新教材2023-2024学年高中数学第二章导数及其应用1平均变化率与瞬时变化率1.1平均变化率1.2瞬时变化率分层作业北师大版选择性必修第二册

第二章§1平均变化率与瞬时变化率1.1平均变化率~1.2瞬时变化率A级必备知识基础练1.[2023辽宁阜新高二阶段练习]函数f(x)=13x在区间[1,8]上的平均变化率为(A.-17 B.-114 C.12.[2023宁夏银川一中校考期中]如图,从上端口往一高为H的水缸匀速注入水,水注满所用时间为T.当水深为h时,水注入所用时间为t,则函数h=f(t)的图象大致是()3.某公司的盈利y(单位:元)与时间x(单位:天)的函数关系是y=f(x),假设f(x1)-f(x0)x1-x0>0(x1>x0≥0)恒成立,且A.公司亏损且亏损幅度变大B.公司的盈利增加,增加的幅度变大C.公司亏损且亏损幅度变小D.公司的盈利增加,增加的幅度变小4.[2023安徽马鞍山二中校考期中]一质点做直线运动,其位移s与时间t的关系为s=t2+2t,设其在t∈[2,3]内的平均速度为v1,在t=3时的瞬时速度为v2,则v1v2=A.76 B.78 C.65.已知y=f(x)=-x2+10,则y=f(x)在x=32处的瞬时变化率是(A.3 B.-3 C.2 D.-26.设函数f(x)=xlgx-x,当x由1变到10时,f(x)的平均变化率为.

7.一物体的运动方程为s(t)=t2-3t+2,则其在t=时的瞬时速度为1.

8.泰山十八盘是泰山登山路中最险要的一段,在当地有“紧十八,慢十八,不紧不慢又十八”之说,一段登山路线如图所示,同样是登山,从A处到B处会感觉比较轻松,而从C处到D处会感觉比较吃力.试用数学语言给出解释.9.枪弹在枪筒中的运动可以近似看作是匀加速直线运动,其路程(单位:m)与时间(单位:s)的关系式为s(t)=12at2,如果枪弹的加速度a=5×105m/s2,且当t=1.6×10-3s时,枪弹从枪口射出,求枪弹射出枪口时的瞬时速度B级关键能力提升练10.物体的运动函数是s=-4t2+16t,在某一时刻的速度为零,则相应时刻为()A.t=1 B.t=2 C.t=3 D.t=411.已知甲、乙两个小区在[0,t]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间t的关系如图所示.给出下列四个结论:①在[t1,t2]这段时间内,甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大;②在[t2,t3]这段时间内,乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大;③在t2时刻,甲小区的分出量比乙小区的分出量增长得慢;④甲小区在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[t2,t3]的平均分出量最大.其中所有正确结论的序号是()A.①② B.②③ C.①④ D.③④12.如图所示,单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积(阴影部分)的2倍,则函数y=f(x)的图象是()13.在曲线y=x2+6的图象上取一点(1,7)及邻近一点(1+Δx,7+Δy),则ΔyΔx为A.2+Δx B.Δx-1Δx-C.Δx+1Δx+2 D.2+Δ14.(多选题)已知某物体的运动函数为s(t)=7t2+8(0≤t≤5),则()A.当t=1到t=3时该物体的平均速度是28B.该物体在t=4时的瞬时速度是56C.该物体位移的最大值为43D.该物体在t=5时的瞬时速度是7015.将半径为R的球加热,若半径从R=1到R=m时球的体积的平均变化率为28π3,则m的值为.(注:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b16.一个小球沿某一斜面自由滚下,测得滚下的路程h(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系为h=2t2+3t,则当t=3s时球的瞬时速度为m/s.

17.一质点做直线运动,其位移s与时间t的关系为s(t)=t2+1,该质点在2到2+Δt(Δt>0)之间的平均速度不大于5.求Δt的取值范围.C级学科素养创新练18.服药后,人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位:mg/mL)来表示,它是时间t(单位:min)的函数,表示为c=c(t),下表给出了c(t)的一些函数值.t/min102030405060708090c(t)/(mg/mL)0.890.940.981.001.000.970.900.790.63服药后30min~70min这段时间内,药物浓度的平均变化率为mg/(mL·min).

19.若一物体运动函数如下:(位移单位:m,时间单位:s)s=f(t)=3t2(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度;(2)物体的初速度v0;(3)物体在t=1时的瞬时速度.

参考答案§1平均变化率与瞬时变化率1.1平均变化率~1.2瞬时变化率1.Bf(8)-f(12.D将容器看作一个球体,在刚开始注水时,由于球体的截面积较小,对于相同的Δt时间,高度Δh的变化较大,即ΔhΔt较大,即函数f(t)的导数值较大,到水注入球体的一半时,由于球体的截面积较大,f(t)的变化率较小,到接近于球体的顶端时,f(t)的变化率又较大.3.D由f(x1)-f(x0)x1-x0>0(x1又因为平均变化率f(10)-f(0)10=10>4.B根据平均速度定义可知,在t∈[2,3]内的平均速度为v1=32+2×3-22-2×23-当Δt趋于0时,ΔsΔt趋于8,所以在t=3时,瞬时速度为8,即v2所以v1v2=5.B∵ΔyΔx=f(32+Δx)-f(36.19f(10)-f(1)=10lg10-10-(lg1-1)=10-10+1=1,∴当x由1变到10时,f(x)的平均变化率为f7.2设物体在t=t0时的瞬时速度为1,因为Δ=(=2t0-3+Δt,当Δt趋于0时,2t0-3+Δt趋于2t0-3,∴2t0-3=1,解得t0=2.8.解山路从A处到B处高度的平均变化率为Δy1Δx1=10-050-0=15,山路从C处到D处高度的平均变化率为Δy2Δx2=30-15100-9.解∵s(t)=12at2,∴ΔsΔt=当Δt趋于0时,at+12aΔt趋于at由题意知,a=5×105m/s2,t=1.6×10-3s,∴at=8×102=800(m/s),即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.10.B设在t时刻的速度为0,∴ΔsΔt=-4(t当Δt趋于0时,-8t+16-4Δt趋于-8t+16,由-8t+16=0,解得t=2.11.B①在[t1,t2]这段时间内,甲的平均分出量小于乙,此说法错误.②在[t2,t3]这段时间内,乙的平均分出量大于甲,此说法正确.③在t2时刻,乙的图象比甲的图象陡,瞬时增长率大,此说法正确.④甲的图象大致为一条直线,所以三个时间段的平均分出量相等,此说法错误.故选B.12.D不妨设点A固定,点B从点A出发绕圆周旋转一周,刚开始时x很小,即弧AB长度很小,这时给x一个改变量Δx,那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量非常小,即弓形面积的变化较慢;当弦AB接近于圆的直径时,同样给x一个改变量Δx,那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量较大,即弓形面积的变化较快;从直径的位置开始,随着点B的继续旋转,弓形面积的变化越来越慢.由上可知函数y=f(x)的图象应该是首先比较平缓,然后变得比较陡峭,最后又变得比较平缓,对比各选项知D正确.13.AΔyΔx=[(1+Δx)14.ABD该物体在t=1到t=3时的平均速度是s(3)-s(1物体在t=4时的瞬时速度是当Δt趋于0时,s(4+Δt)-s(4)Δt物体的最大位移是7×52+8=183,故C错误;物体在t=5时的瞬时速度是当Δt趋于0时,s(5+Δt)-s(5)Δt15.2设球的体积为V,ΔV=4π3m3-4π3×13=4π3(m∴m2+m+1=7,∴m=2或m=-3(舍去).16.15ΔhΔt=2(t当t=3,且Δt趋于0时,ΔhΔt趋于15.所以当t=3s17.解质点在2到2+Δt(Δt>0)之间的平均速度为v=s(2+Δt又因为4+Δt≤5,所以Δt≤1,且Δt>0,故Δt的取值范围为(0,1].18.-0.002当时间t从30min变到70min时,血液中药物的浓度c相对于时间t的平均变化率为c(70)-c(19.解(1)∵物体在t∈[3,5]上的时间变化量为Δt=5-3=2(s),物体在t∈[3,5]上的位移变化量为Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48