科学计算1概述

科学计算与科学实验、科学理论并列为科学方法论的三大组成部分三足鼎立科学理论科学实验科学计算科学计算的地位理论思维实验思维计算思维以计算机为代表以物理为代表以数学为代表三种思维方式关键时期的几个代表人物GalileoKeplerV.NeumannEinsteinNewton开创了微积分，提出了力学的三大定律，特别是万有引力定律，是科学发展进入理论思维的标志提出的相对论理论思维的顶峰1.实验物理的开创者，倡导科学的数学化2.对行星数据的计算和分析，提出行星运动三大定律研制的第一台计算机带来了科学研究的新的革命科学计算与实验、理论三足鼎立，相辅相成，成为当今科学活动的三大方法科学计算能做什么？1、一个两千年前的例子今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？答曰：上禾一秉九斗四分斗之一。中禾一秉四斗四分斗之一。下禾一秉二斗四分斗之三。-------《九章算术》

线性方程组的数值方法！x是行星运动的轨道，它是时间t的函数

非线性方程的数值解法2、天体力学中的kepler方程全球定位系统（GlobalPositioningSystem,GPS)全球定位系统：在地球的任何一个位置，至少可以同时收到4颗以上卫星发射的信号

表示地球上一个接收点R的当前位置，卫星Si的位置为，则得到下列非线性方程组记为其中3、非线性方程组的数值解法4、插值测得在某处海洋不同深度处的水温如下：深度（M）46674195014221634水温（oC）7.044.283.402.542.13根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米，600米，1000米…）处的水温实测井眼曲线的拟合直井井眼轨迹可近似看成直线，而定向井则是一条空间曲线，实测井眼的测量数据为井斜角和方位角随井深变化的一组离散数据。设已知定向井某段x∈[a,b]上有N+1个测点(（x0,α0,θ0）,（x1,α1,θ1）,……,（xN,αN,θN）)。求井斜角α及方位角θ在上随井深变化的连续函数α(x)和θ(x)。曲线拟合下面给出的是中国1900年到2000年的人口数，我们的目标是预测未来的人口数（数据量较大时）195055196196066207197082992198098705199011433320001267435、曲线拟合曲线拟合

建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平整的铝板压制而成的.假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的高度(从中心线)为1英寸,且每个波纹以近似2π英寸为一个周期.求制做一块波纹瓦所需铝板的长度L.铝制波纹瓦的长度问题6、数值积分

这个问题就是要求由函数f(x)=sinx给定的曲线从x=0到x=48英寸间的弧长L.

由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为:上述积分称为第二类椭圆积分,它不能用普通方法来计算.A，B，C是三种蛋白质，其反应如下：生物化学反应的例子

A：

B：C：

7、常微分方程的数值方法和计算有关的诺贝尔奖威尔逊因重正化群方法获1982年物理学奖克鲁格因生物分子结构理论获1982年化学奖豪普曼因X光晶体结构分析方法获1985年化学奖科恩与波普尔因计算量子化学方法获1998年化学奖。和计算有关的重大科技创新闻名遐迩的中国科学大师华罗庚的“华-王方法”冯康的有限元方法吴文俊的“吴方法”19世纪,法国天文学家勒维耶用计算数据指点天文台发现了海王星20世纪用爱因斯坦创立的广义相对论算出水星每百年进动43

,揭开了牛顿力学无法解释的百年难题通过计算机的数值计算证明了前人未能证明的“四色定理”。1计算方法的研究内容和意义2误差理论3数值方法的稳定性和算法设计原则第一章绪论1研究用计算机解决数学问题的数值方法和理论2算法设计3算法分析收敛性稳定性误差分析等计算方法的研究内容运算速度存储量等计算机解决实际问题的步骤必要时重复进行，直到符合要求编程计算结果选择数值算法建立数学模型实际问题

主要内容非线性方程求根1线性方程组求解2插值与拟合3数值积分4常微分方程初值问题的数值解法5算法研究的意义引例1：求n次多项式的值引例引例2：求解n阶线性方程组.引例1计算n次多项式的值n(n+1)/2次乘法

n次加法不设计算法

n次乘法

n次加法运算次数明显减少设计算法秦九韶算法输入数据S赋初值做循环输入多项式的次数n和x及系数（an,an-1,…,a1,a0）s表示多项式的值s=an做循环i=n-1，…，0s=s*x+ai算法：从已知出发，经过有限次四则运算及规定的运算顺序构成的完整的计算步骤。输出数据输出s本周实验的第一题:实验一的第3题。秦九韶简介

秦九韶（公元1202－1261），字道古，安岳人。秦九韶与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。其父秦季栖，进士出身，官至上部郎中、秘书少监。

秦九韶聪敏勤学。宋绍定四年（1231），秦九韶考中进士，先后担任县尉、通判、参议官、州守、同农、寺丞等职。先后在湖北、安徽、江苏、浙江等地做官，1261年左右被贬至梅州（今广东梅县），不久死于任所。他在政务之余，对数学进行虔心钻研，并广泛搜集历学、数学、星象、音律、营造等资料，进行分析、研究。

宋淳祜四至七年（1244至1247），他在为母亲守孝时，把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑，写成了闻名的巨著《数书九章》，并创造了“大衍求一术”。这不仅在当时处于世界领先地位，在近代数学和现代电子计算设计中，也起到了重要作用，被称为“中国剩余定理”。他所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”。现在，世界各国从小学、中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理、定律和解题原则。秦九韶在数学方面的研究成果，比英国数学家取得的成果要早500多年。

秦九韶的数学成就及对世界数学的贡献主要表现在：1、秦九韶的《数书九章》是一部划时代的巨著

秦九韶潜心研究数学多年，在湖州守孝三年，所写成的世界数学名著《数书九章》，《癸辛杂识续集》称作《数学大略》，《永乐大典》称作《数书九章》。全书九章十八卷，九章九类：“大衍类”、“天时类”、“田域类”、“测望类”、“赋役类”、“钱谷类”、“营建类”、“军旅类”、“市物类”，每类9题（9问）共计81题（81问），该书内容丰富至极，上至天文、星象、历律、测候，下至河道、水利、建筑、运输，各种几何图形和体积，钱谷、赋役、市场、牙厘的计算和互易。许多计算方法和经验常数直到现在仍有很高的参考价值和实践意义，被誉为“算中宝典”。该书著述方式，大多由“问曰”、“答曰”、“术曰”、“草曰”四部分组成：“问曰”，是从实际生活中提出问题；“答曰”，给出答案；“术曰”，阐述解题原理与步骤；“草曰”，给出详细的解题过程。此书已为国内外科学史界公认的一部世界数学名著。此书不仅代表着当时中国数学的先进水平，也标志着中世纪世界数学的最高水平。我国数学史家梁宗巨评价道：“秦九韶的《数书九章》（1247年）是一部划时代的巨著，内容丰富，精湛绝伦。特别是大衍求一术（不定方程的中国独特解法）及高次代数方程的数值解法，在世界数学史上占有崇高的地位。那时欧洲漫长的黑夜犹未结束，中国人的创造却像旭日一般在东方发出万丈光芒。”2、秦九韶的“大衍求一术”，领先高斯554年，被康托尔称为“最幸运的天才”秦九韶所发明的“大衍求一术”，即现代数论中一次同余式组解法，是中世纪世界数学的最高成就，比西方1801年著名数学家高斯（Gauss，1777—1855年）建立的同余理论早554年，被西方称为“中国剩余定理”。秦九韶不仅为中国赢得无尚荣誉，也为世界数学作出了杰出贡献。3、秦九韶的任意次方程的数值解领先霍纳572年秦九韶在《数书九章》中除“大衍求一术”外，还创拟了正负开方术，即任意高次方程的数值解法，也是中世纪世界数学的最高成就，秦九韶所发明的此项成果比1819年英国人霍纳（W·G·Horner，1786—1837年）的同样解法早572年。秦九韶的正负方术，列算式时，提出“商常为正，实常为负，从常为正，益常为负”的原则，纯用代数加法，给出统一的运算规律，并且扩充到任何高次方程中去。此外，秦九韶还改进了一次方程组的解法，用互乘对减法消元，与现今的加减消元法完全一致；同时秦九韶又给出了筹算的草式，可使它扩充到一般线性方程中的解法。在欧洲最早是1559年布丢（Buteo，约1490—1570年，法国）给出的，他开始用不很完整的加减消元法解一次方程组，比秦九韶晚了312年，且理论上的不完整也逊于秦九韶。秦九韶还创用了“三斜求积术”等，给出了已知三角形三边求三角形面积公式，与海伦（Heron，公元50年前后）公式完全一致。秦九韶还给出一些经验常数，如筑土问题中的“坚三穿四壤五，粟率五十，墙法半之”等，即使对现在仍有现实意义。秦九韶还在十八卷77问“推计互易”中给出了配分比例和连锁比例的混合命题的巧妙且一般的运算方法，至今仍有意义。引例2求n阶线性方程组的解引例2的计算量

计算量计算时间克莱姆法则n=20时的计算量为(n+1)n!(n-1)=9.7×1020每秒3千亿次的计算机要算100年1.2误差误差近似值与准确值之差，称为误差。

考虑适当多的因素模型误差测量误差截断误差舍入误差

保留适当多的位数

取平均值改进测量仪器

取适当多的项误差的来源和控制2、误差的基本概念定义1.1设x为准确值，x*为其近似值，称E=x-x*为近似值x*的绝对误差，简称误差。ε称为x*的绝对误差限，简称误差限，也叫精度。由误差限ε可知准确值x的范围x*-ε≤x≤x*+ε在工程中常记为

x=x*±ε2.误差的基本概念定义1.2

近似值x*的误差与其准确值x之比

称为近似值x*的相对误差。均称为相对误差限实际中经常用代替相对误差限

相对误差绝对值的任一个上界定义1.3设x*是准确值x的一个近似值，把它写成规格化形式

x*=(1.1)(i=1,2,…,m)为0到9中的某个数字，且若x*的绝对误差E满足则称x*有n位有效数字其中定理1.1定理1.1设x*是准确值x的某个近似值，其规格化形式为(1.1)，(1)若x*具有n位有效数字，则x*的相对误差满足(2)若x*的相对误差满足则x*至少具有n位有效数字。

x*=(1.1)证明证10k-1=0.1×10k≤于是

(1)若x*具有n位有效数字，则

即≤10k证明(2)若则于是x*至少具有n位有效数字。改进定理的结论结论可以精确到什么程度？如何证明？10k-1=0.1×10k≤≤10k10k-1=0.a1×10k≤≤0.(a1+1)10k=(a1+1)*10k-11.3数值方法的稳定性与算法设计原则算法设计技术算法设计原则牛顿迭代法求a的算术平方根xk+1=(xk+a/xk)/2秦九韶算法龙贝格求积算法千古绝技“割圆术”算法设计的技术化大为小的缩减技术化难为易的校正技术化粗为精的松弛技术

算法设计的原则防止大数“吃掉”小数1避免两个相近数相减2避免大数作乘数和小数作除数33减少运算次数，避免误差积累44采用稳定的算法5采用稳定的算法

例1.2计算积分

解：根据分步积分公式，可得

即有两种方法：1.先求I0，再求I1，I2，……，I92.先求I9，再求I8，I7，……，I0例1.2计算积分(1)先计算，然后使用递推公式

设计算值的误差为易证，若则

由此可见，若计算时产生了误差，则用该方法计算时将误差放大了9!=362880倍，因此该数值方法不可取。这就是不稳定的算法。由于误差传播引起的危害。

差之毫厘，失之千里《礼记·经解》《易》曰：‘君子慎始，差若毫厘，缪以千里。’《魏书·乐志》但气有盈虚，黍有巨细，差之毫厘，失之千里。误差的传播与积累蝴蝶效应

——一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷风？！BXMG蝴蝶效应先从美国麻省理工学院气象学家洛伦兹（Lorenz）的发现谈起。为了预报天气，他用计算机求解仿真地球大气的13个方程式。为了更细致地考察结果，他把一个中间解取出，提高精度再送回。而当他喝了杯咖啡以后回来再看时竟大吃一惊：本来很小的差异，结果却偏离了十万八千里！计算机没有毛病，于是，洛伦兹（Lorenz）认定，他发现了新的现象：“对初始值的极端不稳定性”，即：“混沌”，又称“蝴蝶效应”，亚洲蝴蝶拍拍翅膀，将使美洲几个月后出现比狂风还厉害的龙卷风！1979年12月，洛伦兹（Lorenz）在华盛顿的美国科学促进会的一次讲演中提出：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷风。例1.2计算积分(2)先计算，然后用由(1.2)得到的递推公式计算

显然，如果在计算时产生