湍流边界层近壁区传热的三维数值模拟

湍流边界层近壁区传热的三维数值模拟

切割水流中存在着相干结构，这在促进水流的发生和储存方面发挥着重要作用。相干结构的研究已有30年的历史，但到目前为止，相干结构的研究对流量计算没有影响。因为以往的研究主要是对运动的描述和检测，没有理论模型。近年来，这项研究取得了新的进展[1.4]，在流量边界层的外区域和近壁区域提供了相干结构的理论模型。结果表明，相干结构在流量输送运输中发挥着重要作用。这不仅因为它的能量占大多数排水能力的，还因为它的运动具有一定的不确定性，所以小范围河流的研究基本上是随机的。Nagano等人的实验证实了相干结构在边界层近壁区对热量输运起着决定性的作用.本文将把相干结构的理论模型结合在湍流标量输运的计算问题中,具体说是湍流边界层近壁区的传热问题,以得到比通常的湍流计算更合理的模型.1速度分布的演化过程在文献中采用流动稳定性理论中的共振三波模型来解释湍流边界层近壁区的相干结构产生机理,得到了相干结构附近流场的法向剖面中沿某一事先给定的路径计算的净环量的概率密度分布函数,与由分析直接数值模拟结果所得的概率密度分布函数很相近,间接证明了这一模型是合理的.这一模型的出发点是一个包含3个不稳定波(T-S波)的共振三波.其基本波的速度可以表示为:在文献中采用了弱非线性理论求a1,a2,a3随时间的演化规律,并按它们的增长快慢以确定是否对应于一种可能的相干结构.详细论述请看文献,这里就不重复了.由于弱非线性理论本身的限制,不可能计算幅值很大的情况.但实际相干结构引起的速度幅值(以外流流速无量纲化)可达0.14左右,所以我们不能指望用这一模型来全面反映相干结构的流场.但是,Blackwelder早已指出,湍流边界层近壁区充分发展的相干结构和转捩区的大尺度流动结构,即经相位平均滤去小尺度扰动后的结构,很相似.而Kachanov则给出了人工引发的转捩区扰动波的各次谐波的演化规律及速度幅值分布.在文献的图13中可以清楚地看到,即使在转捩后期,当总扰动幅值达0.14时,其基本波的幅值已达0.12.基本波与总扰动波仅在峰值处稍有差别,而在其他地方则几乎可以完全代表总扰动,而且基本波的形状和T-S波的形状基本一致.因此在我们的计算中可以取(1)式所给出的速度分布形式来近似地代表相干结构的速度分布形式,但它们的幅值则不能用弱非线性理论给出的演化规律来表达,而必须另外设法给定,具体的给定方法将在下一节中给出.需要说明的是,这里我们并不是把Kachanov对层流边界层所做的实验和整个湍流边界层相比,而只是把它和单个相干结构在破碎前的情况相比.而单个相干结构破碎前正好和转捩前的情况相对应.而相干结构的破碎伴随着抬升,其影响区已经超出了我们的计算区.2实验结果和分析不考虑辐射、热源及粘性引起的摩擦生热项,则不可压流体的Fourier能量方程为其中ρ是密度,Cv是定容比热,T是温度,κ为分子热扩散系数,Δ是梯度算子.将速度分解为其中U是平均流速度,是由(1)式所给的速度(其中的参数如何选择将在下面给出),u′则是小尺度湍流脉动速度.这里的一个基本假定就是小尺度湍流脉动规律在不同的流动中具有一定的普适性,因而其作用可以用基本相同的公式描述.而相干结构则对不同流动有不同规律,这正是通常的湍流模式理论中的参数不具有普适性的原因.由于U及是已知的,用代表,于是(3)式可以改写为由于小尺度湍流的随机性,其作用类似于分子混合的作用,所以可以将与其有关的项写成近似于分子传热的梯度形式,即设其中κt是湍流涡传热系数.将方程无量纲化,令其中TW是平板壁面温度,T0是边界层外来流温度,U0为来流速度,δ为边界层名义厚度.为简单计,以下的公式中略去无量纲量上的*号,则(4)式无量纲化后可写为其中是Reynolds数,是Prandtl数,在本文中取为0.71.小涡对动量及标量输运机理相近,数值模拟也证明了这一点,因此αt的表达式可以参照文献中的小涡涡粘系数的表达式而写为这实际上是在离壁稍远处几为常数(小涡的普适性)而在壁面处减为零(壁面修正)的一种分布.其形式与实验测得的涡粘系数经间歇因子修正后的分布类似.但如文献中指出的,实验所测得的值实际已包含了相干结构所产生的Reynolds应力的影响,所以小涡涡粘系数的值应远小于实验之值.在湍流Prandtl数的值接近于1的情况下,涡粘系数和涡传热系数的无量纲值也相近.因此,由文献中所给的涡粘系数值,可得αt与Re的关系为将(7)式再简化为这相当于略去了.从计算后的后验估计看是可以的.用时间分裂法积分(11)式,即将其写为则(12)式是一扩散型方程,其意义为热量由于分子及小涡的影响而得以扩散.而(13)式则相当于一输运方程,相当于流体微团在以速度u0输运时温度保持不变.由于我们考虑的是湍流边界层的近壁区,所以从文献中的实验曲线找到y/δ=0.08处的无量纲温度为0.3作为一个边界条件.另一条件为y=0时,T=1.T的初值可以任意给定,当积分(11)式至温度准定常后即可计算平均温度剖面,Nusselt数等.在积分(11)式前,需要解决如何确定的问题.前面已经提到,可通过(1)式表达,但有一个参数及幅值演化规律如何确定的问题.首先,在实际问题中相干结构有无穷多种情况,所以才有一个概率密度问题.但从平均结果看是一个对称的流场,所以第一种选择是取一个对称的共振三波,即令β1=0,α2=α3,β2=-β3,ω2=ω3,且u2=u3,v2=v3,w2=-w3.这里u,v,w是速度沿流向、法向及展向的分量.选取a1和a2的比值,使得的分量的最大值之比与实验中的比值相等,为0.14/0.04.考虑到实际情况中相干结构从生成、增长到破碎是准周期性的,其周期与(1)式所定的周期相近,我们就取(1)式所给定的周期,但人为给定一个增长率而不用其中的ωi.其条件是当a1,a2从一个初始的小值增长到一个周期结束后,在这一个周期内u的最大值的均方根值与实验中湍流脉动最大处的均方根值相等.到下一个周期中重复这一过程.当然,这一放大率与a1,a2的初值有关.可以给不同的初值及放大率,但都满足上述条件.计算结果表明,只要上述条件满足,所得Nusselt数变化很小,所以这一计算模型是可用的.另一种做法是选取能代表各种相干结构的一个集合,然后按照它们出现的概率在每一周期内随机选取其中之一.但这样做需要事先储存很多有关相干结构的流场数据.在文献中,为了得到净环量概率分布密度,一共有约400个相干结构.所以这样做很困难.一个大大简化的方法是选取有限几个作为有代表性的集合.我们一共选取了三个有代表性的相干结构.一个仍是上述对称的,另两个分别是对应于概率最大的两个,而它们实际上对于流向是相互对称的.在每一周期中,按它们的概率随机选取其中之一代表在流场中的相干结构.其幅值的变化同样按上一段所述原则确定.也试了初始、幅值和放大率的不同组合,但要求u在一个周期内均方根值的最大值与实验中所得的相同.这里和对称情况不同,仅有u和v均方根值最大值的比值不足以完全确定a1,a2,a3的相对比值,其中有一个还可以任意给定.所以我们还试了几组不同的比值.但计算结果表明,只要满足了上述均方根值的条件,Nusselt数基本不变.在积分(12)、(13)式时,显然,由于(13)式具有温度随流体微团不变的性质,用Lagrange观点去积分更为容易.(12)式可以用随机游走法积分,实际上也是Lagrange观点的做法.所以,具体的做法是,在事先划分好网格后,自每一网格点出发,对每一时间步长,先按给定的u0行走一步,接着按(12)式对随机游走的要求再随机游走一步.在此行走和游走的过程中,流体微团温度不变.然后用网格点附近的点的温度插值而重新求得网格点上的温度值后再重新开始下一步.由于靠近壁面处网格很密,所以时间步长必须很小,这是这种积分方法的缺点.积分的区间是对共振三波来说具有周期性的一个区域.在只有一个共振三波时,这一区域是固定的,积分不存在问题.而对随机选取一组共振三波这种做法,不同的共振三波其积分区域是不同的.故在每个周期开始时,其初值不满足周期性条件.但积分几步后即可把这种不连续性光滑掉.3不同相干结构下的热效应对实际问题最有兴趣的是计算单位面积平均热流量,这可以用Nusselt数来表达.对边界层流,Nusselt数Nu可定义为这里q是平均热流量.由于在壁面处,无论是相干结构还是小尺度湍流的影响都不存在,所以只要先算出平均温度在壁面处的梯度dT/dyy=0,就可以算出平均热流量(有量纲的),这里T是平均温度:所以实际上图1是不同Re数下的平均温度分布,图2是Nu和Re数的关系.其中实线是由实验值用曲线拟合而得的,虚线值是由本文模型算得的.图3(a)是用本文模型算的用灰度来表示的瞬时温度分布,Re=50000,从中可以明显的看出条纹结构,其中共振三波只是一组对称的.图3(b)取自文献,是由直接数值模拟而得的.图3(b)无论在展向还是流向都包含了很多相干结构.可以看出其条纹大多数都不是纯流向的.如果我们随机选取相干结构,然后把不同相干结构引起的条纹结构在空间上拼接起来,则也可以得到不十分规则的条纹结构.在y+=30的图中,条纹结构十分清楚,说明这时相干结构的作用是主要的.而y+=10及y+=80的两图中,条纹结构规则性差得多,这是因为在那里相干结构的作用与小尺度湍流比已不占绝对优势.这从图2中平均温度分布在y/δ≈0.01～0.03间有一个梯度平台可以看出来.在那个范围,热量输运主要是相干结构的输运,而梯度型的扩散只占次要部分,顺便说一下,在湍流Prandtl数近似于1的情况下,速度分布条纹结构和温度分布条纹结构很相似.4相干结构问题利用相干结构的知识,的确可以给出物理意义更明确的湍流计算模型.其中尽管还有一些参数需利用实验确定,但它们都有明确的物理意义.不像普通模式理论中的参数没有明确的物理意义.而且这种模型是符合“鲁棒性(Robustness)”的要求的.本文提出的模型的一个缺点是在计算相干结构时未考虑到热流的影响.但壁湍流是在强剪切下产生的,热流的影响估计不是主要的因素.另一个缺点是用Lagrange观点去积分(12)、(13)式,虽然物理概念很清楚,但是比较费时,需要寻找更有效的积分方法.其中u1,u2,u3是由特征值问题解出的特征函数,已按一定条件正规化,因而a1,a2,