2024年高考数学第一轮复习专题5.3 平面向量的数量积及其应用 （解析版）

5.3平面向量的数量积及其应用思维导图知识点总结1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：对于两个非零向量a和b，在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角.当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；当θ＝90°时，则称a与b垂直，记作a⊥b.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cos__θ叫作向量a和b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ.(3)投影向量设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，eq\o(OA,\s\up6(→))表示向量a，eq\o(OB,\s\up6(→))表示向量b，过点A作eq\o(OB,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量eq\o(OA1,\s\up6(→))的变换称为向量a向向量b投影，向量eq\o(OA1,\s\up6(→))

称为向量a在向量b上的投影向量.向量a在向量b上的投影向量为(|a|cos__θ)eq\f(b,|b|).2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).(3)夹角：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·eq\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)).3.平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).4.平面几何中的向量方法三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.[常用结论]1.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式：(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c

，两边不能约去同一个向量.典型例题分析考向一数量积的计算例1(1)(2022·全国乙卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝eq\r(3)，|a－2b|＝3，则a·b＝()A.－2 B.－1C.1 D.2答案C解析由|a－2b|＝3，可得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝9，又|a|＝1，|b|＝eq\r(3)，所以a·b＝1，故选C.(2)(2023·八省八校联考)如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD的两边AB，AD向外分别作正方形ABEF，ADMN，其中AB＝2，AD＝1，∠BAD＝eq\f(π,4)，则eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))＝________.答案0解析法一eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))·(eq\o(FA,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(FA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(FA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝0＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AN,\s\up6(→))|coseq\f(3π,4)＋|eq\o(AD,\s\up6(→))||eq\o(FA,\s\up6(→))|coseq\f(π,4)＋0＝eq\r(2)－eq\r(2)＝0.法二建立平面直角坐标系，如图，

则A(0，2)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(\r(2),2)，2＋\f(\r(2),2)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，2＋\f(\r(2),2)))，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，eq\o(FN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，2＋\f(\r(2),2)))，则eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))＝－eq\r(2)－eq\f(1,2)＋eq\r(2)＋eq\f(1,2)＝0.感悟提升平面向量数量积的两种运算方法：(1)基底法，当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；(2)坐标法，当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.考向二数量积的应用角度1夹角与垂直例2(1)(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝()A.－6 B.－5C.5 D.6答案C解析由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t，4)，所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.因为〈a，c〉＝〈b，c〉，所以cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，

即eq\f(a·c,|a||c|)＝eq\f(b·c,|b||c|)，即eq\f(25＋3t,5)＝3＋t，解得t＝5，故选C.(2)已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，则实数λ的值为________.答案eq\f(22,15)解析因为eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，所以有eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－λeq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(λ－1)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－λeq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))2＝0，整理可得(λ－1)×3×4×cos120°－9λ＋16＝0，解得λ＝eq\f(22,15).角度2平面向量的模例3(2023·华大新高考联盟质测)已知平面向量a，b，c满足b⊥c，|b|＝|c|＝2，若a·b＝a·c＝8，则|a|＝________.答案4eq\r(2)解析依题意，a·b－a·c＝a·(b－c)＝0，所以a⊥(b－c)，而b⊥c，a·b＝a·c＝8，|b|＝|c|＝2，故〈a，b〉＝〈a，c〉＝45°，故a·b＝|a||b|cos45°＝8，解得|a|＝4eq\r(2).感悟提升1.求解平面向量模的方法(1)利用公式|a|＝eq\r(x2＋y2).(2)利用|a|＝eq\r(a2).2.求平面向量的夹角的方法(1)定义法：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，θ的取值范围为[0，π].(2)坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).

考向三平面向量与三角的结合应用例4(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，－sinβ)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1，0)，则()A.|eq\o(OP1,\s\up6(→))|＝|eq\o(OP2,\s\up6(→))| B.|eq\o(AP1,\s\up6(→))|＝|eq\o(AP2,\s\up6(→))|C.eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP3,\s\up6(→))＝eq\o(OP1,\s\up6(→))·eq\o(OP2,\s\up6(→)) D.eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP1,\s\up6(→))＝eq\o(OP2,\s\up6(→))·eq\o(OP3,\s\up6(→))答案AC解析由题意可知，|eq\o(OP1,\s\up6(→))|＝eq\r(cos2α＋sin2α)＝1，|eq\o(OP2,\s\up6(→))|＝eq\r(cos2β＋（－sinβ）2)＝1，所以|eq\o(OP1,\s\up6(→))|＝|eq\o(OP2,\s\up6(→))|，故A正确；取α＝eq\f(π,4)，则P1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，取β＝eq\f(5π,4)，则P2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，则|eq\o(AP1,\s\up6(→))|≠|eq\o(AP2,\s\up6(→))|，故B错误；因为eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP3,\s\up6(→))＝cos(α＋β)，eq\o(OP1,\s\up6(→))·eq\o(OP2,\s\up6(→))＝cosαcosβ－sinαsinβ＝cos(α＋β)，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP3,\s\up6(→))＝eq\o(OP1,\s\up6(→))·eq\o(OP2,\s\up6(→))，故C正确；因为eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP1,\s\up6(→))＝cosα，eq\o(OP2,\s\up6(→))·eq\o(OP3,\s\up6(→))＝cosβcos(α＋β)－sinβsin(α＋β)＝cos(α＋2β)，取α＝eq\f(π,4)，β＝eq\f(π,4)，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP1,\s\up6(→))＝eq\f(\r(2),2)，eq\o(OP2,\s\up6(→))·eq\o(OP3,\s\up6(→))＝coseq\f(3π,4)＝－eq\f(\r(2),2)，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP1,\s\up6(→))≠eq\o(OP2,\s\up6(→))·eq\o(OP3,\s\up6(→))，故D错误.感悟提升向量与三角函数结合时，通常以向量为表现形式，实现三角函数问题，要注意向量夹角与三角形内角的区别与联系.基础题型训练

一、单选题1．已知两个平面向量的夹角为，且，则等于（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】由平面向量数量积的运算律求解，【详解】故选：A2．已知向量满足，则（

）A．－2 B．－1 C．0 D．2【答案】C【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.【详解】.故选：C3．已知向量满足，则（

）A．2 B． C．8 D．【答案】B【分析】利用向量的数量积运算和模的运算法则可得，由此根据已知条件可求得答案.【详解】∵,又∵∴，∴，∴，故选：B.4．在等腰三角形中，，，若P为边上的动点，则（

）

A．4 B．8 C． D．【答案】B【分析】取的中点为，连接，可得及，利用数量积的运算律及中线向量公式可求．【详解】取的中点为，连接，因为，故，故，又，故选：B．5．设，均为单位向量，当，的夹角为时，在方向上的投影为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量投影计算公式，计算出所求的投影.【详解】在上的投影为，故选：B.【点睛】本小题主要考查向量投影的概念和运算，考查单位向量，属于基础题.6．已知向量与的夹角为，且，若，且，则实数的值为（

）A． B． C．6 D．13【答案】B【分析】根据向量数量积的定义及运算法则计算求解即可.

【详解】由,.故选：B.二、多选题7．已知单位向量，，则下列式子正确的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用单位向量的定义可判断C，D，利用平面向量的数量积公式计算可判断A，B.【详解】解：向量，为单位向量，所以有，故A正确；向量夹角未知，所以B不正确；，所以，所以C正确；向量，方向不一定相同，所以D不正确.故选：AC8．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形（图2）中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，且，则下列说法正确的是（

）

A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据正八边形的性质、平面向量数量积的定义及向量加法的平行四边形法则判断即可；【详解】解：依题意，故A错误；，故B正确；因为，即，所以以，为邻边的平行四边形为正方形，对角线长为，所以，故C正确；因为，所以，故D错误；故选：BC三、填空题9．已知，，且与的夹角为，则______．【答案】【分析】根据数量积的定义计算可得；【详解】解：因为，，且与的夹角为，所以故答案为：10．在边长为4的等边中，，则___________.【答案】.【分析】画出图形，利用已知条件，转化求解向量的数量积即可．【详解】解：边长为4的等边中，，，可得是的中点，是的中点，所以，

则．故答案为：．11．若向量、满足、，且、的夹角为，则______．【答案】【分析】根据数量积的定义求出，再根据及数量积的运算律计算可得.【详解】解：因为、，且、的夹角为，所以，所以.故答案为：12．如图，正的外接圆半径为，点是劣弧上的一动点，则的最小值为_________．

【答案】/【分析】由圆的性质可知是的角平分线，故可知与同向共线，再由平方可得的模为1，原式可化为换求的最小值.【详解】由圆的性质可知，，，是与同向的单位向量，设，原式可化为,由外接圆半径可知，，,当时，有最小值，即的最小值为.故答案为：四、解答题13．已知向量满足，且，求证．【答案】证明见解析【解析】要证，只需证明，再结合平面向量的数量积运算即可得证.

【详解】证明：∵，∴．故命题得证.【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，属基础题.14．设和是两个单位向量，其夹角是，求向量与的夹角.【答案】【分析】根据题意分别求出以及，进而根据平面向量的夹角公式即可求出结果.【详解】∵且与的夹角是，∴，，设与的夹角为θ，则又，∴，故与的夹角为.15．已知，且向量在向量方向上的投影数量为.（1）求与的夹角；（2）求；（3）当为何值时，向量与向量互相垂直？【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】根据数量积的概念、投影数量的概念和向量垂直的充要条件即可求解.【详解】（1）因为，所以.又在方向上的投影数量为，

所以，所以，所以.（2）.（3）因为与互相垂直，所以，所以，所以.16．设且，k、t是两个不同时为零的实数.(1)若与垂直，求k关于t的函数关系式；(2)求出函数的最小值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）由得，依题意相互垂直，它们的数量积为零，这个等式，化简得到的表达式；（2）由于的表达式为二次函数，故利用配方法可求得其最小值.（1），，即，.，∴，由得或，∵k、t是两个不同时为零的实数，∴.故.（2）

由（1）知=，，故函数的最小值为.提升题型训练一、单选题1．已知，，设与的夹角为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量的模求出，再结合公式计算即可.【详解】由题意知，，所以，，又，所以，故选：B2．已知非零向量，满足，且，则向量，的夹角（

）A． B． C． D．

【答案】D【分析】根据得到，再由向量数量积的运算法则，结合题中条件，即可求出结果.【详解】，，，．，．故选：D.3．已知的外接圆半径为1，圆心为O，且，则（

）A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】由，变形为，两边平方求解.【详解】因为的外接圆半径为1，圆心为O，且，所以，两边平方得，解得，故选：B4．已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】两边平方后可得，再由夹角公式求解即可.【详解】∵，平方得，∵，，∴，设，的夹角为，其中，可得，所以.故选：C.

5．点M在边长为4的正△ABC内（包括边界），满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求得的取值范围，利用向量数量积的运算求得的取值范围.【详解】分别是的中点，则，由于在三角形内（包括边界），且，所以点的轨迹是，所以..故选：B

6．的外接圆的圆心为，半径为且，则向量在向量方向上的投影为A． B． C． D．【答案】D【详解】试题分析：为中点，又的外接圆的圆心为，所以，因为，所以，因此向量在向量方向上的投影为，选D.考点：向量投影【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法

(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝|a||b|cosθ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.二、多选题7．边长为1的菱形中，，已知向量满足，则下列结论中正确的有（

）A．为单位向量 B．C． D．【答案】ABD【分析】根据单位向量的定义即可判断A选项；根据向量的线性运算和共线向量的概念即可判断B选项；由即可判断C选项；根据向量的线性运算和向量的垂直关系即可判断D选项.【详解】解：易知是边长为1的等边三角形，而

∴A正确；，而，∴，故B正确；∵夹角为，C不正确；取中点E，故，故D正确．故选：ABD.8．已知是的外心，若，则的取值可能是（

）A． B．-1 C．1 D．【答案】AB【分析】结合图形，将原式两边平方得，由图形可知，不能都是正数，利用三角代换，求函数的值域，即可判断选项.【详解】如图，，所以，，，即，

如图可知，点在优弧上，所以不能都是正数，所以设，，，即故选：AB三、填空题9．若向量，，，则与的夹角为___________.【答案】【分析】先由，求出，利用向量的夹角公式即可求解.【详解】，，，，，，，，又，则与的夹角为.故答案为：10．已知平面向量、的夹角为，且，，则______．

【答案】【解析】根据、的夹角为，且，，由利用数量积求解.【详解】因为、的夹角为，且，，所以，故答案为：.11．在直角坐标系xOy中，已知点，，，动点P满足，则的取值范围是______