变化率问题导数的概念

3.1.1变化率问题与导数的概念引言：

导数是微积分的核心概念之一.它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具，如：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。问题1气球膨胀率

在吹气球的过程中,可发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度,如何描述这种现象呢?

气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是若将半径r表示为体积V的函数,那么当空气容量V从0L增加到1L,气球半径增加了气球的平均膨胀率为当空气容量V从1L增加到2L,气球半径增加了气球的平均膨胀率为

随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小思考?当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系：

如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态,那么:在0≤t≤0.5这段时间里,在1≤t≤2这段时间里,显然，在不同的时间段里他的运动状态也不同；探究：

结论：平均速度不能反映他在整体时间里的运动变化情况，所以需要用瞬间速度来描述运动状态.定义:平均变化率:式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.令△x=x2–x1,△f=f(x2)–f(x1),则注意：式子中△x是一个整体符号，而不是△与x相乘，△x的值可正、可负，但△x的值不能为0，练习:1.质点运动规律s=t2+3，则在时间（3，3+△t△）中，相应的平均速度=_________.2.已知函数f(x)=2x+1,分别计算在下列区间上f(x)的平均变化率.(1)[–3,–1];(2)[0,5].3.已知函数f(x)=–x2+x的图象上的一点A(–1,–2)及临近一点B(–1+Δx,–2+Δy),则Δy/Δx=()A3B3Δx–(Δx)2C3–(Δx)2D3-ΔxD由上可知：在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.

又如何求这瞬时速度呢?求：从2s到(2+△t)s这段时间内跳水运动员的平均速度.△t<0时,在[2+△t,2]这段时间内△t>0时,在[2,2+△t]这段时间内当△t=–0.01时,当△t=0.01时,当△t=–0.001时,当△t=0.001时,当△t=–0.0001时,当△t=0.0001时,△t=–0.00001,△t=0.00001,△t=–0.000001,△t=0.000001,…………当△t取不同值时，的变化情况如下：发现：当△t趋近于0时,即无论t从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近于一个确定的值–13.1.

从物理的角度看,时间间隔|△t|无限变小时,平均速度就无限趋近于t=2时的瞬时速度.因此,运动员在t=2时的瞬时速度就是–13.1.表示“当t=2,△t趋近于0时,平均速度趋近于确定值–13.1”.探究:1.运动员在任意一时刻t0的瞬时速度怎样表示?2.函数f(x)在x=x0

处的瞬时变化率又该怎样表示?定义:函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作或,即注意:由导数的定义可知,求函数y=f(x)的导数的一般步骤:求函数的改变量2.求平均变化率3.求极值简记为：一差、二化、三极限例1、设函数分f(x)=x2-1，求:（1）当自变量x由1到1.1时，自变量的增量△x;（2）当自变量x由1到1.1时，函数的增量△y;（3）当自变量x由1到1.1时，函数的平均变化率;（4）函数在x=1处的瞬时变化率（即导数）。例题2

将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果第xh时,原油的温度(单位:)为f(x)=x2–7x+15(0≤x≤8).计算第2h和第6h,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.解:在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是和根据导数的定义,所以,同理可得

在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为–3和5.它说明在第2h附近,原油温度大约以3/h的速率下降;在第6h附近,原油温度大约以5/h的速率上升.练习：12、求y=x2在x=1处的导数.小