第4章导数应用4函数单调性与极值

1§4.3函数的单调性与极值一.函数单调性的判定方法二.函数单调性的应用三.函数的极值2

在第一章,函数在区间上单调增加(或减少)的几何解释:在某个区间上对应曲线是上升或下降的.

如

单调性是函数的重要性态之一,也是本章主要内容.它既决定着函数递增和递减的状况,又有助于我们研究函数的极值、证明某些不等式、分析描绘函数的图形等.一.函数单调性的判定方法3

用定义来判断函数的单调性常用的有比较法、比值法等.下面讨论如何用导数来判断函数的单调性.y=ƒ(x)oxxyyoy=ƒ(x)4y=ƒ(x)oxxyyoy=ƒ(x)若y=f(x)在区间(a,b)上单调递增若y=f(x)在区间(a,b)上单调递减5

定理4.3.1(函数单调性判定法则)

设y=ƒ(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导,则有即函数导数在区间保号从而此函数在该区间内一定单调.证则ƒ(x)在区间[a,b]内单调递增性;则ƒ(x)

在区间[a,b]内单调递减性.根据拉格朗日中值定理,有6

注

1

定理4.3.1的结论对其他各种区间(包括无穷区间)也成立.内单调递增;内单调递减.7

注2函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．解所以函数单调减少；所以函数单调增加；例1讨论的单调性.在内，在内，8oxy

此定理可完善为充要条件.即若ƒ(x)在(a,b)内可导且单调增加(或减少),则ƒ(x)在(a,b)内必有单调增加.若则称点x0为函数f(x)的驻点.注3

如果函数且等号仅在个别点处成立,则定理4.3.1仍成立.如9

从例1可知，我们可以根据函数的导数在区间内的符号来求函数的单调区间。

又如，函数y=|x|,x=0为其连续不可导点.而在内，函数单调减少；在内，函数单调增加；

结论:

如果函数在定义区间上连续,除去有限个导数不存在的点外导数都存在且连续,那么只要用方程.(称为单调区间的分界点)来划分函数的定义区间,就能10保证函数在各个部分区间内保持固定符号,从而可得单调区间及函数的单调性.根据定理4.3.1,确定函数y=ƒ(x)的单调性的一般步骤是:(1)确定函数定义域;

(2)确定函数的驻点的点,以这些点为分界点划分定义域为多个子区间;

(3)确定

在各子区间内的符号,从而定出ƒ(x)在各子区间的单调性.11解

函数f(x)定义域为

例2

求函数的单调区间.x

列表讨论如下:将分成12

故

是ƒ(x)的递增区间.[1,2]是递减区间.(端点可包括也可不包括)解函数定义域为所以x=0是f(x)的不可导点.例

讨论函数的单调性.在ƒ(x)是单调递增的；内，在内，ƒ(x)是单调递减的；13例3证明不等式

下面利用函数的单调性,来证明不等式和判断方程的根的存在性及其个数.

关键是根据所证不等式及所给区间构造辅助函数,并讨论它在指定区间内的单调性.1.证明不等式证二.函数单调性的应用14单增.证15单减.证(1)设例4证明方程有且仅有一个正根.

若y=ƒ(x)单调且变号,则方程ƒ(x)=0

一定有根,而函数曲线与

x

轴的交点,就是方程的根.2.讨论方程根的问题

16且仅有一个正根.单调增加.证因当x>a时,

有内单调增加.(其中k为常数).

则ƒ(x)

在例5

设ƒ(x)在内连续,ƒ(a)

<0,当

x>a时,有求证:在内,方程ƒ(x)=0有且仅有一个实根.在区间上由拉格朗日中值定理得17oxy=ƒ(x)ay由介值定理知方程ƒ(x)

=0在内至少有一个实根.故结论得证.18oxyy=ƒ(x)Mmab设函数y=ƒ(x)在(a‚b)内图形如下图:

但它们又不是整个定义区间上的最小、最大值,

而且

三.函数的极值比它附近各点的函数值都要小;而在处的函数值比它附近各点的函数值都要大;19为此,我们引入函数极值与极值点的概念.1.极值的定义x=x0称为ƒ(x)的极大值点.称为ƒ(x)的极小值点.

定义4.3.1,则称

为函数ƒ(x)的极大值.内有定义，设y=ƒ(x)在邻域对恒有,则称

为函数ƒ(x)的极小值.20

我们将函数的极大值与极小值统称极值,极大值点与极小值点统称极值点.

问题:请指出右图中的极值及极值点.oxyy=ƒ(x)Mmab

由极值定义知:极值是函数的局部性态.它只是极值点的函数值与极值点附近的函数值相比较而言的,故它只可能在(a,b)的内点处取得.同时,一个函数可能有若干个极小值或极大值.而且从21图得出但在定义区间内却最多只有一个最大值M与最小值m.定理4.3.2(极值的必要条件)设函数

y=ƒ(x)在点x0

处可导.2.极值的必要条件证设为极值(不妨设为极大值),则存在x0的一邻域当

时,有处极大值却比处的极小值还小.若x0为的极值点,(即为极值).则x0

为函数的驻点,即22当

时,有当

时,有注4可导函数的极值点必是它的驻点.23

从而有几何意义:可导函数的图形在极值点处的切线是与x

轴平行的(罗尔定理).

注5

对可导函数来说,驻点不一定是极值点.即曲线上有水平切线的地方,

函数不一定有极值.如oxy则x=0

为

f(x)=x3

的驻点.如图:x=0

不是f(x)=x3

的极值点.24

注6

对于函数y=|x|,

我们已知x=0是函数的连续不可导点.但x=0是函数的极小值点.如图.oxy=|x|也就是说,连续不可导点也可能是极值点.从直观图形看,不难得出如下的结论:那么如何判断驻点和导数不存在的点处是否为极值点呢?y

结论:

对于可微函数来讲“极值点一定是驻点,

但驻点却不一定是极值点”.从而,可微函数的极值点必在其驻点之中。25

定理4.3.3(极值存在的第一充分条件)设函数y=ƒ(x)在

3.极值存在的充分条件内连续,在内可导.26因此求极值的一般步骤为:此定理可简单叙述为:设x0为连续函数ƒ(x)的可能极值点,若当x从x0左侧变到右侧时,

(2)考察这些点两侧导函数的符号(方法:特殊取点),从而确定极值点;(3)求出极值点的函数值,即为极值.值点.证

由极值的定义及定理1可证.变号,则x0为ƒ(x)的极

(1)确定函数定义域,确定函数的驻点及连续不可导点;在x0的两侧保号,

则x0不是ƒ(x)的极值点.若27不是极值点,故只有极小值解例6

求函数的极值.28例7

求函数此函数的单调性在前面已讨论,现重新列表如下:x

故函数有极大值ƒ(0)=0.

函数有极小值解

当函数在驻点处的二阶导数存在且不为0时,也可用下面定理来判定ƒ(x)在驻点处取得极大值还是极小值.29定理4.3.4(极值存在的第二充分条件)

设函数y=ƒ(x)在点x0处的二阶导数存在,若证及极限的保号性定理知则x0是函数ƒ(x)的极值点;

值.且只证(1)由于为函数的极时,则x0处为极小值点;

为极小值;时,则x0处为极大值点;

为极大值.30的邻域内由负变到正,则由定理4.3.2知,ƒ(x)在x0处取得极小值.31(3)求出极值点的函数值,即为极值.注7运用定理4.3.4求极值的步骤是:(1)给出定义域,并找出定义域内所给函数的全部驻点,和一阶导数不存在的点;(2)考察在驻点处的符号,从而确定极值点;32例8