用符号表示则为：

四、平均增长量52

53第三节时间数列的速度分析一发展速度二增长速度平均发展速度三四平均增长速度四五应用速度指标注意的问题发展速度指报告期水平与基期水平的比值，说明现象的变动程度设时间数列中各期发展水平为：环比发展速度定基发展速度（年速度）（总速度）环比发展速度与定基发展速度的关系：年距发展速度增长速度指增长量与基期水平的比值，说明报告期水平较基期水平增长的程度环比增长速度定基增长速度年距增长速度说明发展速度与增长速度性质不同。前者是动态相对数，后者是强度相对数；定基增长速度与环比增长速度之间没有直接的换算关系。增长1%的绝对值指现象每增长1﹪所代表的实际数量定基增长速度增长1%的绝对值环比增长速度增长1%的绝对值各环比发展速度的平均数，说明现象每期变动的平均程度平均发展速度平均增长速度说明现象逐期增长的平均程度平均发展速度的计算⑴几何平均法（水平法）即有从最初水平a0出发，每期按一定的平均发展速度发展，经过n个时期后，达到最末水平an，有基本要求计算公式⑴几何平均法（水平法）平均发展速度的计算总速度环比速度解：平均发展速度为：平均增长速度为：【例】计算1995～2000年间我国职工年平均工资的平均发展速度及平均增长速度：有关指标的推算:几何平均法（水平法）⒈推算最末水平an：⒉预测达到一定水平所需要的时间n：⒊计算翻番速度：翻番数有关指标的推算:几何平均法（水平法）解：【例】已知某化肥厂2000年的产量为20万吨，如果2010年产量翻1.5番，将会达到多少？平均增长速度为：解：【例】1980年我国生产水泥7986万吨，1994年达到40500万吨，计算1980年至1994年我国水泥产量翻了几番？每年平均增长速度为多少？

平均发展速度的计算⑵方程法（累计法）从最初水平a0出发，每期按一定的平均发展速度发展，经过n个时期后，达到各期实际水平之和等于各期推算水平之和基本要求计算公式的推导由基本要求有，各期推算水平分别为各期定基发展速度之和（该一元n次方程的正根即为平均发展速度）

①逐渐逼近法②查“累计法查对表”法【例】某公司2000年实现利润15万元，计划今后三年共实现利润60万元，求该公司利润应按多大速度增长才能达到目的。解：求解方法（关于的一元n次方程）累计法查对表递增速度间隔期1～5年平均每年增长﹪各年发展水平总和为基期的﹪1年2年3年4年5年………………14.9114.90246.92398.61572.90773.1715.0115.00247.25399.34574.24991.0415.1115.10247.58400.06575.571075.57………………两种方法的比较:几何平均法研究的侧重点是最末水平；方程法研究的侧重点是各年发展水平的累计总和。平均发展速度的计算几何平均法：方程法：五、应用速度指标分析应注意的两个问题问题出现在现象的比较分析中（1）当时间数列中的观察值出现0或负数时，不宜计算速度指标。（2）速度指标的相对数与绝对数结合应用,以便对事物做出比较确切和全面的认识。结合的方法是计算指标：增长1％的绝对值增长率分析中应注意的问题

(例题分析)甲、乙两个企业的有关资料年份甲

企

业乙

企

业利润额(万元)增长率(%)利润额(万元)增长率(%)上年500—60—本年600208440【例】

假定有两个生产条件基本相同的企业，各年的利润额及有关的速度值如下表1.增长率每增长一个百分点而增加的绝对量2.用于弥补增长率分析中的局限性3.计算公式为甲企业增长1%绝对值=500/100=5万元乙企业增长1%绝对值=60/100=0.6万元增长率分析中应注意的问题

(例题分析)几个计算公式1、增长量累计增长量=计算期发展水平—某一固定时期发展水平逐期增长量=计算期发展水平—前期发展水平关系：累计增长量等于相应逐期增长量之和。平均增长量=逐期增长量之和÷逐期增长量个数=累计增长量÷（时间数列项数—1）2、发展速度和增长速度定基发展速度（总发展速度）

=计算期发展水平÷某一固定时期发展水平环比发展速度=计算期发展水平÷前期发展水平关系：定基发展速度等于相应的各个环比发展速度的连乘积，两个相邻时期定基发展速度之比等于相应的环比发展速度。定基增长速度=定基发展速度—1环比增长速度=环比发展速度—1年距发展速度=本年发展水平÷去年同期发展水平年距增长速度=年距增长量÷去年同期发展水平

=年距发展速度—13、增长百分之一的绝对值增长百分之一的绝对值

=逐期增长量÷环比增长速度

=前期发展水平÷100本节的重点是序时平均数和平均速度（水平法）的计算，难点是平均速度的计算。78第四节时间数列长期趋势分析一时间数列的构成因素及分解模型二长期趋势的测定四时间数列的种类时间数列的种类（一）平稳时间数列和非平稳时间数列分类意义在于时间数列的预测1.平稳时间数列是指仅受随机因素影响而生成的时间数列

时间数列的种类

2.非平稳时间数列是指除了受随机因素影响外，还受趋势、季节、周期等确定性因素影响而生成的时间数列时间序列的分类平稳序列(stationaryseries)基本上不存在趋势的序列，各观察值基本上在某个固定的水平上波动或虽有波动，但并不存在某种规律，而其波动可以看成是随机的非平稳序列(non-stationaryseries)有趋势的序列线性的，非线性的有趋势、季节性和周期性的复合型序列平稳趋势季节季节与趋势时间数列的种类

影响时间数列变动的因素可分解为：（1）长期趋势（T）（2）季节变动（S）（3）循环变动（C）（4）不规则变动（I）可解释的变动—不可解释的变动时间数列的构成因素长期趋势现象在较长时期内受某种根本性因素作用而形成的总的变动趋势季节变动现象在一年内随着季节的变化而发生的有规律的周期性变动循环变动现象以若干年为周期所呈现出的波浪起伏形态的有规律的变动不规则变动是一种无规律可循的变动，包括严格的随机变动和不规则的突发性影响很大的变动两种类型长期趋势：是指由于某种根本性原因（趋势因素）的影响，社会经济现象在相当长的时间里，持续增加向上发展和持续减少向下发展的态势。它是时间数列预测分析的重点。例如，世界人口由于出生率高于死亡率有逐年增加的趋势；工业产品在成长期，产量和利润呈上升趋势，成本水平呈下降趋势；到了衰退期，产量和利润转为下降趋势，成本水平转为上升趋势。季节变动：是指由于自然条件、社会条件的影响，社会经济现象在1年内或更短时间内随着季节的转变而引起的周期性变动。如蔬菜生产受季节气候变化的影响，有淡季、旺季之分，淡季产量低价格高，旺季产量高价格低；衣着、食品、电风扇、燃料的需求都有季节性的变动。学校放假，职工探亲，客运量成倍增长等。循环变动：是指社会经济现象以若干年为周期波浪式的变动。虽然每次变动周期的长短不同，其上下波动的幅度亦不一致，但是每一周期都呈现出盛衰起伏的现象，涨落起伏相同或相似变动。例如，资本主义的周期性经济危机，即属于循环变动。每一周期都包括危机、萧条、复苏、高涨四个阶段，成为以数年为周期的循环变动。不规则变动：是指由意外的偶然性因素引起的，突然发生的、无周期的随机波动。除了趋势因素、季节因素和循环因素以外，引起时间数列波动的其他因素。例如，地震、水、旱、风、虫灾害和原因不明所引起的各种变动。循环变动C（Cyclical）不规则变动I（Irregular）季节变动S（Seasonal）长期趋势T（Trend）经济周期:循环性变动繁荣拐点繁荣拐点衰退拐点萧条拐点复苏拐点时间数列的组合模型（1）加法模型：Y=T+S+C+I计量单位相同的总量指标对长期趋势产生的或正或负的偏差（2）乘法模型：Y=T·S·C·I计量单位相同的总量指标对原数列指标增加或减少的百分比常用模型把握现象随时间演变的趋势和规律；对事物的未来发展趋势作出预测；便于更好地分解研究其他因素。测定长期趋势的基本方法：①移动平均法③回归分析法测定长期趋势的意义：②指数平滑法移动平均法对时间数列的各项数值，按照一定的时间间隔进行逐期移动，计算出一系列序时平均数，形成一个新的时间数列。以此削弱不规则变动的影响，显示出原数列的长期趋势。移动平均法的含义功能：1、平滑数据2、消除周期变动和不规则变动的影响，使长期趋势显示出来。⒉计算各移动平均值，并将其编制成时间数列一般应选择奇数项进行移动平均；若原数列呈周期变动，应选择现象的变动周期作为移动的时距长度。移动平均法移动平均法的步骤：⒈确定移动时距移动平均法奇数项移动平均:原数列移动平均新数列移动平均移正平均新数列原数列移动平均法偶数项移动平均:98月份产量三项移动平均四项移动平均一次移动二次修正1450----2470460-465.003460470471.25477.504480480483.75490.005500500496.25502.506520510506.63511.257510515515.63520.008515520522.5525.009535530527.5530.0010540535534.38538.7511530540--12550--经过移动平均后所得的序时平均数时间数列的项数比原始时间数列少，但长期趋势的表现较为清晰。例：某陶瓷企业2021年各月销售额资料如下表所示，试用移动平均法计算3个月移动平均值和4个月移动平均值。移动平均对数列具有平滑修匀作用，移动项数越多，平滑修匀作用越强；由移动平均数组成的趋势值数列，较原数列的项数少，N为偶数时，趋势值数列首尾各少项；N为奇数时，首尾各少项；局限：不能完整地反映原数列的长期趋势，不便于直接根据修匀后的数列进行预测。移动平均法的特点(2)指数平滑法平滑值的计算公式为式中，ａ称为平滑系数（0<ａ<1），

为初始平滑值。关键如何确定平滑系数如何确定初始值回归分析法是通过数学方法对时间数列配合一条理想的趋势方程

，使其与原数列曲线达到最优拟合直线趋势方程曲线趋势方程……趋势线拟合法的基本程序判断趋势类型计算待定参数利用方程预测定性分析判断趋势类型绘制散点图分析数据特征趋势线拟合法的基本程序当数据的一阶差分趋近于一常数时，可以配合直线方程当数据的二阶差分趋近于一常数时，可以配合二次曲线方程当数据的环比发展速度趋近于一常数时，可配合指数曲线方程tyi一阶差分yi-yi-11234

na+ba+2ba+3ba+4b

a+nb—bbb

b直线趋势方程趋势线的选择tyi一阶差分二阶差分1234

na+b+ca+2b+4ca+3b+9ca+4b+16c

a+nb+n2c—b+3cb+5cb+7c

b+(2n-1)c——2c2c

2c抛物线趋势方程趋势线的选择tyiyi/yi-11234

nabab2ab3ab4

abn—bbb

b指数曲线趋势方程趋势线的选择用最小二乘法求解参数a、b，有直线趋势的测定直线趋势方程：经济意义：

数列水平的平均增长量(3)最小二乘法最小二乘法是指依据估计的模型参数计算的趋势值与实际观测值的误差平方和最小的一种模型估计方法。数学表达式为确定趋势成分

(例题分析)【例】一种股票连续16周的收盘价如下表所示。试确定其趋势及其类型。确定趋势成分

(例题分析)直线趋势方程回归系数检验P=0.000179R2=0.645确定趋势成分

(例题分析)二次曲线方程回归系数检验P=0.012556R2=0.7841年份tGDP(y)tyt21986198719881989199019911992199319941995199619971998123456789101112137610.68491.39448.09832.210209.111147.712735.114452.916283.117993.719718.421454.723129.07610.616982.628344.039328.851045.566886.289145.7115623.2146547.9179937.0216902.4257456.4300677.0149162536496481100121144169合计91182505.81516487.3819【例】已知我国GDP资料（单位：亿元）如下，拟合直线趋势方程，并预测1999年的水平。解预测01234567求解a、b的简捷方法0123-1-2-3取时间数列中间项为原点当t=0时，有N为奇数时，令t=…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…N为偶数时，令t=…，-5，-3，-1，1，3，5，…年份ttGDP(y)tyt2198619871988198919901991199219931994199519961997199812345678910111213-6-5-4-3-2-101234567610.68491.39448.09832.210209.111147.712735.114452.916283.117993.719718.421454.723129.0-45663.6-42456.5-37792.0-29496.6-20418.2-11147.7014452.932566.253981.178873.6107273.5138774.03625169410149162536合计910182505.8238946.7182解：预测118第五节时间数列季节变动分析一季节变动的内涵四二季节变动的测定一、季节变动的内涵季节变动是指现象受季节因素影响，在一个年度内表现出的一种变动规律。季节变动的基本特征（1）周期性，季节波动会周而复始地出现，具有明显的周期性；（2）重复性，季节波动每年重复出现，具有重复性；（3）相似性，季