广东省汕头市2015年高三第一次模拟考试文科数学试题

广东省汕头市2015年高三第一次模拟考试文科数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、若集合，，则集合（）A．B．C．D．2、在中，，，，则（）A．或B．C．D．以上答案都不对3、在复平面内，复数，对应的点分别为，，则线段的中点对应的复数为（）A．B．C．D．4、已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．B．C．D．5、下列函数中，是偶函数，且在区间内单调递增的函数是（）A．B．C．D．6、一个锥体的主视图和左视图如下图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（）A．B．C．D．7、若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为（）A．B．C．D．8、如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内应填入的条件是（）A．B．C．D．9、下列命题中正确的是（）A．若为真命题，则为真命题B．“，”是“”的充分必要条件C．命题“若，则或”的逆否命题为“若或，则”D．命题，使得，则，使得10、在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，，，，．给出如下四个结论：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④整数，属于同一“类”的充要条件是“”．其中，正确结论的个数是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）（一）必做题（11～13题）11、已知数列为等差数列，，，则．12、已知向量，的夹角为，且，，则．13、已知实数，满足，则的取值范围是．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线被圆截得的弦长为．15、（几何证明选讲选做题）如图，是半圆的圆心，直径，是圆的一条切线，割线与半圆交于点，，则．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16、（本小题满分12分）已知函数，．求的值；若，，求．17、（本小题满分12分）为了解某市民众对某项公共政策的态度，在该市随机抽取了名市民进行调查，做出了他们的月收入（单位：百元，范围：）的频率分布直方图，同时得到他们月收入情况以及对该项政策赞成的人数统计表：求月收入在内的频率，并补全这个频率分布直方图，并在图中标出相应纵坐标；根据频率分布直方图估计这人的平均月收入；若从月收入（单位：百元）在的被调查者中随机选取人，求人都不赞成的概率．18、（本小题满分14分）如图，四边形为菱形，为平行四边形，且平面平面，设与相交于点，为的中点．证明：；若，，，求三棱锥的体积．19、（本小题满分14分）已知数列的前项之和为（），且满足．求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；求证：．20、（本小题满分14分）椭圆（）的左焦点为，右焦点为，离心率．设动直线与椭圆相切于点且交直线于点，的周长为．求椭圆的方程；求两焦点、到切线的距离之积；求证：以为直径的圆恒过点．21、（本小题满分14分）已知常数，函数，．讨论在上的单调性；若在上存在两个极值点，，且，求常数的取值范围．2015年汕头市普通高考第一次模拟考试试题文科数学参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号12345678910答案ACDADCBBDB二、填空题（本大题共做4小题，每小题5分，共20分）11.2；12.．-5；13.；14.15.三、解答题：本大题共6题，满分80分.16、解：（1）…4分（2）…6分

…………12分17、解：(1)1-0.01×10×3-0.02×10×2=0.3………1分………3分（2）（百元）……………5分即这50人的平均月收入估计为4300元。………………6分（3）[65，75]的人数为5人，其中2人赞成，3人不赞成。……………7分记赞成的人为，不赞成的人为……………8分ABCDEGABCDEGH第18题图F其中2人都不赞成的是：共3种情况。…………11分2人都不赞成的概率是：…………12分18、（1）证明：四边形为菱形，………………1分又面面=………………2分面面C………………3分,………………4分………………5分………………6分（2）在中，所以,………………6分………………8分，,………………9分………………….10分又,,,..................................................12分……………..14分注：另两种求体积方法19．（1）………..1分两式相减，得，整理………………..3分…………………..……..5分是首项为，公比为的等比数列………………....6分……………..……..7分（2）..10分 ……………....12分…………………..14分20．解：（1）设则，解得………………3分∴，∴椭圆E:…………4分(2)由+=1 ………………6分设直线与椭圆E相切于点P则………7分焦点到直线的距离分别为，，………8分则………9分(3)∴=-，∴……10分又联立与，得到………11分, …………………………13分∴∴以PN为直径的圆恒过点………14分注：用椭圆切线容易计算21.解：(1)f′(x)＝(*)……………………1分当a≥1时，f′(x)>0，此时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．………………3分当0<a<1时，由f′(x)＝0得x1＝2eq\r(\f(1－a,a))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＝－2\r(\f(1－a,a))舍去))……………………4分当x∈(0，x1)时，f′(x)<0；当x∈(x1，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在区间(0，x1)上单调递减，在区间(x1，＋∞)上单调递增．…………5分综上所述，当a≥1时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；当0＜a＜1时，f(x)在区间（0，）上单调递减，在区间（，+）上单调递增．………6分(2)由(*)式知，当a≥1时，f′(x)≥0，此时f(x)不存在极值点，因而要使得f(x)有两个极值点，必有0<a<1.…………………7分又f(x)的极值点只可能是x1＝2eq\r(\f(1－a,a))和x2＝－2eq\r(\f(1－a,a))，且由f(x)的定义可知，x>－eq\f(1,a)且x≠－2，所以－2eq\r(\f(1－a,a))>－eq\f(1,a)，－2eq\r(\f(1－a,a))≠－2a(0,)(,1)…………8分此时，由(*)式易知，x1，x2分别是f(x)的极小值点和极大值点．而g(x1)＋g(x2)＝ln(1＋ax1)－eq\f(2x1,x1＋2)＋ln(1＋ax2)－eq\f(2x2,x2＋2)＝ln[1＋a(x1＋x2)＋a2x1x2]－eq\f(4x1x2＋4（x1＋x2）,x1x2＋2（x1＋x2）＋4)＝ln(2a－1)2－eq\f(4（a－1）,2a－1)＝ln(2a－1)2＋eq\f(2,2a－1)－2.…………9分令2a－1＝x.由0<a<1且a≠eq\f(1,2)知，当0<a<eq\f(1,2)时，－1<x<0；当eq\f(1,2)<a<1时，0<x＜1.………………10分记h(x)＝lnx2＋eq\f(2,x)－2.（i）当－1<x<0时，h(x)＝2ln(－x)＋eq\f(2,x)－2，从而h(x)<－4<0.故当0<a<eq\f(1,2)时，g(x1)＋g(x2)<0.不合题意，舍去…………12分(ii)当0<x<1时，h(x)＝2lnx＋eq\f(2,x)－2，所以h′(x)＝eq