寓优化思维于变题教学

精品文档-下载后可编辑寓优化思维于变题教学数学是思维的体操.优化学生的思维品质，培养学生的思维能力，是数学课堂教学的核心目标.无论是新授课，还是复习课，都应紧紧围绕这一核心目标开展实施.本文就如何在习题的变化教学中完成这一核心目标，寓优化思维于变题教学，浅谈笔者的一点教学体会，与大家共勉.

培养学生思维的敏捷性?摇

思维的敏捷性表现在善于联想，灵活转换，在解题过程中能快速调整自己的思维，从而作出正确的判断与推理.在讲授《排列﹒组合》时，有这样一道常见习题：

题14个不同的小球放入4个不同的盒子中，恰有一个空盒的放法有____种.

在学生给出正确答案C?A=144之后，笔者有意将此题作了如下变化：

变题14个不同的小球放入4个相同的盒子中，恰有一个空盒的放法有____种；

变题24个相同的小球放入4个不同的盒子中，恰有一个空盒的放法有____种；

变题34个相同的小球放入4个相同的盒子中，恰有一个空盒的放法有____种.

这样，随着小球与盒子的相同和不同的变化，一下子牢牢地吸引了学生的注意力，迫使学生针对球与盒子的相同与不同去调整自己的解题思维.

学生甲：原题中由于球与盒子都不同，又必须有两个球在同一个盒子中，故采取了先分组（C），后排列（A）的策略，而变题1由于盒子相同，故谁是空盒都一样，只需将4个球分成3组即可，属于平均分组问题.所以有C=6种放法.

甲的发言，条理清晰，赢得了同学们的热烈掌声.

学生乙：变题2中由于小球相同，故只需要考虑4个盒子中哪个盒子中放2个小球，哪个是空盒子，相当于从四个元素中取两个的排列，所以有A=12种放法.

“好的，以上两位同学回答得非常正确，那么变题3呢？”

“一种放法”，大家争先恐后.

“为什么？”

学生丙：由于球与盒子都相同，所以谁是空盒，谁放两个球没有任何区别，故投放方式唯一.

无疑，变题吸引了学生的课堂注意力，调动了学生的学习积极性，培养了学生的思维能力.注重变题教学，确有一变多得之功效.

培养学生思维的广阔性

思维的广阔性体现在能全面完整地、多角度地思考问题.有这样一道习题：

题2已知ABCD是复平面上的平行四边形，顶点A，B，C分别对应复数－3－2i，－4+5i，2+i，则点D对应的复数是____，向量对应的复数是_____.

当学生完成此题后，笔者将此题作了如下变化：

变题：已知复平面上一平行四边形的三个顶点A，B，C分别对应复数－3－2i，－4+5i，2+i，则第四个顶点D对应的复数是_____，向量对应的复数是_____.

显然，原题与变题之间的差异在于前者给出了平行四边形的四个顶点的排列顺序，后者则没有规定其排列顺序.这样，对于变题，就需要学生全面地、多角度的去思考，分别以AB，AC，BC为对角线处理问题，从而得到多个结果.通过这样的比较学习，对提高学生的思维能力无疑是大有裨益的.

培养学生思维的深刻性

思维的深刻性强调抓住事物间的内在联系和本质特征，从本质上看问题.为了促进学生思维的深刻性的培养，教学中，笔者常将同类习题放在一起作比较，让学生在归纳、类比中深化认识，提升能力.如：

题3对于满足0≤x≤4的所有实数x，使不等式x2+px>4x+p－3恒成立的p的取值范围是_______.

题4对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x2+px>4x+p－3恒成立的x的取值范围是_______.

对于题3，一般学生都能处理，要使f（x）=x2+（p－4）x+3－p>0恒成立，只需f（x）的最小值大于零.这是因为学生对以x为自变量的函数f（x）都有比较深刻的认识.而对于题4，绝大多数学生却不会处理，究其原因，学生还局限在以x为自变量的函数中.若将这两题放在一起，让学生进行比较、辨析，则不难发现：题3处理的实质，是以x为自变量（p为参数）整理成关于x的二次函数f（x），按照f（x）>0恒成立的模式求解.那么题4能不能整理成以p为自变量（x为参数）的一次函数f（p），再由f（p）>0恒成立求解呢？通过这样一个辨析、比较和归纳的过程，学生对函数的理解就有了更加深刻的认识，从而题4可迎刃而解.又如：

题5如果函数f（x）=x2+2（a－1）x+2在区间（-∞，4］上单调递减，则实数a的取值范围是_______.

题6?摇如果函数f（x）=x2+2（a－1）x+2的单调减区间为（-∞，4］，则实数a的值为_______.

这两题也是教学中常见的习题.往往大多数学生会误将题6当作题5去做.但若将这两题放在一起，让学生去辨析“函数在区间D上单调”和“函数的单调区间是D”的区别，则更有利于培养学生思维的深刻性，变题教学的重要性在此不言而喻.

培养学生思维的批判性与创造性

思维的批判性表现在敢于怀疑，积极探索；思维的创造性是指有创见性的思维活动.课堂教学中，笔者曾遇到过这样一例：

题7?摇满足方程=x+y－3的点P（x，y）的轨迹为（）

A.椭圆B.双曲线

C.抛物线?摇?摇D.直线

首先，在剖析了部分学生把已知等式两边平方处理将走入困境之后，笔者提示学生联系圆锥曲线的定义，对已知等式作恒等变形：原等式可变为=，它表示动点P（x，y）到定点F（1，1）的距离与到定直线l：x+y－3=0的距离的比为，因为>1，由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线.故选B.

在确定上述解答的正确性之后，笔者接着提出，若将题中的条件变为：=x+y－2，结果又如何呢？学生们起先不以为然，还是选B的呼声一浪高过一浪.笔者不语，只在黑板上画了一个“？”，这时大家面面相觑，会有变化吗？学生们满脸疑惑.于是，笔者要求学生们仔细比较这两题之间的差异.

“直线l发生了变化，由直线x+y－3=0变成了直线x+y－2=0.”一个学生答到.

教师：l的变化又会引起什么变化呢？

“F与l的相对位置发生了变化.原题中点F不在直线l上，改变条件后，点F在直线l上了”.另一个学生抢答到.

教师：好的，这位同学很细心，这点变化也让他发现了.笔者对这位学生的发言给予了表扬.“那么，F与l的位置的变化，会引起点的轨迹的变化吗？”笔者的问题引起了学生思维的爆炸.

堂上一阵沉默……

“圆锥曲线的焦点不在其准线上，因此在圆锥曲线的统一定义中，点F应不在直线l上.但是，变题后，点F（1，1）在直线l：x+y－2=0上，不再满足定义中的条件，所以变题的轨迹不再是双曲线.”又一个学生回答到，课堂里响起了热烈的掌声.

“好的，既然同学们明白了这个道理，那就请大家探讨：若动点P到定点F的距离PF与它到定直线l的距离d满足PF=ed（F∈l），当e>1时，P点的轨迹为_________；当e=1时，P点的轨迹为_________；当0

学生们兴趣盎然，争先恐后，分组探讨，归纳出如下结论：

结论：若动点P到定点F的距离PF与它到定直线l的距离d满足PF=ed（F∈l），当e>1时，P点的轨迹是过点F且与l的夹角为arcsin（或夹角α满足sinα=）的两条直线，如图1；当e