武威市重点中学2023年数学高二上期末联考模拟试题含解析

武威市重点中学2023年数学高二上期末联考模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A. B.C. D.2．设平面向量，，其中m，，记“”为事件A，则事件A发生的概率为（）A. B.C. D.3．已知函数，则（）A. B.0C. D.14．已知，，若不等式恒成立，则正数的最小值是（）A.2 B.4C.6 D.85．已知函数，，若对任意的，，都有成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.6．已知是函数的导函数，则（）A0 B.2C.4 D.67．已知直线过点，，则该直线的倾斜角是（）A. B.C. D.8．直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则有（）A.， B.，C.， D.，9．在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当和的长度都为最短时，的值是（）A. B.C. D.10．已知命题“若，则”，命题“若，则”，则下列命题中为真命题的是（）A. B.C. D.11．直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离12．原点到直线的距离的最大值为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知A(1,3)，B(5，－2)，点P在x轴上，则使|AP|－|BP|取最大值的点P的坐标是________14．在中，，是线段上的点，，若的面积为，当取到最大值时，___________.15．已知数列的前n项和，则其通项公式______16．若椭圆的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为，，直线恰好经过椭圆的上焦点和右顶点，则椭圆的方程是________________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，四棱锥中，底面为正方形，底面，，点，，分别为，，的中点，平面棱（1）试确定的值，并证明你的结论；（2）求平面与平面夹角的余弦值18．（12分）我国是世界最大的棉花消费国、第二大棉花生产国，其中，新疆棉产量约占国内产量的87%，消费量约占国内消费量的67%．新疆棉的品质高：纤维柔长，洁白光泽，弹性良好，各项质量指标均超国家标准．尤其是被授予“中国彩棉之乡”称号的新疆建设兵团一四八团生产的天然彩棉，株型紧凑，吐絮集中，品质优良，色泽纯正、艳丽，手感柔软，适合中高档纺织．新疆彩棉根据色泽、手感、纤维长度等评分指标打分，得分在区间内分别对应四级、三级、二级、一级．某经销商从采购的新蚯彩棉中随机抽取20包（每包1kg），得分数据如图（1）试统计各等级数量，并估计各等级在该批彩棉中所占比例；（2）用样本估计总体，经销商参考以下两种销售方案进行销售：方案1：不分等级卖出，单价为1.79万元/吨；方案2：分等级卖出，不同等级的新疆彩棉售价如下表所示：等级一级二级三级四级售价（万元/吨）若从经销商老板的角度考虑，采用哪种方案较好？并说明理由19．（12分）设命题p：，命题q：关于x的方程无实根.（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若为假命题，为真命题，求实数m的取值范围20．（12分）已知数列中，，的前项和为，且数列是公差为-3的等差数列.（1）求；（2）若，数列前项和为.21．（12分）在所有棱长均为2的三棱柱ABC-A1B1C1中，∠B1BC=60°，求证:（1）AB1⊥BC；（2）A1C⊥平面AB1C1.22．（10分）已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上，求此圆的标准方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据题意，由双曲线的标准方程可得双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，由点到直线的距离公式计算可得答案.【详解】解：根据题意，双曲线的方程为，其焦点坐标为，其渐近线方程为，即，则其焦点到渐近线的距离；故选D.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，关键是求出双曲线的渐近线与焦点坐标.2、D【解析】由向量的数量积公式结合古典概型概率公式得出事件A发生的概率.【详解】由题意可知，即，因为所有的基本事件共有种，其中满足的为，，只有1种，所以事件A发生的概率为.故选：D3、B【解析】先求导，再代入求值.详解】，所以.故选：B4、B【解析】由基本不等式求出的最小值，只需最小值大于等于18，得到关于的不等式，求解，即可得出结论.【详解】，因为不等式恒成立，所以，即，解得，所以.故选:B.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.5、B【解析】根据题意，将问题转化为对任意的，，利用导数求得的最大值，再分离参数，构造函数，利用导数求其最大值，即可求得参数的取值范围.【详解】由题可知：对任意的，，都有恒成立，故可得对任意的，；又，则，故在单调递减，在单调递增，又，，则当时，,.对任意的，，即，恒成立.也即，不妨令，则，故在单调递增，在单调递减.故，则只需.故选：B.6、D【解析】由导数运算法则求出导函数，再计算导数值【详解】由题意，，所以故选：D7、C【解析】根据直线的斜率公式即可求得答案.【详解】设该直线的倾斜角为，该直线的斜率，即.故选：C8、B【解析】将直线方程的一般形式化为截距式，由此可得其在x轴和y轴上的截距.【详解】直线方程化成截距式为，所以，故选：B.9、A【解析】根据给定条件确定点M，N的位置，再借助空间向量数量积计算作答.【详解】因，则，即，而，则共面，点M在平面内，又，即，于是得点N在直线上，棱长为1的正四面体中，当长最短时，点M是点A在平面上的射影，即正的中心，因此，，当长最短时，点N是点D在直线AC上的射影，即正边AC的中点，，而，，所以.故选：A10、D【解析】利用指数函数的单调性可判断命题的真假，利用特殊值法可判断命题的真假，结合复合命题的真假可判断出各选项中命题的真假.【详解】对于命题，由于函数为上的增函数，当时，，命题为真命题；对于命题，若，取，，则，命题为假命题.所以，、、均为假命题，为真命题.故选：D.【点睛】本题考查简单命题和复合命题真假的判断，考查推理能力，属于基础题.11、B【解析】求出圆心到直线的距离d，与圆的半径r比较大小即可判断出直线与圆的位置关系，同时判断圆心是否在直线上，即可得到正确答案解：由圆的方程得到圆心坐标（0，0），半径r=1则圆心（0，0）到直线y=x+1的距离d==＜r=1，把（0，0）代入直线方程左右两边不相等，得到直线不过圆心所以直线与圆的位置关系是相交但直线不过圆心故选B考点：直线与圆的位置关系12、C【解析】求出直线过的定点，当时，原点到直线距离最大，则可求出原点到直线距离的最大值；【详解】因为可化为，所以直线过直线与直线交点，联立可得所以直线过定点，当时，原点到直线距离最大，最大距离即为，此时最大值为，故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】首先求得点A关于x轴的对称点，然后数形结合结合直线方程求解点P的坐标即可.【详解】点A(1,3)关于x轴的对称点为A′(1，－3)，如图所示，连接A′B并延长交x轴于点P，即为所求直线A′B的方程是y＋3＝(x－1)，即.令y＝0，得x＝13则点P的坐标是.【点睛】本题主要考查直线方程的应用，最值问题的求解，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14、【解析】由三角形面积公式得出，设，由可得出，利用基本不等式可求出的值，利用等号成立可得出、的值，再利用余弦利用可得出的值.【详解】由题意可得，解得，设，则，可得，由基本不等式可得，当且仅当时，取得最大值，，，由余弦定理得，解得．故答案为【点睛】本题考查余弦定理解三角形，同时也考查了三角形的面积公式以及利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值时，需要结合已知条件得出定值条件，同时要注意等号成立的条件，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15、【解析】利用当时，，可求出此时的通项公式，验证n=1时是否适合，可得答案.【详解】当时，，当时，不适合上式，∴，故答案为:.16、【解析】设过点的圆的切线为，分类讨论求得直线分别与圆的切线，求得直线的方程，从而得到直线与轴、轴的交点坐标，得到椭圆的右焦点和上顶点，进而求得椭圆的方程.【详解】设过点的圆的切线分别为，即，当直线与轴垂直时，不存在，直线方程为，恰好与圆相切于点；当直线与轴不垂直时，原点到直线的距离为，解得，此时直线的方程为，此时直线与圆相切于点，因此，直线的斜率为，直线的方程为，所以直线交轴交于点，交于轴于点，椭圆的右焦点为，上顶点为，所以，可得，所以椭圆的标准方程为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），证明见解析（2）【解析】（1），利用线面平行的判定和性质可得答案；（2）以为原点，所在直线分别为的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量由向量夹角公式可得答案.【小问1详解】.证明如下：在△中，因为点分别为的中点，所以//.又平面，平面，所以//平面.因为平面，平面平面，所以//所以//.在△中，因为点为的中点，所以点为的中点，即.【小问2详解】因为底面为正方形，所以.因为底面，所以，.如图，建立空间直角坐标系，则，，，因为分别为的中点，所以.所以，.设平面的法向量，则即令，于.又因为平面的法向量为，所以所以平面与平面夹角的余弦值为.18、（1）答案见解析；（2）答案、理由见解析【解析】（1）根据茎叶图计算出数量以及比例.（2）计算出方案的彩棉售价平均值，由此作出决策.【详解】（1）得分在（0，25]内的有19，21，共2个，所以四缓彩棉在该批彩棉中所占比例为；得分在（25，50]内的有27，31，36，42，45，48，共6个，所以三级彩棉在该批彩棉中所占比例为；得分在（50，75]内的有51，51，58，63，65，68，73，共7个，所以二级彩棉在该批彩棉中所占比例为；得分在（75，100]内的有76，79，83，85，92，共5个，所以一级彩棉在该批彩棉中所占比例（2）解答一：选用方案2，理由如下：方案1：不分等级卖出，单价为1.79万元/吨；设方案2的彩棉售价平均值为万元/吨，则因为，所以从经销商老板角度考虑，采用方案2时销售利润比较大，应选方案2解答二：选用方案1，理由如下：方案1：不分等级卖出，单价为1.79万元/吨；设方案2的彩棉售价平均值为则，因为，但（万元）差别较小所以从经销商老板后期对彩棉分类的人力资源和时间成本角度考虑，采用方案1比较好19、（1）（2）【解析】（1）解一元二次不等式,即可求得当为真命题时的取值范围;（2）先求得命题为真命题时的取值范围.由为假命题,为真命题可知,两命题一真一假.分类讨论,即可求得的取值范围.【详解】（1）当为真命题时,解不等式可得；（2）当为真命题时,由,可得,∵为假命题,为真命题,∴,两命题一真一假,∴或,解得或,∴m的取值范围是.【点睛】本题考查了根据命题真假求参数的取值范围,由复合命题真假判断命题真假,并求参数的取值范围,属于基础题.20、（1）（2）【解析】（1）由条件先求出通项公式，得出，再由可得出答案.(2)由（1）可知,由裂项相消法可得答案.【小问1详解】由，则由数列是公差为的等差数列，则所以当时，当时，符合上式所以【小问2详解】由（1）可知则21、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）通过计算·=0来证得AB1⊥BC.（2）通过证明A1C⊥AC1、A1C⊥AC1来证得A1C⊥平面AB1C1.【详解】证明：（1）易知<>=120°，=+，则·=(+)·