一课一练 八年级数学上册13.3.2等边三角形1

【文库独家】拓展训练八年级数学上册13.3.2等边三角形（1）选择1.如图13-3-2-1，△ABC是等边三角形，AD为中线，点E在AC上，且AE=AD，则∠EDC的度数为()A.10°B.25°C.15°D.20°2.已知下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的为()①②③B．①②④C．①③④D．①②③④3.等腰△ABC的顶角A为120°，过底边上一点D作底边BC的垂线交AC于E，交BA的延长线于F，则△AEF是()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰但非等边三角形4.有一直角三角板，30°角所对直角边长是6cm，则斜边的长是()A.3cmB.6cmC.10cmD.12cm5.在△ABC中，∠B=∠C=60°,点D为AB边的中点，DE⊥BC于E，若BE=1．则AC的长为()A.2B.3C.4D.66.如图13-3-2-9，在△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,BD为△ABC的角平分线，若AC=12，则在△ABD中，AB边上的高为()A.3B.4C.5D.67.如图13-3-2-10，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，AD⊥AB．交BC于点D，AD=4，则BC的长为()A.8B.4C.12D.6二．1.如图13-3-2-2，等边△ABC的两条中线BD、CE交于点O，则∠BOC=°．2.如图13-3-2-6，在直角△ABC中，已知∠ACB=90°，AB边的垂直平分线交AB于点E．交BC于点D，且∠ADC=30°，BD=18cm，则AC的长是____cm.三．1.如图13-3-2-3，△ABC、△ADE是等边三角形，B、C、D在同一条直线上．求证：(1)CE=AC+CD；(2)∠ECD=60°．2.如图13-3-2-4，已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．3.如图13-3-2-5，△ABC是等边三角形．AD是高，并且直线AB恰好是DE的垂直平分线，求证：△ADE是等边三角形．4.如图13-3-2-∵在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°,AB=24,CD⊥AB于D，求BD的长．5.在复习课上，老师布置了一道思考题：如图13-3-2-11所示，点M，N分别在等边△ABC的BC、CA边上，且BM=CN，AM、BN交于点Q，求证：∠BQM=60°．(1)请你完成这道思考题；(2)做完(1)后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出许多问题，譬如：①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？请你画出图形，给出证明.答案：一．1.C∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC,∠BAC=60°．∵AD是△ABC的中线，∴DAC=∠BAC=30°,AD⊥BC，∴∠ADC=90°,∵AE=AD．∴∠ADE=∠AED===750,∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°.故选C.2.D①有两个角等于60°的三角形是等边三角形：②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形：③三个角都相等的三角形是等边三角形；④三边都相等的三角形是等边三角形，故选D．3.A如图，∵AB=AC．∴∠B=∠C．∵∠AEF=∠DEC=90°-∠C，∠F=90°-∠B,∴∠AEF=∠F.又∠BAC=120°,∴∠FAE=60°.∴△AEF是等边三角形，故选A．4.D∵直角三角形中30°角所对的直角边长为6cm,∴斜边长为12cm．故选D．5.C∵∠B=60°,DE⊥BC,∴BD=2BE=2．∵D为AB边的中点，∴AB=2BD=4,∵∠B=∠C=60°,∴△ABC为等边三角形，∴AC=AB=4．故选C．6.B过D作DE⊥AB于E,∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠CBA=60°，∵BD平分∠CBA,∴∠DBA=∠CBD=30°∴AD=BD.CD=-,B3;∴AD.∵AD+CD=AC=12,∴CD=4,∵DE⊥AB,∠C=90°,BD平分∠ABC,∴DE=CD=4．故选B．7.C∵AB=AC,∴∠B=∠C=30°,∵AB⊥AD,∴BD=2AD=2×4=8,∠B+∠ADB=90°．∴∠ADB=60°,∵∠ADB=∠DAC+∠C=60°,∴∠DAC=30°,∴∠DAC=∠C,∴DC=AD=4．∴BC=BD+DC=8+4=12．故选C．二．1.答案120解析∵△ABC是等边三角形，BD.CE是中线，∴BD⊥AC,∠ACE=∠ACB=30°,∴∠BOC=∠ODC+∠ACE=120°,故答案为120.2.答案9解析∵AB边的垂直平分线交AB于点E,BD=18cm,∴AD=BD=18cm,∵在直角△ACD中,∠ACD=90°,∠ADC=30°,∴AC=AD=9cm．故答案为9.三1.证明(1)∵△ABC、△ADE是等边三角形，∴AE=AD,BC=AC=AB,∠BAC=∠DAE=60°,∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE,进而可证得△BAD≌△CAE,∵BD=EC．∵BD=BC+CD=AC+CD,∵CE=BD=AC+CD.(2)由(1)知△BAD≌△CAE,∴∠ABD=∠ACE=60°,∴∠ECD=180°-∠ACB-∠ACE=60°.2.证明连接BD，∵在等边△ABC中,D是AC的中点，∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°,∠ACB=60°,∴∠CDE=∠E,∵∠ACB=∠CDE+∠E,∴∠E=30°,∴∠DBC=∠E=30°,∴BD=ED．∴△BDE为等腰三角形，又∵DM⊥BC,∴M是BE的中点．3.证明∵A在DE的垂直平分线上，∴AE=AD，∴△ADE是等腰三角形，∵AB⊥DE，∴∠ADE=90°-∠BAD．∵AD⊥BD.∴∠B=90°-∠BAD．∴∠ADE=∠B=60°,∴△ADE是等边三角形．4.解析∵在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=24，∴∠B=180°-90°-30°=60°,BC=AB=12,∵CD⊥AB,∴∠BDC=90°,∴∠BCD=180°-∠BDC-∠B=180°-90°-60°=30°,∴BD=BC=6．5.解析(1)证明：∵在△ABM和△BCN中，,∴△ABM≌△BCN(SAS).∴∠BAM=∠CBN(全等三角形对应角相等)．∵∠QBA+∠CBN=∠CBA=60°（已知），∴∠QBA+∠BAM=60°（等量代换）．∴∠BQM=60°.(2)①是．∵∠BQM=60°（已知），∴∠QBA+∠BAM=60°.∵∠QBA+∠CBN=∠CBA=60°（已知），∴∠BAM=∠CBN(等量代换)．在△ABM和△BCN中．,∴△ABM≌△BCN(ASA).∴BM=CN（全等三角形对应边相等）．②成立．∵△ABC为等边三角形’∴BC=AC．∠ACB=∠BAC=60°